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文档简介
1、第一节 特征函数,一般说来,数字特征不能完全确定随机变量的分布. 本节将要介绍特征函数,既能完全决定分布函数,又具有良好的性质,是研究随机变量的分布的有力的工具.,关于复数的回顾,复数的一般式:,取角,使得,则,其中,为复数z的模长。,复数的三角形式,在三角形式下,令,我们有,复数的三角形式在复数的乘除法运算中占有相当 大的优势。,如考虑,欧拉公式: 对于任何实数 ,记,则复数的乘除法运算变成,把指数函数推广到复变量的情形,一、定义,定义1,设、为实值随机变量,称= + i为,复随机变量,这里,称,为的数学期望.,复随机变量本质上是二维随机变量,相关的很多概念和,性质可以从实随机变量直接推广而
2、得到,例如,具有与实数,学期望类似的性质.,定义2,设为实随机变量,称,为的特征函数,这里t是任意实数.,1. 若为离散型,,则,2. 若为连续型,其密度为p (x),则,它就是函数p(x)的傅里叶变换.,特征函数的计算,二、常见分布的特征函数,例1 退化(单点)分布P(= c) =1的特征函数 f (t) =,例2 二项分布B (n, p) 的特征函数,例3 泊松分布P()的特征函数,例4 均匀分布U a, b 的特征函数,特别地 n=1时, 01分布的特征函数为,例5 正态分布,的特征函数,例6 指数分布,的特征函数,特别地,标准正态分布的特征函数为,三、性质,性质1,性质2,性质3,设=
3、 a+b, a,b是任意常数,则,性质4 若,相互独立,,,的特征函数为,,则,这一性质对独立随机变量和的研究起着很大作用.,性质5,若,存在,,则f (t) 是n次可微的,且当kn时,利用特征函数的性质, 我们很容易求得伽玛分布 和,的特征函数.,伽玛分布,分布,性质6(一致连续性定理) 任何特征函数f (t)在 (, )上均一致连续.,性质7 f(t) 是非负定的: 对任意正整数n及任意实数,, 复数,,有,0,这个性质是特征函数的最本质属性之一. 事实上,我们有如下的,波赫纳尔辛钦(Bochner-Khinchine)定理 函数f (t ) 为 特征函数的充要条件是f (t ) 非负定,
4、连续且f (0) =1.,四、逆转公式与唯一性定理,定理1(逆转公式),设分布函数F(x)的特征函数为f (t),又,是F(x)的两个连续点,则,分布函数可由特征函数唯一确定,定理2 (唯一性定理),定理3 (逆傅里叶变换),设f (t)是特征函数,且,则分布函数F(x)的导数存在且连续,此时,对应的随机变量 必为连续型,例7,求证f (t) = cost是某随机变量的特征函数. 并求出它的.,分布函数,f (t) = cost,解,=,这是分布列为,的随机变量的特征函数.,=,一般,若能把f (t)写成,的形式,其中,则f (t)是特征函数,它的分布列为,关于分布函数的可加性,特征函数有很多重要的应用. 比如, 用它来讨论分布函数 的可加性将非常方便.,回忆: 所谓可加性,是指若与相互独立,服从同一类型分布,则其和+也服从该类分布,且其分布中的参数是与的相应参数之和. 可加性也称再生性.,例8 设X和Y分别服从参数为 的泊松分布, 且二者独立,试证X+Y服从参数为 的泊松分布.,X+Y服从参数为 的泊松分布.,大家试着利用特征函数来说明一下表4.1.1中还有那些分布具有可加性?
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