5、复合函数微分法与隐函数微分法ppt课件

1、复合函数微分法与隐函数微分法,复习：,一元复合函数,求导法则,微分法则,一、复合函数微分法,要求：熟练掌握多元复合显函数求导的链式法则,注意：本节的知识点容易让人产生混乱,1、复合函数的中间变量均为一元函数的情形,定理：若函数u=u(t)，v=v(t)都在点t可导，函数z=f(u,v) 在点(u,v)处偏导数连续，则复合函数z=f(u(t),v(t) 在点t可导，且有链式法则：,z,u,v,t,t,(1)z只有一个自变量,(2)z有两个中间变量,(3)两个中间变量u,v都只一个自变量,证明略,显函数,推广：,设z=f(u,v,w) ,u=u(t)，v=v(t)，w=w(t) ， 则z=f(u(

2、t),v(t),w(t)对t的导数为,z,u,v,t,t,w,t,全导数公式,定理：若函数u=u(x,y)，v=v(x,y)都在点(x,y)处具有对x 及y的偏导数，函数z=f(u,v)在点(u,v)处偏导数连 续，则复合函数z=f(u(x,y),v(x,y)在点(x,y)处对x 及y的偏导数都存在，且有：,2、复合函数的中间变量均为多元函数的情形,z,u,v,x,x,y,y,(1)因变量z有两个自变量x,y,(2)在对应法则f下z有两个中间变量u,v,(3)两个中间变量u,v都分别有两个自变量x,y,公式记忆法：,总原则 “联线相乘，分线相加”,z,u,v,t,t,z,u,v,x,x,y,y

3、,(1)几条路线，就是几项的和,(2)对于每一项，路线上有几步，就是几步的乘积,(3)对于每一步，从前向后有分支，说明是多元函数， 前面变量就对后面变量求偏导；没分支，说明是 一元函数，前面变量就对后面变量求导数。,3、复合函数的中间变量既有一元函数，又有多元 函数的情形,函数,都具有可微条件时，由公式记忆法有：,z=f,x,v,x,y,注意：区别,和,(1)因变量z有两个自变量x,y，求 时y为常数,(2)函数z在对应法则f下有两个变量x,v，求 时v为常数,小结：三种多元复合显函数求偏导的方法,例1：设z=eusinv，而u=xy，v=x+y，求 和,z,u,v,x,x,y,y,例2：设z

4、=uv+sint，u=et，v=cost，求全导数,z,u,v,t,t,t,小结：使用复合函数求导的链式法则，要,“弄清结构，选对公式”,例3：设z=f(x2y，y2)，求,令u=x2y，v=y2,z,u,v,x,y,y,例4：设 为可微函数，证明：,z,u,x,y,练习:P220 1,2,3,4,5,6,二、隐函数的微分法,目的：掌握由方程所确定的隐函数的导数的求法,研究内容：,(1)方程在一定条件下能确定什么样的函数,(2)在方程能确定隐函数时，研究求导方法,1、定理1：设函数F(x,y)在点P0(x0,y0)的某一邻域内满足,(1)具有连续的偏导数；,(2) F(x0,y0)=0,(3)

5、 Fy(x0,y0) 0,则方程F(x,y)=0在点x0的某邻域内可唯一确定一个单值 连续函数y=f(x)，满足条件y0=f(x0)，并有连续导数,（隐函数求导公式）,(Fx(x0,y0) 0),(x=f(y),-一元函数的求导,-二元函数的偏导数,故使用公式时要注意确定一元函数的自变量和因变量， 并构造二元函数。,问题：加 线的函数所表 示的对应法则一样吗？,推导：设y=f(x)为方程F(x,y)=0所确定的隐函数，则,两边对x求偏导数,在(x0,y0)的某邻域内,定理1：设函数F(x,y)在点P0(x0,y0)的某一邻域内满足,(1)具有连续的偏导数；,(2) F(x0,y0)=0,(3)

6、 Fy(x0,y0) 0,则方程F(x,y)=0在点x0的某邻域内可唯一确定一个单值 连续函数y=f(x)，满足条件y0=f(x0)，并有连续导数,(Fx(x0,y0) 0),例1：验证方程siny+ex-xy-1=0在点(0,0)的某邻域可 确定一个单值可导隐函数y=f(x),并求,例1：验证方程siny+ex-xy-1=0在点(0,0)的某邻域可 确定一个单值可导隐函数y=f(x),并求,构造以x,y为变量的二元函数,F(x,y)=siny+ex-xy-1,(1),连续,(2),(3),所以，在x=0的某邻域内方程存在单值可导的隐函数 y=f(x)，且,问题：求方程的 有多少种方法？,求

7、有什么方法？,符号已说明y是x的函数 运用复合函数求导数,法2：利用隐函数求导,2、定理2：若函数F(x,y,z)满足：,(1)在点P0(x0,y0,z0)的某邻域内有连续偏导数,(2) F(x0,y0,z0)=0,(3) Fz(x0,y0,z0) 0,则方程F(x,y,z)=0在点(x0,y0)的某邻域内可唯一确定一 个单值连续函数z=f(x,y)，满足条件z0=f(x0,y0)， 并有连续导数,例1：设x2+y2+z2-4z=0，求,先求出,构造三元函数F(x,y,z)=x2+y2+z2-4z,两边对x求偏导数,法1：运用定理,(2)要先求出,(3)求 有多少种方法,分析:(1)三元方程求高阶导数,例1：设x2+y2+z2-4z=0，求,法2：利用隐函数求导,再对x求偏导数,分析：函数z的两个自变量为x,y,y是常数,小结：隐函数求导方法,(1)运用公式,或,(2)利用复合函数求导法则直接计算,例2（综合题）：设z=f(x+y+z , xyz)，求,分析式子构成，复合抽象显函数，z是x,y的函数， x+y+z , xyz为中间变量,利用复合函数求导法则直接