1988A毒品走私贩问题-赵轶星

1、1988：毒品走私贩问题两个监听哨所相距5.43海里，它们接收了一个简短的无线电信号。当检测到信号时，感应装置的方向分别为110和119（见下图），它们的误差在2以内。信号来自于一个毒品交易活跃的地区，推断那里有一个游艇在等待某人来拿取毒品。这是在黄昏，风平浪静。一个小型直升飞机离开了哨所1的起飞台并且能准确地沿着110的方向飞行。直升飞机的速度是船的速度的三倍。当直升飞机进入船的500英尺的区域内，它的声音会被听到。这直升飞机只有一个侦察装置探照灯。在200英尺的高度上，它能照亮半径为25英尺的圆形区域内。图1.问题的图1、说明飞行员预期找到等待中的毒品船的（最小）区域。2、为直升飞机研究一

2、种最佳搜索方法，在计算中使用95%的置信度。锁定毒品走私贩：买迈阿密的副业摘要我们被要求设计一个方法精确地确定嫌疑的毒品走私船的位置，并且找到最优的直升飞机搜索方法来捕捉走私贩。我们首先对直升飞机和机动船的类型、侦探装置的精确性、走私船的移动方法和搜索的类型做出了假设。包含快艇的区域是通过对侦查装置的精确性运用统计分析来确定的。我们研究了几种可能的搜索策略，剔除了低效率的方案后，我们考虑两个有前景的方法。我们根据毒品走私贩的心理和两种搜索策略来测试我们的方法。我们设计出直升飞机和快艇之间的相互作用的计算机模拟，这允许我们测试每个方案中的变量。我们讨论最终结果的数据并且根据我们的模型给出了最优的

3、方法。我们评估了这个模型，并且对它做出了进一步改进的建议。假设这个问题包含了几个未知因素，因此我们必须做出假设。然而，这些假设或者是基于文件的信息，或者是基于显而易见的理由。直升飞机类型我们假设这个直升飞机在设计和类型上是和美国海岸巡逻队的Sikorsky HH-3F相似，它的时速能很好地达到200海里每小时。然而，我们假设这个飞机的速度恒为180海里每小时（264英尺每秒），因为飞行员必须认真地搜索下面的海域。我们假设直升飞机的探照灯是装载在驾驶座下面的，所以有可能扫视整整360的扫视。进一步，我们把区域限制在90的区域里，直升飞机前进方向的左右各45。如果我们假设侦查员只能直接观察到前方的

4、一个区域，这个改进是合理的。因为我们把扫视区域减少了四分之三，我们能假设探照灯可以持续地照亮整个前方的区域。即是说，光线可以快速地扫射来照亮整个90度的区域。因为天气是温和的，我们假设直升飞机可以安全地在海的上空20英尺以内飞行。最后，我们假设直升飞机能够遵守和维持准确的飞行模式进行飞行。快艇类型因为题目说明了毒品走私贩的机动船的速度是直升飞机的三分之一，因此我们假设机动船的速度是60海里每小时。更进一步，我们假设快船的加速是瞬时的，因此在移动时能保持最高速度。因为go-fast机动船经常被毒品走私贩使用，并且拥有80海里每小时的时速，因此我们的假设是合理的。侦查精确度我们认为在中心为给定的角

5、度（119和110）、标准差是1的正规分布下有2的误差。因此，真值落在测量值的2内的可能性是95%。毒品走私贩的心理我们假设毒品走私贩只要没有听见直升飞机，就会一直待在原来的位置。如果走私贩听到了直升飞机，我们假设快艇会以最高的速度往垂直于直升飞机前进方向的垂直方向逃跑。走私贩的根据直升飞机的侦查的移动是我们单独考虑的一个因素。搜索的方法考虑到油和飞行员疲劳度的限制，我们假设搜索有6小时的限制。就是说，如果6小时后走私贩没有被发现，那么搜索就要结束并且走私贩已经逃跑了。可以肯定，毒品交替在时间的限制下已经完成了。我们也假设在特定的位置，直升飞机在海岸600英尺海拔的高考开始飞行，这是在走私贩的

6、听见范围以外，并且直升飞机会一直降落到水平面。用这种方法，直升飞机可以在保持一样的开始条件下在任何地点开始搜索。最后，如果机动船进入了直升飞机的视野中，我们假设毒品走私贩会被逮捕。简要问题概述第一个要解决的问题是飞行员有机会找到等待中的机动船的区域的描述。所给的信息仅仅包括了感应装置对毒品走私贩的可能区域的三角测量的结果。因为我们假设感应装置按照规定的统计方法运作，我们必须使用一些种类的可能性区间来描述能找到船的区域的精确性。然而，在这种情况下，我们可以用给定的感应装置的精确度（2）来计算可能区域的第一个近似数。结果会给出一个船所在的最小的可能区域，并且需要进一步的分析。在确定了快艇所在的准确

7、区域后，下一个问题是设计出一个在6小时以内捕捉毒品走私贩的最优搜索策略。我们所说的最优策略是说有最高的捕捉快艇的成功率的方法。这个解释忽略了飞行时间、汽油的消耗和完成的容易度，然而，我们认为最佳策略应该把重心放在真正地捕捉到毒品走私贩，而要忽略其他因素。在设计搜索策略中，最重要的考虑是快艇能够在500英尺内听到直升飞机的声音，但是飞行员只能在200英尺内发现船。因此，任何的直升飞机接近方法都有很大可能造成快艇在原位置在直升飞机视线外被吓跑。这个原因让我们只考虑“曲线接近”的飞行方法。就是说，直升飞机会沿着环形的路劲飞行。这种情况下，直升飞机如果按照向外或向内的前进路径飞行，有更高的发现毒品走私

8、贩的可能性。我们研究了两种这样的方案：以最有可能的快艇所在位置为中心的圆，和根据飞行员预测能找到毒品走私贩的大概区域得出的四边形。另一个重要的考虑是快艇一旦听见直升飞机声音后的移动方法。能有太多的不同类型的反应。然而，我们总结出三种最有可能的反应。l 走私船仅仅是一直在逃，不会回到接货点，认为毒品交易已经被强制终止了。l 走私船可能会从接货点逃跑，但是在一段时间后会停下并且一直在等待联系处进一步的指示。l 走私船可能一开始先离开原来的地点，在一段时间后停下来，然后回到原来的地方来完成毒品的交易。这三种方案每一种都有优点和缺点，但是没有对环境和其他因素的更加详细的信息，这三种情况我们都需要考虑。

9、问题分析确定区域因为我们假设有95%的可信度认为确定快艇位置的感应装置有2的精确度，我们能用间隔误差方法来确定快艇的可能位置的范围。就是说，我们测试每个感应器的最大和最小偏差来确定区域的形状和大小。这个基本的三角视差方法的结果在图1中显示，并且图2是放大后的结果。虽然区域完全在两个方向扩展，我们注意到最有可能的毒品走私贩的位置是在从监听所的感应器发出的110和119的直线的交汇处。这是我们假设真实的角度符合以给定角度为中心的正态分布的结果。因此，为了更进一步的计算和分析，我们选择把我们初始区域从第二个监听所迁往有最大可能性密度的地点（见图3）。设计最优搜索方案问题的中心是“捕捉区域”的想法，既

10、是直升飞机能捕捉到走私贩的区域。题目说在200英尺的海拔高度上，直升飞机探照灯能够照明一个半径为20英尺的区域。然而，如果直升飞机保持在20英尺的海拔高度，有效搜索区域的半径能增加到大约200英尺（见图4）。因此，在直升飞机的200英尺内并且在探照灯的光线能够探照到的区域内的任何事物都能被侦察到。因此，除了一开始搜索的降落，我们把问题缩减为两个方面。图1.由间隔误差方法确定的机动船等待区域图2.图1的放大图3.如图2，但是把初始位置移到可能性密度最大的区域图4.不同的使用探照灯的方法探照灯能够持续扫视90宽的区域，创立一个“扫视区域”代表搜索人员的视野的范围。（如图5）。图5.搜索人员视野的范

11、围半径为200英尺的圆的剩余部分“黑暗区域”代表不能用光线持续扫射的部分。然而，因为飞机是以264英尺每秒（180海里每小时）的速度向前飞，这些黑暗区域可以有效地被搜索，因为直升飞机已经通过这些区域。因此，我们有一个283英尺宽的“捕捉区域”，它能保证如果快艇进入这个区域，那么毒品走私贩一定会被逮捕。图6.捕捉区域的几何图形虽然在飞行员200英尺半径里，在捕捉区域外有两个额外的59英尺的部分，我们不用考虑船会在这个部分的情况，因为毒品走私船有300英尺的听力优势并且可以移动到直升飞机的范围以外。有效的方法是，如果快艇在200英尺半斤的区域内，那么或者毒品走私贩在90的扫视范围内并且将会被逮捕，

12、或者已经被捕捉住了。设计搜索方法的一个重要的因素是毒品走私贩的半径为500英尺听力范围和直升飞机的半径200英尺的视力范围的区别。似乎在任何给定的路劲上，毒品走私贩都会听到直升飞机的声音然后逃出捕捉区域，因此要初始化船离开直升飞机路径的移动方法。我们的搜索策略必须把船的移动方式的可能结果考虑进来。我们首先考虑了很多搜索方式，但是发现有一些是不可行的。我们的方法是某种螺旋式的路劲，比如阿基米德螺线（）或者指数螺线（），它们是远离中心的连续曲线。不幸的是，任何这种螺旋线都是不可实现的，因为很难建立允许飞机以恒定速度沿着螺线运动的参数方程（关于时间的函数）。另一种可能的方法是包含了根据搜索区域的边界

13、调整成的一些直线段或者正弦波。这个方法被证明是可行的，然而，初始的计算显示在6小时的限制内不可能覆盖整个区域。因此，最好的方法应该是沿着一个覆盖了最高可能性的区域（初始区域）并且循环前进的路径，以此增加拦截船只的可能性。这两种我们测试了的方法在图7和图8中显示，附加在机动船的等待区域上。图7.圆形路径的搜索方法图8.四边形路径的搜索方法在图7的圆形方法中，直升飞机沿着以最可能地点为中心的圆前进。在图8的四边形方法中，直升飞机沿着一个几何上相似于机动船等待区域的边界的路径前进。我们要研究在邻近路径的距离和开始地点的变化下捕捉几率的区别。我们还测试了在给定的路劲上改变前进方向（向里和向外）的影响。

14、（注意到邻近路劲的距离在图中足够大，这只是为了说明，实际搜索中邻近的路径的距离不能超过2000英尺。）注意到在圆形路径上，飞机会飞行在机动船等待区域之外，而四边形的方法保持一致在区域内。这个不同似乎能证明，在上文提到的走私船的三种不同的反应下，圆形方法在应对毒品走私船逃跑的情况下能表现得更好，而四边形方法在走私船停下等待或者回到原来位置的情况下能表现得更好。模型设计我们模型的核心是一套计算机程序，它能根据我们之前的假设模拟直升飞机和快艇的相互作用。这个计算机程序是足够灵活的，我们能够研究相互作用中各种不同的因素并且在大量的测试中重复地执行这些因素的程序。我们的计算机程序分解成一个3242的模型

15、，在每个模型中，我们测试捕捉概率的四个因素的影响情况：l 毒品走私贩听到直升飞机后的反应。我们假设走私贩会表现出下面三种反应的其中一种：1. 船以远离直升飞机声音的方式逃跑，并且永远不停下来或者回到原来的地点。2. 船首先以远离直升飞机声音的方式逃跑，但是在5海里外停下并且等待进一步指示。3. 船以远离直升飞机声音的方式逃跑，在5海里外停下，在等待10分钟后回到原来的交易地点，规定走私贩不会再听到直升飞机的声音。l 直升飞机飞行路径的类型。我们考虑了两种上面提到的“接近路径”，既是圆形方法和四边形方法。在这两种方法中，直升飞机都能完成转圈。1. 在圆形方法中，直升飞机在x轴沿着特定的距离开始并

16、且结束每个圈，并且在开始下一个圈前沿着轴前进（见图7）。2. 在四边形方法中，飞行员沿着连接最有可能地点（原点）和机动船等待区域中最靠近外围的点的连线的方向以特定的距离开始并且结束每次循环。l 在四边形或圆形方法中两个邻接的圈的距离。这个因素有效地表明了搜索方案的“紧密程度”。如果每个圈之间的距离很大，直升飞机能覆盖更大的区域但是错过了间隔区域的部分。另一方面，如果距离很小，直升飞机能更充分地覆盖一个小的区域。考虑到直升飞机的200英尺的扫视区域，我们测试四种距离的成功率：200,500,1000,2000英尺。l 直升飞机在路径上的前进方向。既是说飞行员是沿着相邻的循环向外飞行还是向最可疑地

17、点飞行。逻辑上说，直升飞机既可以从最可疑地点出发并且沿着外面前进，也可以从最外围并向里面前进，因为飞行员想要从同一个方向“惊吓”毒品走私贩。因此，我们的分析需要模拟48种不同的配置，并且从中得到在多种约束下的最优方法。这个计算机程序是一个交互式程序，它运用基本代数方法来计算直升飞机6小时里每一秒的飞行路径。这个程序确定在任一地点直升飞机和快艇是否产生相互作用，然后根据上文建立的标准计算机动船的移动方法。这个过程是简单，但是它建立了一个可以接受的接近真实搜索路径的结果。对于48种不同的配置，我们通过计算机模拟了机动船在134个不同开始位置的情况。这134个地点由下面的方法产生：我们根据以两个给定

18、角度(110和119)为中心，标准差为1的正态分布产生随机数，这是以所给的2误差代表95%的置信区间这个假设为基础的。对每对随机数使用三角测量法得到134个在机动船等待区域内的开始位置。（见图9）图9.在机动船等待区域内的搜索地点 48个方案中每个方案的137个样本得到一个值（捕捉到机动船的可能性）。假设在0.1的附近，那么它误差在0.051内有95%的置信等级：问题的预测和结果我们选择根据三种可能的毒品走私贩的“心理”来测试捕捉率。即是说，对于每一种反应在第一次听到直升飞机的声音后或者停下来、或者回去、或者逃跑我们研究最有可能的搜索策略。我们发现这个方法是最现实的，因为不同的因素，比如天气或

19、者海岸的配置会改变走私贩的反应。使用这个方法，我们的结果可以对走私贩不同的反应使用。表13表示了我们在上文讨论的不同因素和每种走私贩反应下的成功率134个船初始位置的不同情况中能捕捉到船的情况的数量。例如，在表1中，圆形方法中在大的半径区域开始并且以每个循环500英尺向里面前进的方案中，我们可以看到毒品走私贩在134个不同起始位置中被抓住18次，因此成功率是0.134。表1.策略1：毒品走私贩从接货点逃跑并且不停下来或者回去134个随机初始位置中被捕捉的次数（捕捉的可能性）表2.策略2：毒品走私贩从接货点逃跑并且停下来等待134个随机初始位置中被捕捉的次数（捕捉的可能性）表3.策略3：毒品走私

20、贩从接货点逃跑，停下来等待，并且回来134个随机初始位置中被捕捉的次数（捕捉的可能性）这个表显示了这些测试中最优的方案是圆形路径并且是向里移动和邻近圆环间隔为500或1000英尺的方案。这个并不令人惊讶，因为圆形路径增加了直升飞机拦截正在逃跑的走私船几率。相对于向外移动，向里移动会趋向于把船驱逐向区域的中心，比“远离海域”要好。这个有效地缩减了最有可能被捕捉到的区域。邻近圆环的距离比较小的方案在规定时间内只能覆盖整个区域中比较小的区域，但是距离太大的方案会留下很大的空间给走私船从旁边经过。因此，中间规模能有更高的捕捉率，就如观察到的一样。然而，正如表显示的一样，对于这些一般的规则有例外的情况。

21、圆形方法在多种情况中都显得更加好，然而在邻接圆环非常小的情况下，四边形方法能得到更高的捕捉率。更进一步，在圆形方法中，向里面方向的方案明显比向外面的方案好，然而在四边形方法中却得不到这个结论。这个特定的单元表明了不同的图表有不同的最高捕捉率，因此很难对直升飞机飞行员做出明确的建议。最好的行动方法是根据毒品走私贩的行动策略而行动，然而这个策略飞行员是不会知道的。如果我们假设我们研究的三种策略的发生概率是一样的，那么圆形向里500策略和圆形向里1000策略的捕捉概率是一样的。因此，根据我们的随机样本规模考虑大约0.05的分析误差是重要的，一个清晰明确的最优策略还是相当模糊的。如果我们考虑毒品走私贩

22、的观点，那么策略3（船回到原来的地点完成毒品交易）是最不可能的，它是最有可能导致走私贩被捕的。从这个观点来看，另外两个策略没有明显的可评估的不同。虽然在我们的标准下，向里面方向移动显得比向外面方向移动更优（六小时内捕捉到走私贩的概率），但是在其他标准下可能是错的。因为在这种方案下，找到走私船的最高可能性的区域是最后到达的，可能需要更多的努力和汽油才能捕捉到走私贩。模型优点和缺点我们的方法中最重要的技术缺陷是我们只考虑了直升飞机的两种飞行方法。有无数种方法可以研究，有些可能相当复杂。然而我们相信我们对这两种方法（圆形方法和四边形方法）的测试为模型的成功建立有很好的基础。使圆形路径变得光滑成为一个真正的螺线线可能会更有效率，但是参数化法证明这是不可实现的。我们的模型还假设了毒品走私贩的逃跑路径是根据初始的直升飞机的声音而定的：