【备战高考】2019年高考数学一轮复习第6章第3节《等比数列及其前n项和》

1、备战高考2019年高考数学一轮复习第6章 数列第3节 等比数列及其前n项和考试要求：1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题3.了解等比数列与指数函数的关系.知识梳理，自主学习一、基础知识梳理1.等比数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列.数学语言表达式：q(n2，q为非零常数).(2)如果三个数a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，其中G.2. 等比数列的通项公式及前n项和公式(1)若等比数列an的首项为a1，公比是q，则

2、其通项公式为ana1qn1；通项公式的推广：anamqnm.(2)等比数列的前n项和公式：当q1时，Snna1；当q1时，Sn.3.等比数列的性质已知an是等比数列，Sn是数列an的前n项和.(1)若klmn(k，l，m，nN*)，则有akalaman.(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，akm，ak2m，仍是等比数列，公比为qm.(3)当q1，或q1且n为奇数时，Sn，S2nSn，S3nS2n，仍成等比数列，其公比为qn.知识拓展提升1.若数列an为等比数列，则数列can(c0)，|an|，a，也是等比数列.2.由an1qan，q0，并不能立即断言an为等比数列，还要验证a1

3、0.3.在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q1与q1分类讨论，防止因忽略q1这一特殊情形而导致解题失误.二、双基自测训练1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)满足an1qan(nN*，q为常数)的数列an为等比数列()(2)G为a，b的等比中项G2ab.()(3)如果数列an为等比数列，bna2n1a2n，则数列bn也是等比数列()(4)如果数列an为等比数列，则数列ln an是等差数列()(5)数列an的通项公式是anan，则其前n项和为Sn.()(6)数列an为等比数列，则S4，S8S4，S12S8成等比数列()2已知an是等比数列，a22，a5，则公比q_.答案解

4、析由题意知q3，q.3在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为_答案27,81解析设该数列的公比为q，由题意知，2439q3，q327，q3.插入的两个数分别为9327,27381.4若1，a1，a2,4成等差数列，1，b1，b2，b3,4成等比数列，则的值为_答案解析1，a1，a2,4成等差数列，3(a2a1)41，a2a11.又1，b1，b2，b3,4成等比数列，设其公比为q，则b144，且b21q20，b22，.5设Sn为等比数列an的前n项和，8a2a50，则_.答案11解析设等比数列an的公比为q，8a2a50，8a1qa1q40.q380，q2，11.6

5、一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1 KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机_分钟，该病毒占据内存64 MB(1 MB210 KB)答案48解析由题意可知，病毒每复制一次所占内存的大小构成一等比数列an，且a12，q2，an2n，则2n64210216，n16.即病毒共复制了16次所需时间为16348(分钟).考点突破，深度剖析考点一等比数列基本量的运算【例1】 (1)(2017全国卷)设等比数列an满足a1a21，a1a33，则a4_.(2)(2017江苏卷)等比数列an的各项均为实数，其前n项和为Sn，已知S3，S6，则a8_.解析(1)由an为等比数

6、列，设公比为q.由得显然q1，a10，得1q3，即q2，代入式可得a11，所以a4a1q31(2)38.(2)设数列an首项为a1，公比为q(q1)，则解得所以a8a1q72732.答案(1)8(2)32规律方法1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.2.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q1时，an的前n项和Snna1；当q1时，an的前n项和Sn.【训练1】 (1)(2018武昌调研)设公比为q(q0)的等比数列an的前n项和为Sn，若S23a22，S43a42，则a1

7、()A.2 B.1C. D.(2)(2016全国卷)设等比数列满足a1a310，a2a45，则a1a2an的最大值为_.解析(1)由S23a22，S43a42得a3a43a43a2，即qq23q23，解得q1(舍)或q，将q代入S23a22，得a1a13a12，解得a11，故选B.(2)设等比数列an的公比为q，解得a1a2anaq12(n1)2.记t(n27n)，结合nN*，可知n3或4时，t有最大值6.又y2t为增函数.所以a1a2an的最大值为64.答案(1)B(2)64考点二等比数列的性质及应用【例2】 (1)(必修5P68BT1(1)等比数列an的各项均为正数，且a5a6a4a718

8、，则log3a1log3a2log3a10()A.12 B.10 C.8 D.2log35(2)(2018云南11校调研)已知数列an是等比数列，Sn为其前n项和，若a1a2a34，a4a5a68，则S12()A.40 B.60 C.32 D.50解析(1)由等比数列的性质知a5a6a4a7，又a5a6a4a718，所以a5a69，则原式log3(a1a2a10)log3(a5a6)510.(2)数列S3，S6S3，S9S6，S12S9是等比数列，即数列4，8，S9S6，S12S9是首项为4，公比为2的等比数列，则S9S6a7a8a916，S12S9a10a11a1232，因此S1248163

9、260.答案(1)B(2)B规律方法1.在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若mnpq，则amanapaq”，可以减少运算量，提高解题速度.2.在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形.此外，解题时注意设而不求思想的运用.【训练2】 (1)(2018西安八校联考)已知数列an是等比数列，数列bn是等差数列，若a1a6a113，b1b6b117，则tan的值是()A. B.1 C. D.(2)(一题多解)设等比数列an的前n项和为Sn，若3，则_.解析(1)依题意得，a()3，a6，3b67，b6，故tantantan.(2)法一由等

10、比数列的性质S3，S6S3，S9S6仍成等比数列，由已知得S63S3，即S9S64S3，S97S3，.法二因为an为等比数列，由3，设S63a，S3a，所以S3，S6S3，S9S6为等比数列，即a，2a，S9S6成等比数列，所以S9S64a，解得S97a，所以.答案(1)A(2)考点三等比数列的判定与证明【例3】 (2016全国卷)已知数列an的前n项和Sn1an，其中0.(1)证明an是等比数列，并求其通项公式；(2)若S5，求.(1)证明由题意得a1S11a1，故1，a1，a10.由Sn1an，Sn11an1，得an1an1an，即an1(1)an，由a10，0得an0，所以.因此an是首

11、项为，公比为的等比数列，于是an.(2)解由(1)得Sn1.由S5，得1，即.解得1.规律方法证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.【训练3】 (2017安徽江南十校联考)已知Sn是数列an的前n项和，且满足Sn2ann4.(1)证明：Snn2为等比数列；(2)求数列Sn的前n项和Tn.(1)证明因为anSnSn1(n2)，所以Sn2(SnSn1)n4(n2)，则Sn2Sn1n4(n2)，所以Snn22Sn1(n1)2(n2)，又由题意知a12a13，所以a13，则S1124，所以S

12、nn2是首项为4，公比为2等比数列.(2)解由(1)知Snn22n1，所以Sn2n1n2，于是Tn(22232n1)(12n)2n2n.思想方法分类讨论思想在等比数列中的应用典例 (12分)已知首项为的等比数列an的前n项和为Sn(nN*)，且2S2，S3,4S4成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)证明：Sn(nN*)思想方法指导(1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式；(2)求出前n项和，根据函数的单调性证明规范解答(1)解设等比数列an的公比为q，因为2S2，S3,4S4成等差数列，所以S32S24S4S3，即S4S3S2S4，可得2a4a3，于是q.2分又a1，所

13、以等比数列an的通项公式为ann1(1)n1(nN*)3分(2)证明由(1)知，Sn1n，Sn1n6分当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，所以SnS1.8分当n为偶数时，Sn随n的增大而减小，所以SnS2.10分故对于nN*，有Sn.12分自我检测，夯实智能一、选择题1.已知an，bn都是等比数列，那么()A.anbn，anbn都一定是等比数列B.anbn一定是等比数列，但anbn不一定是等比数列C.anbn不一定是等比数列，但anbn一定是等比数列D.anbn，anbn都不一定是等比数列解析两个等比数列的积仍是一个等比数列.答案C2.(2018太原模拟)在单调递减的等比数列an中，若a31，

14、a2a4，则a1()A.2 B.4 C. D.2解析在等比数列an中，a2a4a1，又a2a4，数列an为递减数列，所以a22，a4，所以q2，所以q，a14.答案B3(2017福建漳州八校联考)等比数列an的前n项和为Sn，若S32，S618，则等于()A3 B5C31 D33答案D解析设等比数列an的公比为q，则由已知得q1.S32，S618，得q38，q2.1q533，故选D.4(2017武汉市武昌区调研)设公比为q(q0)的等比数列an的前n项和为Sn.若S23a22，S43a42，则a1等于()A2 B1C. D.答案B解析由S23a22，S43a42，得a3a43a43a2，即qq

15、23q23，解得q1(舍去)或q，将q代入S23a22中得a1a13a12，解得a11，故选B.5(2017张掖市一诊)已知等比数列an中，a32，a4a616，则的值为()A2 B4C8 D16答案B解析a54，q20，a54，q22，则q44.6.(2017全国卷)我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯()A.1盏 B.3盏 C.5盏 D.9盏解析设塔的顶层的灯数为a1，七层塔的总灯数为S7，公比为q，则依题意S7381，公比q

16、2.381，解得a13.答案B7.设等比数列an中，前n项和为Sn，已知S38，S67，则a7a8a9等于()A. B. C. D.解析因为a7a8a9S9S6，且公比不等于1，在等比数列中，S3，S6S3，S9S6也成等比数列，即8，1，S9S6成等比数列，则8(S9S6)(1)2，S9S6，即a7a8a9.答案A8.(2018昆明诊断)在等比数列an中，若a3，a7是方程x24x20的两根，则a5的值是()A.2 B. C. D.解析根据根与系数之间的关系得a3a74，a3a72，由a3a740，所以a30，a70，即a50，2，成等差数列，由a11，a23，得b12，b2，公差d，bn，

17、an.答案an三、解答题16.(2017全国卷)记Sn为等比数列an的前n项和.已知S22，S36.(1)求an的通项公式；(2)求Sn，并判断Sn1，Sn，Sn2是否成等差数列.解(1)设an的公比为q，由题设可得解得故an的通项公式为an(2)n.(2)由(1)得Sn(2)n1，则Sn1(2)n11，Sn2(2)n21，所以Sn1Sn2(2)n11(2)n212(2)n2(2)n12Sn，Sn1，Sn，Sn2成等差数列.17.(2018惠州调研)已知数列an中，点(an，an1)在直线yx2上，且首项a11.(1)求数列an的通项公式；(2)数列an的前n项和为Sn，等比数列bn中，b1a

18、1，b2a2，数列bn的前n项和为Tn，请写出适合条件TnSn的所有n的值.解(1)根据已知a11，an1an2，即an1an2d，所以数列an是一个等差数列，ana1(n1)d2n1.(2)数列an的前n项和Snn2.等比数列bn中，b1a11，b2a23，所以q3，bn3n1.数列bn的前n项和Tn.TnSn即n2，又nN*，所以n1或2.18.(2017合肥模拟)设an是公比为q的等比数列.(1)推导an的前n项和公式；(2)设q1，证明数列an1不是等比数列.解(1)设an的前n项和为Sn，当q1时，Sna1a1a1na1；当q1时，Sna1a1qa1q2a1qn1，qSna1qa1q2a1qn, 得，(1q)Sna1a1qn，Sn，Sn(2)假设an1是等比数列，则对任意的kN*，(ak11)2(ak1)(ak21)，a2ak11akak2akak21，aq2k2a1qka1qk1a1qk1a1qk1a1qk1，a10，2qkqk