2017年高考数学上海试题及解析

1、2017年上海市高考数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第16题每题4分，第712题每题5分）1.已知集合a=1，2，3，4，集合b=3，4，5，则ab=3,4 【解析】集合a=1，2，3，4，集合b=3，4，5，ab=3，42（2017年上海）若排列数a=654，则m=2.3 【解析】排列数a=65(6-m+1)，6-m+1=4，即m=3.3（2017年上海）不等式1的解集为3.(-，0) 【解析】由1，得1-1，则0，解得x0，即原不等式的解集为(-，0).4.（2017年上海）已知球的体积为36，则该球主视图的面积等于4.9 【解析】设球的半径为r，则由球的体积为36，可得r

2、3=36，解得r=3.该球的主视图是半径为3的圆，其面积为r2=95（2017年上海）已知复数z满足z+=0，则|z|=5. 【解析】由z+=0，可得z2+3=0，即z2=-3，则z=i，|z|=.6（2017年上海）设双曲线-=1（b0）的焦点为f1，f2，p为该双曲线上的一点，若|pf1|=5，则|pf2|= 6.11 【解析】双曲线-=1中，a=3，由双曲线的定义，可得|pf1|-|pf2|=6，又|pf1|=5，解得|pf2|=11或1（舍去），故|pf2|=11.7（2017年上海）如图，以长方体abcd-a1b1c1d1的顶点d为坐标原点，过d的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直

3、角坐标系，若向量的坐标为（4，3，2），则向量的坐标是7.(-4,3,2) 【解析】由的坐标为（4，3，2），可得a（4，0，0），c(0,3,2)，d1(0,0,2)，则c1（0，3，2），=（4，3，2）8.（2017年上海）定义在（0，+）上的函数y=f（x）的反函数为y=f1（x），若g（x）=为奇函数，则f-1（x）=2的解为 8. 【解析】g（x）=为奇函数，可得当x0时，x0，即有g(x)=-g（x）=-(3-x-1)=1-3-x，则f(x)=1-3-x.由f-1（x）=2，可得x=f(2)=1-3-2=，即f-1（x）=2的解为.9（2017年上海）已知四个函数：y=-x，y=

4、-，y=x3，y=x，从中任选2个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为9. 【解析】从四个函数中任选2个，基本事件总数n=c=6，“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件有，共2个，事件“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率为p=.10（2017年上海）已知数列an和bn，其中an=n2，nn*，bn的项是互不相等的正整数，若对于任意nn*，bn的第an项等于an的第bn项，则=10.2 【解析】an=n2，nn*，若对于一切nn*，bn中的第an项恒等于an中的第bn项，ba=ab=b.b1=b12，b4=b22，b9=b32，b16=b42.b1b

5、4b9b16=(b1b2b3b4)2，=2.11（2017年上海）设1，2r且+=2，则|10-1-2|的最小值等于 11. 【解析】由-1sin 11，可得12+sin 13，则1.同理可得1.要使+=2，则=1，即sin 1=sin 22=-1.所以1=2k1-，22=2k2-，k1,k2z.所以|10-1-2|=|10-(2k1-)-(k2-)|=|10+-(2k1+k2)|，当2k1+k2=11时，|10-1-2|取得最小值.12（2017年上海）如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点p1，p2，p3，p4以及四个标记为“”的点在正方形的顶点处，设集合=p1，p2，p3，p4，点p，

6、过p作直线lp，使得不在lp上的“”的点分布在lp的两侧用d1（lp）和d2（lp）分别表示lp一侧和另一侧的“”的点到lp的距离之和若过p的直线lp中有且只有一条满足d1（lp）=d2（lp），则中所有这样的p为 12.p1,p3,p4 【解析】设记为“”的四个点为a，b，c，d，线段ab，bc，cd，da的中点分别为e，f，g，h，易知efgh为平行四边形，如图所示，四边形abcd两组对边中点的连线交于点p2，则经过点p2的所有直线都是符合条件的直线lp.因此经过点p2的符合条件的直线lp有无数条；经过点p1,p3,p4的符合条件的直线lp各有1条，即直线p2p1,p2p3,p2p4.故中

7、所有这样的p为p1,p3.p4.二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13（2017年上海）关于x，y的二元一次方程组的系数行列式d为( )a.b. c.d.13.c 【解析】关于x，y的二元一次方程组的系数行列式d=故选c14（2017年上海）在数列an中，an=（-）n，nn*，则 an（）a.等于-b.等于0c.等于d.不存在14.b 【解析】数列an中，an=（-）n，nn*，则an=(-)n=0故选b15.（2017年上海）已知a,b,c为实常数，数列xn的通项xn=an2+bn+c，nn*，则“存在kn*，使得x100+k，x200+k，x300+k成等差数列”的一个必要条

8、件是（）a.a0b.b0c.c=0d.a-2b+c=015.a 【解析】存在kn*，使得x100+k，x200+k，x300+k成等差数列，可得2a（200+k）2+b（200+k）+c=a（100+k）2+b（100+k）+c+a（300+k）2+b（300+k）+c，化简得a=0，使得x100+k，x200+k，x300+k成等差数列的必要条件是a0故选a16（2017年上海）在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆c1：+=1和c2：x2+=1p为c1上的动点，q为c2上的动点，w是的最大值记=（p，q）|p在c1上，q在c2上且=w，则中的元素有（）a.2个b.4个c.8个d.无穷个16.d

9、 【解析】p为椭圆c1：+=1上的动点，q为c2：x2+=1上的动点，可设p（6cos，2sin），q（cos，3sin），0,2,则=6coscos+6sinsin=6cos（-），当-=2k，kz时，取得最大值w=6，即使得=w的点对(p,q)有无穷多对，中的元素有无穷个.三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17（2017年上海）如图，直三棱柱abc-a1b1c1的底面为直角三角形，两直角边ab和ac的长分别为4和2，侧棱aa1的长为5（1）求三棱柱abc-a1b1c1的体积；（2）设m是bc中点，求直线a1m与平面abc所成角的大小17.【解析】（1）直三棱

10、柱abc-a1b1c1的底面为直角三角形，两直角边ab和ac的长分别为4和2，侧棱aa1的长为5三棱柱abca1b1c1的体积v=sabcaa1=abacaa1=425=20.（2）连接am.直三棱柱abc-a1b1c1，aa1底面abc.ama1是直线a1m与平面abc所成角.abc是直角三角形，两直角边ab和ac的长分别为4和2，点m是bc的中点，am=bc=.由aa1底面abc，可得aa1am,tana1ma=.直线a1m与平面abc所成角的大小为arctan18（2017年上海）已知函数f（x）=cos2xsin2x+，x（0，）（1）求f（x）的单调递增区间；（2）设abc为锐角三角

11、形，角a所对边a=，角b所对边b=5，若f（a）=0，求abc的面积18.【解析】（1）函数f（x）=cos2x-sin2x+=cos 2x+，x（0，）.由2k-2x2k，解得kxk，kz.k=1时，x，可得f（x）的增区间为，）.（2）f（a）=0，即有cos2a+=0，解得2a=2k.又a为锐角,故a=.又a=,b=5，由正弦定理得sinb=,则cosb=.所以sinc=sin(a+b)=+=.所以sabc=absinc=5=.19（2017年上海）根据预测，某地第n（nn*）个月共享单车的投放量和损失量分别为an和bn（单位：辆），其中an=bn=n+5，第n个月底的共享单车的保有量是

12、前n个月的累计投放量与累计损失量的差（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量sn=-4（n46）2+8800（单位：辆），设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？19.【解析】（1）前4个月共享单车的累计投放量为a1+a2+a3+a4=20+95+420+430=965，前4个月共享单车的累计损失量为b1+b2+b3+b4=6+7+8+9=30，该地区第4个月底的共享单车的保有量为96530=935（2）令anbn，显然n3时恒成立，当n4时，有10n+470n+5，解得n，第42个月底，保有量达到最

13、大当n4，an为公差为10等差数列，而bn为公差为1的等差数列，到第42个月底，共享单车保有量为39+535-42=39+535-42=8782又s42=4(42-46)2+8800=8736，87828736，第42个月底共享单车保有量超过了停放点的单车容纳量20（2017年上海）在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆：+y2=1，a为的上顶点，p为上异于上、下顶点的动点，m为x正半轴上的动点（1）若p在第一象限且|op|=，求p的坐标；（2）设p（,），若以a,p,m为顶点的三角形是直角三角形，求m的横坐标；（3）若|ma|=|mp|，直线aq与交于另一点c且=2，=4，求直线aq的方程20.

14、【解析】（1）设p（x，y）（x0，y0），由点p在椭圆：+y2=1上且|op|=,可得解得x2=,y2=，则p（，）（2）设m（x0，0），a（0，1），p（，）.若p=90，则=0，即（-，）（x0，）=0，（）x0+-=0，解得x0=若m=90，则=0，即（x0，1）（x0，）=0，x02-x0+=0，解得x0=1或x0=.若a=90，则m点在x轴负半轴，不合题意点m的横坐标为或1或（3）设c（2cos，sin），=2，a（0，1），q（4cos，2sin1）.又设p（2cos，sin），m（x0，0），|ma|=|mp|，x02+1=（2cosx0）2+（sin）2，整理得x0=cos

15、.=（4cos2cos，2sinsin1），=（-cos，sin），=4，4cos2cos=5cos，2sinsin1=4sin.cos=cos，sin=（12sin）.以上两式平方相加，整理得3（sin）2+sin2=0，sin=或sin=1（舍去）.此时，直线ac的斜率kac=（负值已舍去），如图直线aq的方程为为y=x+121（2017年上海）设定义在r上的函数f（x）满足：对于任意的x1，x2r，当x1x2时，都有f（x1）f（x2）（1）若f（x）=ax3+1，求a的取值范围；（2）若f（x）是周期函数，证明：f（x）是常值函数；（3）设f（x）恒大于零，g（x）是定义在r上的恒大于

16、零的周期函数，m是g（x）的最大值函数h（x）=f（x）g（x）证明：“h（x）是周期函数”的充要条件是“f（x）是常值函数”21.【解析】（1）由f（x1）f（x2），得f（x1）f（x2）=a（x13x23）0，x1x2，x13x230，得a0故a的取值范围是0，+）.（2）证明：若f（x）是周期函数，记其周期为tk，任取x0r，则有f（x0）=f（x0+tk）.由题意，对任意xx0，x0+tk，f（x0）f（x）f（x0+tk），f（x0）=f（x）=f（x0+tk）又f（x0）=f（x0+ntk），nz，并且x03tk，x02tkx02tk，x0tkx0tk，x0x0，x0+tkx0+

17、tk，x0+2tk=r，对任意xr，f（x）=f（x0）=c，为常数.（3）证明：(充分性)若f（x）是常值函数，记f（x）=c1，设g（x）的一个周期为tg，则h（x）=c1g（x），对任意x0r，h（x0+tg）=c1g（x0+tg）=c1g（x0）=h（x0），故h（x）是周期函数.(必要性)若h（x）是周期函数，记其一个周期为th若存在x1，x2，使得f（x1）0，且f（x2）0，则由题意可知，x1x2，那么必然存在正整数n1，使得x2+n1tkx1，f（x2+n1tk）f（x1）0，且h（x2+n1tk）=h（x2）又h（x2）=g（x2）f（x2）0，而h（x2+n1tk）=g（x2+n1tk）f（x2+n1tk）0h（x2），矛盾综上，f（x）0恒成立由f（x）0恒成立，任取x0a，则必存在n2n，使得x0n2thx0tg，即x0tg，x0x0n2th，x0，x03tk，x02tkx02tk，x0tkx0tk，x0x0，x0