基于MATLAB数值分析实验报告

1、基于MATLAB数值分析实验报告 班级： 姓名：李凯 学号：实验二：矩阵与向量运算实验目的：在MATLAB里，会对矩阵与向量进行加、减、数乘、求逆及矩阵特征值运算，以及矩阵的LU分解。 设A是一个nn方阵，X是一个n维向量，乘积Y=AX可以看作是n维空间变换。如果能够找到一个标量，使得存在一个非零向量X，满足：AX=X （3.1）则可以认为线性变换T（X）=AX将X映射为X，此时，称X是对应于特征值的特征向量。改写式（3.1）可以得到线性方程组的标准形式：（A-I）X=0 （3.2）式（3.2）表示矩阵（A-I）和非零向量X的乘积是零向量，式（3.2）有非零解的充分必要条件是矩阵（A-I）是奇

2、异的，即：det(A-I)=0该行列式可以表示为如下形式：a11 a12 a1na21 a22 a2n =0 (3.3) An1 an2 ann将式（3.3）中的行列式展开后，可以得到一个n阶多项式，称为特征多项式：f()=det(A-I)=(-1)n(n+c1n-1+c2n-2+cn-1+cn) (3.4)n阶多项式一共有n个根（可以有重根），将每个根带入式（3.2），可以得到一个非零解向量。习题：求下列矩阵的特征多项式的系数和特征值j：3 -1 0A= -1 2 -1 0 -1 3 解：在MATLAB中输入命令： A=【3 -1 0；-1 2 -1；0 -1 3】； c=poly(A) r

3、oots(c)得到： 实验四：Lagrange插值多项式实验目的：理解Lagrange插值多项式的基本概念，熟悉Lagrange插值多项式的公式源代码，并能根据所给条件求出Lagrange插值多项式，理解龙格现象。%功能：对一组数据做Lagrange插值%调用格式：yi=Lagran_(x,y,xi)%x,y：数组形式的数据表%xi：待计算y值的横坐标数组%yi：用Lagrange还擦之算出y值数组function fi=Lagran_（x,f,xi）fi=zeros(size(xi);np1=length(f);for i=1:np1 z=ones(size(xi); for j=i:np1

4、 if i=j,z=z.*(xi-x(j)/(x(i)-x(j);endendfi=fi+z*f(i);endreturn习题：已知4对数据（1.6，3.3），（2.7，1.22），（3.9，5.61），（5.6，2.94）。写出这四个数据点的Lagrange插值公式，并计算出横坐标xi=【2.101，4.234】时对应的纵坐标。 解：4个数据点的Lagrange插值公式为： L3(x)=3.3*(x-2.7)*(x-3.9)*(x-5.6)/(1.6-2.7)*(1.6-3.9)*(1.6-5.6)+4.22*(x-1.6)*(x-3.9)*(x-5.6)/(2.7-1.6)*(2.7-3.

5、9)*(2.7-5.6)+3.9*(x-1.6)*(x-2.7)*(x-5.6)/(3.9-1.6)*(3.9-2.7)*(3.9-5.6)+2.94*(x-1.6)*(x-2.7)*(x-3.9)/(5.6-1.6)*(5.6-2.7)*(5.6-3.9)清单：Clearx=1.6,2.7,3.9,5.6;y=3.3,1.22,5.61,2.94;xi=2.101,4.234;yi=Lagran_(x,y,xi);xx=1.5:0.05:6.5;yy=Lagran_(x,y,xx);plot(xx,yy, x,y,o)结果如下： yi=1.0596 6.6457实验六：牛顿插值多项式实验目的

6、：掌握牛顿插值多项式公式，会用牛顿插值多项式公式，明确牛顿插值多项式与拉格朗日插值公式的区别。定理：已知n+1个节点x0,x1,xn,(ax0x1xnb)及节点对应的函数值f(x0),f(x1),f(xn)。则唯一存在一个n次多项式Nn(x)，具有性质： Nn(xj)=f(xj)=yj j=0,1,2,n该多项式形式为：Nn(x)=f(x0)+fx0,x1(x-x0)+fx0,x1,xn(x-x0)(x-x1)(x-xn-1)插值余项R(x)为：R(x)=f(x)-Nn(x)=fx,x0,x1,x2,xnwn+1(x)。其中，fx0,x1=(f(x1)-f(x0)/(x1-x0), fx0,x

7、1,x2=(fx1,x2-fx0,x1)/(x2-x1),fx0,x1,xn=(fx1,xn-fx0,x1,xn-1)/(xn-xn-1)。 牛顿插值多项式公式的优点是具有承袭性，当给出了n+1点坐标，求出Nn(x)表达式后，再给出一个点坐标（xn+2,yn+2）,则有插值公式：Nn+1(x)=Nn(x)+fx0,x1,xn,xn+1(x-x0)(x-x1)(x-xn-1)(x-xn)。牛顿插值源代码：function C,D=newpoly(X,Y)%输入：X为节点的向量；Y为节点对应的函数值向量%输出：C是牛顿插值多项式系数向量；D是计算差商的矩阵N=length(X); %节点的个数D=

8、zeros(n,n) %nn维零矩阵D(:1)=Y %D的第一行Y（节点都应的函数值向量）for j=2:n for k=j:n D(k,j)=(D(k,j-1)-D(k-1,j-1)/(X(k)-X(k-j+1);%计算商 end end C=D(n,n); for k=(n-1):-1:1 C=conv(C,poly(X(k) %计算插值多项式的系数 m=length(C); C=C(m)+D(k,k);end习题：将区间【-5，5】等分5份、10份，求函数y=1/(1+x2)的牛顿插值多项式，作出函数y=1/(1+x2)的原图像，观察龙格现象得出什么结果？解：将区间【-5，5】等分成5份

9、，用MATLAB计算。输入clear,clf,hold onX=-5:2:5;Y=1./(1+X.2);C,D=newpoly(X,Y)x=-5,0.01,5;y=polyval(C,x);plot(x,y,X,Y,.)grid onxp=-5,:0,05:5;z=1./(1+xp.2);plot(xp,z,r)出现错误如下：此实验无法完成。实验八：最小二乘拟合曲线实验目的：明确曲线拟合的含义，会求数据的曲线拟合。在科学工程试验中，经常需要从试验数据中寻找拟合曲线。曲线拟合是指函数g(x)拟合给定的节点（xi,yj）,i=1,2,n,通常所拟合的节点数n必须大于未知数个数k。确定函数g(x)参

10、数，使得拟合函数与节点的偏差最小，这种方法称为最小二乘法。当n=k时，由于拟合曲线通过所用节点，可使问题得到简化。1 数据的线性拟合已知（xi,yj）,i=1,2,n,最小二乘法拟合曲线：y=Ax+B的系数是下列线性方程的解，()A+()B=()A+nB=习题：给定一组数据点（-1，10），（0，9），（1，7），（2，5），（3，4），（4，3），（5，0），（6，-1），求其最小二乘拟合曲线。解：（1）在MATLAB中作散点图。输入数据点并作图：x=-1 0 1 2 3 4 5 6; y=10 9 7 5 4 3 0 -1; plot(x,y,.)得到由上述散点图可知x,y近似成线性关系y=Ax+B，这里的A与B是待定常数。（2） 求解方程组：（）A+（）B=（）A+nB= （3）程序：X=-1 0 1 2 3 4 5 6;Y=10 9 7 5 4 3 0