北京市朝阳区2024-2025学年高一下学期期末质量检测数学试题【含答案解析】

北京市朝阳区2024~2025学年度第二学期期末质量检测高一数学试卷2025.7（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共50分）和非选择题（共100分）两部分第一部分（选择题共50分）一、选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.复数（）A.1 B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】利用，可求值.【详解】.故选：A.2.在平面四边形中，（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】直接利用向量加法法则即可求解.【详解】.故选：D.3.某学校高一年级由名男同学和名女同学组成，现用分层抽样的方法，从高一年级中随机抽取一个容量为的样本进行运动成绩调查，其中男同学应抽取的人数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用分层抽样可求得男同学应抽取的人数.【详解】设男同学应抽取的人数为，由分层抽样可得，解得.故选：C.4.在中，，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理可求得，可求.【详解】因为，，所以，在中，由正弦定理可得，所以，解得，所以.故选：A.5.要得到函数的图象，只要将函数的图象（）A.向右平移个单位长度 B.向左平移个单位长度C.向右平移个单位长度 D.向左平移个单位长度【答案】D【解析】【分析】利用三角函数的平移法则逐项计算判断即可.【详解】对于A，将函数的图象向右平移个单位长度得：的图像，故A错误；对于B，将函数的图象向左平移个单位长度得：的图像，故B错误；对于C，将函数的图象向右平移个单位长度得：的图像，故C错误；对于D，将函数的图象向左平移个单位长度得：的图像，故D正确.故选：D.6.设l是一条直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则【答案】C【解析】【分析】根据面面平行、线面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理逐一判断即可.【详解】A：当时，如果l是平面，外一条直线，当时，显然，成立，这时不成立，故本选项的命题不正确；B：当时，设，显然当时，且时，一定有成立，但是不成立，因此本选项的命题不正确；C：因为，所以在平面内一定存在一条直线，而，所以，根据面面垂直的判定定理可知，因此本选项的命题正确；D：当时，设，显然当时，且时，一定有成立，但是不成立，因此本选项的命题不正确；故选：C7.在正方形中，为的中点，为的中点，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据图形结合向量的线性运算求解.【详解】因为为的中点，为的中点，所以.故选：C.8.如图，在四面体中，，，且，D为四面体外一点，要使，需要添加的条件是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】取的中点，连接，证明出平面，要使，其中平面，故需平面，只需，又为的中点，故时，满足要求.【详解】取的中点，连接，因为，所以，因为，，，平面，所以平面，又平面，所以，因为，平面，所以平面，要使，其中平面，故需平面，连接，则平面，故只需，又为的中点，故时，满足要求.故选：C.9.已知函数．若关于x的方程在区间上有且仅有两个不相等的实数根，则的最大整数值为（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】【分析】由已知求得的取值范围，再根据三角函数的图象得到的不等式，即可得答案；【详解】因为，所以，又的图象如图所示，因为关于x的方程在区间上有且仅有两个不相等的实根，则，解得，所以的最大整数值为.故选：B.10.青花瓷是中国瓷器的主流品种之一，常简称青花.图1就是一个青花瓷圆盘，该圆盘可看作两个圆心重合的圆（如图2），若大圆半径，小圆半径，点A在大圆上，点B在小圆上，，动点C满足，且，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知可得，令，代入可得，利用可求的最大值.【详解】因为，两边平方得，又，，，所以，令，则，所以，所以，所以，所以，解得，所以的最大值为.故选：B.第二部分（非选择题共100分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.11.若函数，则______．【答案】##【解析】【分析】利用二倍角的正弦公式化简，代入即可求值.【详解】因为，所以.故答案为：.12.已知复数，则______；______．【答案】①.②.##【解析】【分析】根据复数的除法运算化简，即可由模长公式以及共轭复数的概念求解.【详解】,故，，故答案为：，13.如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAB是等边三角形，若侧面PAB和底面ABCD所成角的正切值为，则四棱锥的体积为______．【答案】##【解析】【分析】过作平面于，过作于，连接，可得为平面PAB和底面ABCD所成的角，进而可得，可求体积.【详解】过作平面于，过作于，连接，因为平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，所以为平面PAB和底面ABCD所成的角，所以，所以，，所以，又因为是等边三角形，所以，所以，所以，所以，所以.故答案为：.14.若两个非零向量满足，则向量与的夹角是______.【答案】##【解析】详解】由可得，由平方可得，，因此，由于，故，故答案为：15.已知函数，如果存在实数，，使得对任意的实数x，都有，那么的最小值为______.【答案】2π【解析】【分析】由题意得出是的最小值，是的最大值，因此的最小值是半个周期．求出函数的周期即可得．【详解】实数，使得对任意实数，都有，则是的最小值，是的最大值，因此的最小值是半个周期．而函数的周期是，所以．故答案为：．16.如图、点E，H，G，F是矩形ABCD中DC，CB，BA，AD边的中点，依次沿FE，EH，HG，GF，EG折叠，使得矩形四个顶点D，C，B，A重合于一点，得到三棱锥．若，，给出下面四个结论：①三棱锥是正四面体；②二面角为直二面角；③三棱锥的表面积为；④三棱锥的体积为．其中正确结论的序号是______.【答案】②③④【解析】【分析】根据题意作出三棱锥，计算各边的长度，即可根据正四面体的性质求解①，根据等腰三角形的几何性质可得，即可由二面角的定义，体积公式，表面积公式求解②③④.【详解】由题意可知三棱锥如图所示，由于,,故三棱锥不是正四面体，①错误，取中点为，连接,由于，故,故为二面角的平面角，,,故②正确，由于，平面，故平面，则三棱锥的体积为,表面积为；③④正确，故答案为：②③④三、解答题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17.已知向量，且．（1）证明：向量；（2）求与夹角的大小；（3）求的最小值．【答案】（1）证明见解析（2）（3）．【解析】【分析】（1）根据垂直的坐标运算即可求解，（2）根据模长公式，以及夹角公式即可求解，（3）根据模长公式，结合二次函数的性质即可求解.【小问1详解】因为向量，由，得．解得，则．因此．【小问2详解】由（1）知，则．又，则．设与夹角为，因此．又，则，所以与夹角为．【小问3详解】由（2）知，，则，因此，当且仅当时取等号．所以最小值为．18.在中，若．（1）求B；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积.条件①；条件②的周长为；条件③BC边的中线的长度为，【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）由正弦定理可得答案；（2）若选择条件①，由边长不确定可得答案；若选择条件②，由正弦定理求出，再由可得答案；若选择条件③：设为边上的中线，由余弦定理、正弦定理、面积公式可得答案.【小问1详解】因为，由正弦定理，所以．因为，所以．所以，即．因为，所以；【小问2详解】若选择条件①，由（1）可得，则．三角形存在但不唯一确定；若选择条件②，由（1）可得，所以．由正弦定理，所以．所以的周长为，．所以．所以的面积为；若选择条件③，由（1）可得，所以．设为边上的中线，，在中，由余弦定理，所以，解得，则由正弦定理得，所以的面积.19.某学校为了解本学期学生平均每天的课外阅读时间（单位：分钟）情况，随机抽取了50名学生进行调查，得到他们平均每天课外阅读时间的频率分布直方图如下：（1）估计这50名学生平均每天课外阅读时间的第70百分位数；（结果保留一位小数）（2）用这50名学生的情况估计该校全体学生的情况.假设该学校学生平均每天课外阅读时间相互独立.从该学校全体学生中随机抽取两人，试估计这两人中恰有一人平均每天课外阅读时间在内，另一人平均每天课外阅读时间在内的概率；（3）用这50名学生的情况估计该校全体学生的情况.学校根据学生的课外阅读时间情况将学生分为“阅读积极分子”和“阅读待提高者”.规定平均每天课外阅读时间不少于40分钟的学生为“阅读积极分子”，少于40分钟的学生为“阅读待提高者”.现在有两种奖励方案：方案一：给“阅读积极分子”每人奖励一本价值22元的书籍，“阅读待提高者”每人奖励一本价值8元的书籍；方案二：为了鼓励学生参与课外阅读活动，每人奖励一本价值15元的书籍.已知该学校共有1000名学生，试通过计算比较哪种奖励方案的费用较低.【答案】（1）36.7（2）0.24（3）方案一所需费用较低．【解析】【分析】（1）利用百分位数的定义可求解；（2）不妨设随机抽取的两人分别为甲、乙，设“甲平均每天课外阅读时间在内”为事件，“甲平均每天课外阅读时间在内”为事件，“乙平均每天课外阅读时间在内”为事件，“乙平均每天课外阅读时间在内”为事件，以频率作为概率，利用求解即可；（3）样本中“阅读积极分子”的频率为，进而求得总体中“阅读积极分子”的人数的估计值，进而计算两种情况下的奖励费用，比较可得结论.【小问1详解】由图数据可知，学生平均每天阅读时间各区间的频率依次为；0.1，0.14，0.26，0.3，0.2，因此第70百分位数必在区间内，设该数，则有，解得．【小问2详解】不妨设随机抽取的两人分别为甲、乙设“甲平均每天课外阅读时间在内”为事件，“甲平均每天课外阅读时间在内”为事件，“乙平均每天课外阅读时间在内”为事件，“乙平均每天课外阅读时间在内”为事件，“两人中恰有一人平均每天课外阅读时间在内，另一人平均每天课外阅读时间在内”为事件．由课外阅读时间在内的频率为0.5，在内的频率为0.24．故与可估计为0.5，与可估计为0.24．则由互斥，及相互独立，相互独立，可得所以可估计为．【小问3详解】由题意可知，样本中“阅读积极分子”的频率为，故总体中“阅读积极分子”的人数可估计为，则“阅读待提高者”人数可估计为800．方案一：奖励费用元.方案二：奖励费用为元.所以方案一所需费用较低.20.如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，分别为BC，的中点，平面ADE与棱相交于点F．（1）求证：；（2）若．（ⅰ）求证：平面平面；（ⅱ）求点B到平面ADE的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）．【解析】【分析】（1）取的中点，连接，利用面面平行可得，进而可得，可求值；（2）（ⅰ）取的中点，连接，由面面垂直的性质可得平面，可得，进而得平面，进而可得平面，可证结论．（ⅱ）利用等体积法可求点到平面的距离.【小问1详解】取的中点，连接，在三棱柱中，平面平面，且平面平面，平面平面，所以，又因为侧面是平行四边形，且，分别是的中点，所以，所以，所以四边形是平行四边形，所以，所以，因为为的中点．所以为的中点，所以．【小问2详解】（ⅰ）取的中点，连接，因为平面平面，平面平面，又因为侧面为正方形，所以．又平面，所以平面，所以．又，所以，因为，则平面，所以．由平面平面，所以．又，所以平面．又，所以平面．又平面，所以平面平面．（ⅱ）因为平面，所以．在平面内的射影分别为，因为，且，所以在中，．所以．设点到平面的距离为，由，可得．所以，即点到平面的距离为．21.已知是个非负实数组成的行列的数表，其中且．记第行中所有数的最大值为，第行第一个等于的项为，第列中所有数的最大值为.设中有个数位于第列，且这个数之和为（规定：若，则）．（1）当时，若，求值；（2）求证：若，则；若，则；（3）当时