课件线性规划和单纯形法-课件

1、,运筹学 Operations Research,第 1 章 线性规划模型和单纯形法 Linear Programming and Simplex Method,1.1 LP的数学模型及标准型 1.2 图解法 1.3 单纯形法,1. 理解什么是线性规划模型，掌握线性规划在管理及生产中的应用 2. 掌握线性规划数学模型的组成及其特征 3. 清楚线性规划数学模型的一般表达式。,1.1 线性规划数学模型 Mathematical Model of Linear Programming,线性规划（Linear Programming,缩写为LP） 是运筹学的重要分支之一，在实际中应用得较广泛，其方法也

2、较成熟，借助计算机，使得计算更方便，应用领域更广泛和深入。 线性规划通常研究资源的最优利用、设备最佳运行等问题。例如，当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用最少的资源（如资金、设备、原标材料、人工、时间等）去完成确定的任务或目标；企业在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最好的经济效益（如产品量最多 、利润最大）。,【例1.1】最优生产计划问题。 某企业在计划期内计划生产甲、乙、丙三种产品。这些产品分别需要要在设备A、B上加工，需要消耗材料C、D，按工艺资料规定，单件产品在不同设备上加工及所需要的资源如表1.1所示。已知在计划期内设备的加工能力各为200台时，可供材料分别为360

3、、300公斤；每生产一件甲、乙、丙三种产品，企业可获得利润分别为40、30、50元，假定市场需求无限制。企业决策者应如何安排生产计划，使企业在计划期内总的利润收入最大？,1.1.1 应用模型举例,表1.1 产品资源消耗,【解】设x1、x2、x3 分别为甲、乙、丙三种产品的产量数学模型为：,最优解X=(50,30,10);Z=3400,目标函数,资源约束,线性规划的数学模型由 决策变量 Decision variables 目标函数 Objective function 约束条件 Constraints 构成。称为三个要素。,其特征是： 1解决问题的目标函数是多个决策变量的线性函数， 通常是求最

4、大值或 最小值； 2解决问题的约束条件是一组多个决策变量的线性不 等式或等式。,怎样辨别一个模型是线性规划模型？,【例1.2】某商场决定：营业员每周连续工作5天后连续休息2天，轮流休息。根据统计，商场每天需要的营业员如表1.2所示。,表1.2 营业员需要量统计表,商场人力资源部应如何安排每天的上班人数，使商场总的营业员最少。,【解】 设 xj (j=1，2，7)为休息2天后星期一到星期日开始上班的营业员，则这个问题的线性规划模型为,目标函数：总人数最少,约束条件：上班人数大于每天需要人数,最优解：,Z617（人）,【例1.3】合理用料问题。某汽车需要用甲、乙、丙三种规格的轴各一根，这些轴的规格

5、分别是1.5，1，0.7（m），这些轴需要用同一种圆钢来做，圆钢长度为4 m。现在要制造1000辆汽车，最少要用多少圆钢来生产这些轴？,【解】这是个条材下料问题 ，设切口宽度为零。 设一根圆钢切割成甲、乙、丙三种轴的根数分别为y1，y2，y3,则切割方式可用不等式1.5y1+y2+0.7y34表示，求这个不等式关于y1，y2，y3的非负整数解。象这样的非负整数解共有10组，也就是有10种下料方式，如表1.3所示。,表13 下料方案,设xj ( j = 1,2,10)为第j种下料方案所用圆钢的根数。则用料最少数学模型为:,求下料方案时应注意，余料不能超过最短毛坯的长度；最好将毛坯长度按降的次序排

6、列，即先切割长度最长的毛坯，再切割次长的，最后切割最短的，不能遗漏了方案 。如果方案较多，用计算机编程排方案，去掉余料较长的方案，进行初选。,Z812.5,最优解：,【例1.4】配料问题。某钢铁公司生产一种合金，要求的成分规格是：锡不少于28%，锌不多于15%，铅恰好10%，镍要界于35%55%之间，不允许有其他成分。钢铁公司拟从五种不同级别的矿石中进行冶炼，每种矿物的成分含量和价格如表1.4所示。矿石杂质在治炼过程中废弃，现要求每吨合金成本最低的矿物数量。假设矿石在冶炼过程中，合金含量没有发生变化。,表1.4 矿石的金属含量,解: 设xj（j=1,2，5）是第j 种矿石数量，得到下列线性规划

7、模型,注意，矿石在实际冶炼时金属含量会发生变化，建模时应将这种变化考虑进去，有可能是非线性关系。配料问题也称配方问题、营养问题或混合问题，在许多行业生产中都能遇到。,最优解：,Z=347.5,第五年：(x7/2+x9)=x8+2x5,第一年：x1+x2=200(万元),第二年：(x1/2 +x3)+x4=x2,第三年(x3/2+x5)+x6=x4+2x1,第四年：(x5/2+x7)+x8=x6+2x3,到第六年实有资金总额为x9+2x7，整理后得到下列线性规划模型,【解】设 x1：第一年的投资； x2：第一年的保留资金 x3：第二年新的投资； x4：第二年的保留资金 x5：第三年新的投资； x

8、6：第三年的保留资金 x7：第四年新的投资 x8：第四年的保留资金 x9：第五年的保留资金,【例1.5】投资问题。某投资公司在第一年有200万元资金，每年都有如下的投资方案可供考虑采纳：“假使第一年投入一笔资金，第二年又继续投入此资金的50%，那么到第三年就可回收第一年投入资金的一倍金额”。投资公司决定最优的投资策略使第六年所掌握的资金最多。,最优解：,Z 416.26万元,x1：第一年的投资； x2：第一年的保留资金 x3：第二年新的投资； x4：第二年的保留资金 x5：第三年新的投资； x6：第三年的保留资金 x7：第四年新的投资 x8：第四年的保留资金 x9：第五年的保留资金,【例1.6

9、】均衡配套生产问题。某产品由2件甲、3件乙零件组装而成。两种零件必须经过设备A、B上加工，每件甲零件在A、B上的加工时间分别为5分钟和9分钟，每件乙零件在A、B上的加工时间分别为4分钟和10分钟。现有2台设备A和3台设备B，每天可供加工时间为8小时。为了保持两种设备均衡负荷生产，要求一种设备每天的加工总时间不超过另一种设备总时间1小时。怎样安排设备的加工时间使每天产品的产量最大。 【解】 设x1、x2为每天加工甲、乙两种零件的件数，则产品的产量是,设备A、B每天加工工时的约束为,要求一种设备每台每天的加工时间不超过另一种设备1小时的约束为,目标函数线性化。产品的产量y等价于,整理得到线性规划模

10、型,约束线性化。将绝对值约束写成两个不等式,【例1.7】（书上P4例1.1-1题）饼干生产问题。某厂生产两类饼干，需搅拌机A1，成形机A2 ，烘箱A3三种设备，每天的所需机时及机时限制，利润指标如下表，问如何制订生产计划，可使获得最高利润？,【解】 设x1、x2为每天生产 、 两种饼干的产量（单位：吨），则目标函数是,约束条件有：,搅拌机约束,成形机约束,烘箱约束,非负约束,本问题的数学模型,【例1.8】（书上P6例1.1-2题）运输问题。总公司收到上海B1，青岛B2 ，西安B3三家商场的电机订单，需求分别为100台，80台，90-120台，现有北京A1，武汉A2二个仓库，库存分别为200台，

11、150台，所需运费如下表，问如何调运电机，可使总运费最少？,【解】 设 xij 为从仓库 Ai 调到商场 Bj 的电机数量（i=1,2, j=1,2,3），则目标函数是,库存约束,需求约束,非负约束,问题的数学模型,小结：建立线性规划数学模型 建立数学模型是学习线性规划的第一步也是关键的一步。 建立正确的数学模型要掌握3个要素： 研究的问题是求什么，即设置决策变量； 问题要达到的目标是什么，即建立目标函数，目标函数一定是决策变量的线性函数并且求最大值或求最小值； 限制达到目标的条件是什么，即建立约束条件。,作业：,第1次作业.doc,1.1.2 线性规划的一般模型及标准形 一般地，假设线性规划

12、数学模型中，有m个约束，有n个决策变量xj, j=1,2,n，目标函数的变量系数用cj表示, cj称为价值系数。约束条件的变量系数用aij表示，aij称为工艺系数。约束条件右端的常数用bi表示，bi称为资源限量。则线性规划数学模型的一般表达式可写成,为了书写方便，上式也可写成：,在实际中一般xj0,但有时xj0或xj无符号限制。,线性规划的一般模型,线性规划的标准型 Standard form of LP,在用单纯法求解线性规划问题时，为了讨论问题方便，需将线性规划模型化为统一的标准形式。,线性规划问题的标准型为: 1目标函数求最大值（或求最小值） 2约束条件都为等式方程 3变量xj非负 4常

13、数bi非负,max(或min)Z=c1x1+c2x2+cnxn,注：本教材默认目标函数是 min,或写成下列形式：,或用矩阵形式,通常 x 记为： 称为约束方程的系数矩阵，m是约束方程的个数，n是决策变量的个数，一般情况mn，且r()m。,其中:,如何将一般模型化为标准形,对约束条件中含有“ ”的不等式，可在其左边加入一个非负变量（称为松驰变量），使之变为等式。 对约束条件中含有“ ”的不等式，可在其左边减去一个非负变量（称为剩余变量），使之变为等式。 对约束条件中对某些变量无符号限制，可作变量替换，如x1无符号限制，则令x1=x2x3， x2x3为非负变量。,【例1.9】将下列线性规划化为标

14、准形,【解】（）因为x3无符号要求 ，即x3取正值也可取负值，标准型中要求变量非负，所以令,(2) 第一个约束条件是号，在左端加入松驰变量 (slack variable) x4，x40,化为等式；,(4)第三个约束条件是号且常数项为负数，因此在左边加入松驰变量x6，x60，同时两边乘以1。,（5）目标函数是最小值，为了化为求最大值，令Z=Z,得到max Z=Z，即当Z达到最小值时Z达到最大值，反之亦然。,(3)第二个约束条件是号，在 左端减去剩余变量(Surplus variable)x5，x50。也称松驰变量,综合起来得到下列标准型,当某个变量xj0时,令x/j=xj 。 当某个约束是绝对

15、值不等式时，将绝对值不等式化为两个不等式，再化为等式，例如约束,将其化为两个不等式,再加入松驰变量化为等式。,【例1.10】将下例线性规划化为标准型,【解】 此题关键是将目标函数中的绝对值去掉。 令,则有,得到线性规划的标准形式,对于axb(a、b均大于零)的有界变量化为标准形式有两种方法。 一种方法是增加两个约束xa及xb 另一种方法是令x=xa，则axb等价于0 xba，增加一个约束xba并且将原问题所有x用x= x+a替换。,1.如何化标准形式？,可以对照四条标准逐一判断！,标准形式是人为定义的，目标函数也可以是求最大值。,2.用WinQSB软件求解时，不必化成标准型。,图解法时不必化为

16、标准型。,3.单纯形法求解时一定要化为标准型。,作业：教材P63 T2，3，6，8，10中的线性规划化为标准形。,下一节：图解法,1.2 图解法 Graphical Method,若x*满足约束条件，则称之为LP问题的可行解。 所有可行解的集合称为可行域。 使目标函数达到最优值的可行解称为最优解。 对给定的LP问题，若存在最优解，则称该LP问题有解，否则称LP问题无解。,线性规划的标准形,几个概念,图解法的步骤：,1.求可行解集合。分别求出满足每个约束包括变量非负要求的区域，其交集就是可行解集合，或称为可行域；,2.绘制目标函数图形。先过原点作一条矢量指向点（c1,c2)，矢量的方向就是目标函

17、数增加的方向，称为梯度方向，再作一条与矢量垂直的直线，这条直线就是目标函数图形；,3.求最优解。依据目标函数求最大或最小移动目标函数直线，直线与可行域相交的点对应的坐标就是最优解。,一般地，将目标函数直线放在可行域中 求最大值时直线沿着矢量方向移动 求最小值时沿着矢量的反方向移动,x1,x2,O,10,20,30,40,10,20,30,40,(3,4),(15,10),最优解X=(15,10),最优值Z=85,例1.11,2,4,6,x1,x2,2,4,6,最优解X=(3,1) 最优值Z=5,(3,1),min Z=x1+2x2,例1.12,(1,2),2,4,6,x1,x2,2,4,6,X

18、（2）（3,1）,X（1）（1,3）,(5,5),min Z=5x1+5x2,例1.13,有无穷多个最优解 即具有多重解,通解为,01,当=0.5时 =(x1,x2)=0.5(1,3)+0.5(3,1)=(2,2),2,4,6,x1,x2,2,4,6,(1,2),无界解(无最优解),max Z=x1+2x2,例1.14,x1,x2,O,10,20,30,40,10,20,30,40,50,50,无可行解 即无最优解,max Z=10 x1+4x2,例1.15,由以上例题可知，线性规划的解有4种形式：,1.有唯一最优解(例1.11例1.12),2.有多重解(例1.13),3.有无界解(例1.14

19、),4.无可行解(例1.15),1、2情形为有最优解 3、4情形为无最优解,1.通过图解法了解线性规划有几种解的形式 2.作图的关键有三点 (1)可行解区域要画正确 (2)目标函数增加的方向不能画错 (3)目标函数的直线怎样平行移动,作业：教材P63 T1，2，3,下一节：线性规划的有关概念及基本定理,1.4 线性规划的有关概念 Basic Concepts of LP,1. 线性规划常用的概念：凸集、凸组合、极点（凸点）、可行解、基本解、基本 可行解、最优解、基本最优解、基、可行基、最优基,2.线性规划的三个基本定理。,凸集(Convex set)设K是n维空间的一个点集，对任意两点 时，则

20、称K为凸集。,就是以X（1）、X（2）为端点的线段方程，点X的位置由的值确定，当=0时，X=X（2），当=1时X=X（1）,凸组合(Convex combination) 设 是Rn 中的点若存在 使得 成立， 则称X为 的凸组合。,极点(Extreme point) 设K是凸集， ，若X不能用K中两个不同的 点 的凸组合表示为,则称X是K的一个极点或顶点。,X是凸集K的极点是指X不可能是K中某一线段的内点，只能是K中某一线段的端点。,O,设线性规划的标准型 min Z=CX （1.1） AX=b （1.2） X 0 （1.3） 式中A 是mn矩阵，mn并且r（A）=m，显然A中至少有一个mm

21、子矩阵B，使得r（B）=m。,基 (basis)A中mm子矩阵B并且有r（B）=m，则称B是线性规划的一个基（或基矩阵basis matrix ）。当m=n时，基矩阵唯一，当m0且aik（i=1，2,m）则线性规划具有无界解(见例1.18)。 （c）若存在k0且aik (i=1,m)不全非正，则进行换基；,第个比值最小 ，选最小比值对应行的基变量为出基变量，若有相同最小比值，则任选一个。aLk为主元素；,(c）求新的基可行解：用初等行变换方法将aLk 化为,k列其它元素化为零（包括检验数行）得到新的可行基及基本可行解，再判断是否得到最优解。,（b）选出基变量 ，求最小比值：,3.换基： （a）

22、选进基变量 设k=max j | j 0,xk为进基变量,【例1.16】 用单纯形法求解,【解】将数学模型化为标准形式：,不难看出x4、x5可作为初始基变量，单纯法计算结果如表 1.所示 。,表15,1/3,1,5,0,1,20,3,0,17,1,3,75,1/3,0,9,0,2,M,20,25,60,1,0,17/3,1/3,1,25,0,1,28/9,1/9,2/3,35/3,0,0,98/9,1/9,7/3,最优解X=(25，35/3，0，0，0)T，最优值Z=145/3,【例1.17】用单纯形法求解,【解】 这是一个极小化的线性规划问题,可以将其化为极大化问题求解,也可以直接求解,这时

23、判断标准是：j0(j=1，n)时得到最优解。 容易观察到,系数矩阵中有一个3阶单位矩阵,x3、x4、x5为基变量。目标函数中含有基变量x4,由第二个约束得到x4=6+x1x2，并代入目标函数消去x4得,表中j0,j=1,2,5所以最优解为X=(0,5,0,1,11,)最优值 Z=2x12x2x4=251=11 极小值问题,注意判断标准,选进基变量时,应选j0, x2进基，而a120且aik（i=1，2,m）则线性规划具有无界解,退化基本可行解的判断:存在某个基变量为零的基本可行解。,无可行解的判断：(1)当用大M单纯形法计算得到最优解并且存在Ri0时，则表明原线性规划无可行解。 (2) 当第一

24、阶段的最优值w0时，则原问题无可行解。,设有线性规划,其中Amn且r(A)=m,X0应理解为X大于等于零向量，即xj0,j=1,2,n。,1.5.3 计算公式,不妨假设A（P1，P2，Pn）中前m个列向量构成一个可行基，记为B=(P1，P2，Pm)。矩阵A中后nm列构成的矩阵记为N（Pm+1,Pn）,则A可以写成分块矩阵A=（B，N）。对于基B，基变量为XB=（x1,x2，xm ）T, 非基变量为XN=(xm+1,xm+2,xn)T。,则X可表示成 同理将C写成分块矩阵C=（CB，CN），,CB=(C1,C2,Cm), CN=(Cm+1Cm+2，cn) 则AX=b可写成,因为r（B）=m（或|

25、B|0）所以B 1存在，因此可有,令非基变量XN=0，XB=B1b，由 B是 可行基的假设，则得到基本可行解,X=(B1b，0)T,将目标函数写成,得到下列五个计算公式：,(令XN=0),上述公式可用下面较简单的矩阵表格运算得到，设初始矩阵单纯形表1-15,将B化为I（I为m阶单位矩阵）,CB化为零,即求基本可行解和检验数。用B1左乘表中第二行,得到表1-16,表115,表116,再将第二行左乘CB后加到第三行,得到,XB,Z0,表117,五个公式的应用,【例1.24】线性规划,已知可行基,求(1)单纯形乘子; (2)基可行解及目标值; (3)求3; (4)B1是否是最优基,为什么;,(5)当可行基为 时求1及3。,【解】