初二上动点问题

1、初二上动点问题1如图，已知ABC中，B=90 ，AB=8cm，BC=6cm，P、Q是ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿AB方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿BCA方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒（1）出发2秒后，求线段PQ的长？ （2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟后，PQB是等腰三角形？（3）当点Q在边CA上运动时，求能使BCQ成为等腰三角形的运动时间？2如图，在ABC中，已知AB=AC，BAC=90，BC=10cm，直线CMBC，动点D从点C开始沿射线CB方向以每秒3厘米的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线CM上以每秒2厘米的速度运

2、动，连接AD、AE，设运动时间为t秒（1）求AB的长；（2）当t为多少时，ABD的面积为15cm2？（3）当t为多少时，ABDACE，并简要说明理由（请在备用图中画出具体图形）3（1）如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，BAD=120，B=ADC=90E，F分别是BC，CD上的点且EAF=60探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G使DG=BE连结AG，先证明ABEADG，再证明AEFAGF，可得出结论，他的结论应是 ；（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，B+D=180E，F分别是BC，CD上的点，且EAF=BAD上述结论是否仍然成立

3、，并说明理由；（3）如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50的方向以80海里/小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70，试求此时两舰艇之间的距离4（12分）在等腰ABC中，AB=AC=2, BAC=120,ADBC于D,点O、点P分别在射线AD、BA上的运动，且保证OCP=60，连接OP.（1）当点O运动到D点时，如图一，此时AP=_,OPC是什么三角形。（2）当点O在

4、射线AD其它地方运动时，OPC还满足（1）的结论吗？请用利用图二说明理由。（3）令AO=x，AP=y，请直接写出y关于x的函数表达式，以及x的取值范围。 图一 图二5探究题 如图，点O是等边ABC内一点，A OB1100，BOCa，将BOC绕点C按顺时钟方向旋转60O得ADC，连接OD. (1)求证：COD是等边三角形； (2)当a150O时，试判断AOD的形状，并说明理由； (3)探究：当仅为多少度时，AOD是等腰三角形？6如图，在ABC中，ACB为锐角，点D为BC边上一动点，连接AD，以AD为直角边且在AD的上方作等腰直角三角形ADF（1）如图1，若AB=AC，BAC=90，当点D在线段B

5、C上时（不与点B重合），证明：ACFABD（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，猜想CF与BD的数量关系和位置关系是什么，并说明理由；（3）如图3，若ABAC，BAC90，BCA=45，点D在线段BC上运动（不与点B重合），试探究CF与BD位置关系7在ABC中，ACB=2B，如图，当C=90，AD为BAC的角平分线时，在AB上截取AE=AC，连接DE，易证AB=AC+CD （1）如图，当C90，AD为BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系?请写出你的猜想并证明；（2）如图，当AD为ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系?请写出你的猜

6、想，并对你的猜想给予证明8如图，在等边ABC中，线段AM为BC边上的中线动点D在直线AM上时，以CD为一边在CD的下方作等边CDE，连结BE（1）填空：CAM=_度；（2）若点D在线段AM上时，求证：ADCBEC；（3）当动点D在直线AM上时，设直线BE与直线AM的交点为O，试判断AOB是否为定值？并说明理由 9（1）如图(1)，已知：在ABC中，BAC90，AB=AC，直线m经过点A，BD直线m, CE直线m,垂足分别为点D、E.证明:ABDACE DE=BD+CE(2) 如图(2)，将(1)中的条件改为：在ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上,并且有BDA=AEC=BAC= ,

7、其中为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.10如图，等腰直角三角形的顶点的坐标为，的坐标为，直角顶点在第四象限，线段AC与x轴交于点D.将线段DC绕点D逆时针旋转90至DE.（1）直接写出点B、D、E的坐标并求出直线DE的解析式.（2）如图，点P以每秒1个单位的速度沿线段AC从点A运动到点C的过程中，过点P作与x轴平行的直线PG，交直线DE于点G，求与DPG的面积S与运动时间t的函数关系式，并求出自变量t的取值范围.（3）如图，设点F为直线DE上的点，连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FE以每

8、秒个单位的速度运动到E后停止.当点F的坐标是多少时，是否存在点M在整个运动过程中用时最少？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由.参考答案1(1) ； （2）t=83；（3）当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，BCQ为等腰三角形.【解析】（1）根据点P、Q的运动速度求出AP，再求出BP和BQ，用勾股定理求得PQ即可；（2）设出发t秒后，PQB能形成等腰三角形，则BP=BQ，由BQ=2t，BP=8-t，列式求得t即可；（3）当点Q在CA上运动上，能使BCQ成为等腰三角形的运动时间有三种情况：当CQ=BQ时（图1）则C=CBQ，可证明A=ABQ，则BQ=AQ，则CQ=AQ，从而求得t；当CQ

9、=BC时（图2），则BC+CQ=12，易求得t；当BC=BQ时（图3），过B点作BEAC于点E，则求得BE、CE，即可得出t.解：(1)BQ=22=4cm，BP=ABAP=821=6cm， B=90，PQ=； (2)BQ=2t，BP=8t， 2t=8t，解得：t=83；(3)当CQ=BQ时(图1)，则C=CBQ，ABC=90，CBQ+ABQ=90，A+C=90，A=ABQ，BQ=AQ，CQ=AQ=5，BC+CQ=11，t=112=5.5秒.当CQ=BC时(如图2)，则BC+CQ=12t=122=6秒当BC=BQ时(如图3)，过B点作BEAC于点E，则BE=，所以CE=BC2BE2，故CQ=2C

10、E=7.2，所以BC+CQ=13.2，t=13.22=6.6秒. 由上可知，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，BCQ为等腰三角形.“点睛”本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质，注意分类讨论思想的应用.2（1）5；（2）2或8； （3）2或10 【解析】试题分析：（1）运用勾股定理直接求出；（2）首先求出ABD中BD边上的高，然后根据面积公式列出方程，求出BD的值，分两种情况分别求出t的值；（3）假设ABDACE，根据全等三角形的对应边相等得出BD=CE，分别用含t的代数式表示CE和BD，得到关于t的方程，从而求出t的值试题解析：（1）在ABC中，AB=AC，BAC=90，

11、2AB2=BC2，AB=5cm；（2）过A作AFBC交BC于点F，则AF=BC=5cm，SABD=15cm2，AFBD=30，BD=6cm若D在B点右侧，则CD=4cm，t=2s；若D在B点左侧，则CD=16cm，t=8s （3）动点E从点C沿射线CM方向运动2秒或当动点E从点C沿射线CM的反向延长线方向运动6秒时，ABDACE理由如下：（说理过程简要说明即可）当E在射线CM上时，D必在CB上，则需BD=CECE=2t，BD=103t2t=103tt=2证明：在ABD和ACE中，ABDACE（SAS） 当E在CM的反向延长线上时，D必在CB延长线上，则需BD=CECE=2t，BD=3t10,2

12、t=3t10,t=10证明：在ABD和ACE中，ABDACE 点睛：本题是三角形综合题目，考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质与判定以及面积的计算；本题综合性强，有一定的难度，熟练掌握等腰直角三角形的性质和分类讨论思想的运用.3问题背景：EFBEDF；探索延伸：EFBEDF仍然成立，理由见解析；实际应用：此时两舰艇之间的距离是210海里【解析】解：问题背景：EFBEDF；探索延伸：EFBEDF仍然成立证明如下：如图，延长FD到G，使DGBE，连接AG，BADC180，ADCADG180，BADG，在ABE和ADG中，ABEADG（SAS），AEAG，BAEDAG，EAFBAD，GAFD

13、AGDAFBAEDAFBADEAFEAF，EAFGAF，在AEF和GAF中，AEFGAF（SAS），EFFG，FGDGDFBEDF，EFBEDF；实际应用：如图，连接EF，延长AE、BF相交于点C，AOB3090（9070）140，EOF70，EAFAOB，又OAOB，OACOBC（9030）（7050）180，符合探索延伸中的条件，结论EFAEBF成立，即EF1.5（6080）210海里答：此时两舰艇之间的距离是210海里4（1）1，等边三角形；（2）理由见解析；(3)当时，y=2-x；当时， y=x-2 【解析】试题分析：（1）根据等腰三角形的性质得到B=ACB=30，求得ACP=30，根

14、据全等三角形的性质即可得到结论；（2）过C作CEAP于E，根据等边三角形的性质得到CD=CE，根据全等三角形的性质得到OC=OP，由等边三角形的判定即可得到结论；（3）分两种情况解决，在AB上找到Q点使得AQ=OA，则AOQ为等边三角形，根据求得解实现的性质得到PA=BQ，求得AC=AO+AP，即可得到结论试题解析：（1）AD=AP=1,AB=AC=2，BAC=120，B=ACB=30，OCP=60，ACP=30，CAP=180BAC=60，ADBC，DAC=60，在ADC与APC中， ，ACDACP，CD=CP，PCO是等边三角形；（2）OPC还满足（1）的结论，理由：过C作CEAP于E，C

15、AD=EAC=60，ADCD，CD=CE，DCE=60，OCE=PCE，在OCD与PCE中， ，OCDPCE，OC=OP，OPC是等边三角形；（3）当0x2时，在AB上找到Q点使得AQ=OA，则AOQ为等边三角形，则BQO=PAO=120，在BQO和PAO中， ，BQOPAO（AAS），PA=BQ，AB=BQ+AQ，AC=AO+AP，AO=x，AP=y，y=x+2；当时， 利用同样的方法可求得y=x-2点睛：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证BQOPAO是解题的关键，解决本题时注意分类讨论，要做到不重不漏5（1）等边三角形；（2）直角三角形；（3）当的度数

16、为或或时，AOD是等腰三角形.【解析】（1）根据旋转的性质可得出OC=OD，结合题意即可证得结论；（2）结合（1）的结论可作出判断；（3）找到变化中的不变量，然后利用旋转及全等的性质即可做出解答.（1）证明：将BOC绕点C按顺时针方向旋转60得ADCCO=CD，OCD=60COD是等边三角形. （2）解：当=150时，AOD是直角三角形理由是:BOCADCADC=BOC=150又COD是等边三角形ODC=60来ADO=ADC -ODC=90，即AOD是直角三角形.（3）解：要使AO=AD，需AOD=ADOAOD= = ,ADO= = 要使OA=OD，需OAD=ADOOAD=（AOD+ADO）=

17、 要使DO=DA,需OAD=AOD.AOD= = ，OAD=，解得 综上所述：当的度数为或或时，AOD是等腰三角形.“点睛”本题以“空间与图形”中的核心知识（如等边三角形）的性质、全等三角形的性质与证明、直角三角形的判定、多边形内角和等）为载体，内容由浅入深，层层递进，试题中几何演绎推理的难度适中，蕴含着丰富的思想方法（如运动变化、数形结合、分类讨论、方程思想等）能较好地考查学生的推理、探究及解决问题的能力.6见解析【解析】（1）根据同角的余角相等求出CAF=BAD，然后利用“边角边”证明ACF和ABD全等，（2）先求出CAF=BAD，然后与的思路相同求解即可；（3）过点A作AEAC交BC于E

18、，可得ACE是等直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AC=AE，AED=45，再根据同角的余角相等求出CAF=EAD，然后利用“边角边”证明ACF和价AED全等，根据全等三角形对应角相等可得ACF=AED，然后求出BCF=90，从而得到CFBD.解：（1）BAC=90，ADF是等腰直角三角形，CAF+CAD=90，BAD+ACD=90，AD=AFCAF=BAD， 在ACF和ABD中，AB=AC，CAF=，AD=AF，ACFABD（SAS）（2）CFBD， 如图2，ADF是等腰直角三角形，AD=AF，CAB=DAF=90，CAB+CAD=DAF+CAD，即CAF=BAD，在ACF和ABD中，

19、AB=AC，CAF=BAD，AD=AF， ACFABD（SAS），CF=BD，ACF=B，AB=AC，BAC=90，B=ACB=45，BCF=ACF+ACB=45+45=90，CFBD（3）CFBD如图3，过点A作AEAC交BC于E，BCA=45，ACE是等腰直角三角形，AC=AE，AED=45，CAF+CAD=90，EAD+CAD=90，CAF=EAD，在ACF和AED中，AC=AE，CAF=EAD，AD=AF，ACFAED（SAS），ACF=AED=45，BCF=ACF+BCA=45+45=90，CFBD“点睛”此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，根

20、据同角的余角相等求出两边的夹角相等是证明三角形全等的关键，此类题目的特点是各小题求解思路一般都相同.7（1）（2）见解析【解析】（1）首先在AB上截取AE=AC，连接DE，易证ADEADC（SAS），则可得AED=C，ED=CD，又由ACB=2B，易证DE=CD，则可求得AB=AC+CD；（2）首先在BA的延长线上截取AE=AC，连接ED，易证EADCAD，可得ED=CD，AED=ACD，又由ACB=2B，易证DE=EB，则可求得AC+AB=CD解：（1）猜想：AB=AC+CD证明：如图，在AB上截取AE=AC，连接DE，AD为BAC的角平分线时，BAD=CAD，AD=AD，ADEADC（SA

21、S），AED=C，ED=CD，ACB=2B，AED=2B，B=EDB，EB=ED，EB=CD，AB=AE+DE=AC+CD（2）猜想：AB+AC=CD证明：如图，在BA的延长线上截取AE=AC，连接EDAD平分FAC，EAD=CAD在EAD与CAD中，AE=AC，EAD=CAD，AD=AD，EADCADED=CD，AED=ACDFED=ACB又ACB=2B，FED=B+EDB，EDB=BEB=EDEA+AB=EB=ED=CDAC+AB=CD“点睛”此题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定定理此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用830；【解析】（1）根据等边三角形的性质可

22、以直接得出结论；（2）根据等边三角形的性质就可以得出AC=AC，DC=EC，ACB=DCE=60，由等式的性质就可以BCE=ACD，根据SAS就可以得出ADCBEC；（3）分情况讨论：当点D在线段AM上时，如图1，由（2）可知ACDBCE，就可以求出结论；当点D在线段AM的延长线上时，如图2，可以得出ACDBCE而有CBE=CAD=30而得出结论；当点D在线段MA的延长线上时，如图3，通过得出ACDBCE同样可以得出结论解：（1）ABC是等边三角形，BAC=60线段AM为BC边上的中线CAM=BAC，CAM=30故答案为：30；（2）ABC与DEC都是等边三角形AC=BC，CD=CE，ACB=

23、DCE=60ACD+DCB=DCB+BCEACD=BCE在ADC和BEC中，AC=BC，ACD=BCE，CD=CE， ACDBCE（SAS）；（3）AOB是定值，AOB=60，理由如下：当点D在线段AM上时，如图1，由（2）可知ACDBCE，则CBE=CAD=30，又ABC=60CBE+ABC=60+30=90，ABC是等边三角形，线段AM为BC边上的中线AM平分BAC，即BAM=BAC=60=30BOA=90-30=60当点D在线段AM的延长线上时，如图2，ABC与DEC都是等边三角形AC=BC，CD=CE，ACB=DCE=60ACB+DCB=DCB+DCEACD=BCE在ACD和BCE中，

24、AC=BC，ACD=BCE，CD=CE，ACDBCE（SAS）CBE=CAD=30，同理可得：BAM=30，BOA=90-30=60当点D在线段MA的延长线上时，如图3，ABC与DEC都是等边三角形AC=BC，CD=CE，ACB=DCE=60ACD+ACE=BCE+ACE=60ACD=BCE在ACD和BCE中，AC=BC，ACD=BCE，CD=CE，ACDBCE（SAS）CBE=CAD同理可得：CAM=30CBE=CAD=150CBO=30，BAM=30，BOA=90-30=60综上，当动点D在直线AM上时，AOB是定值，AOB=60“点睛”边三角形的性质的运用，直角三角形的性质的运用，等式的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键9（1）证明见解析；（2）成立，理由见解析.【解析】试题分析：（1）根据BD直线m，CE直线m得BDA=CEA=90，而BAC=90，根据等角的余角相等得CAE=ABD，然后根据“AAS”可判断ADBCEA，则AE=BD，AD=CE，于是DE=AE+AD=BD+CE；（2）利用BDA=BAC=，则DBA+BAD=BAD+CAE=180-，得出CAE=ABD，进而得出ADBCEA即