全称量词与存在量词

1、,全称量词与存在量词,思考：什么是量词？,一 纸； 一 牛； 一 狗； 一 马； 一 人家； 一 小船,表示人、事物或动作的单位的词称为量词,下列命题中含有哪些量词？,（1）对所有的实数x，都有x20； （2）存在实数x，满足x20； （3）至少有一个实数x，使得x220成立； （4）存在有理数x，使得x220成立； （5）对于任何自然数n，有一个自然数s 使得 s = n n； （6）有一个自然数s 使得对于所有自然数n，有 s = n n；,1.4.1 全 称 量 词,全称量词,下列语句是命题吗?(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系?,(1)x3,(2)2x+1是整数,(3)对所有

2、的x R,x3,(4)对任意一个x Z,2x+1是整数,是,是,不是,不是,(3)在(1)的基础上,用量词“所有的”对变量 x进行限定;,关系:,(3)(4) 全称命题,(4)在(2)的基础上,用短语”对任意一个”对 变量x进行限定.,一.全称命题,1. 全称量词及表示:,短语“对所有的”、“对任意一个”、“对一切”、“对每一个”、“任给”、“所有的”在逻辑中通常叫全称量词。,定义：,表示：,用符号“ ”表示,2. 全称命题及表示:,定义：,含有全称量词的命题，叫全称命题。,表示：,全称命题“对M中任意一个x，有含变量x的语句p(x）成立”表示为:,读作:“对任意x属于，有p(x)成立”。,下

3、列命题中哪些是全称命题？,（1）对所有的实数x，都有x20； （2）存在实数x，满足x20； （3）至少有一个实数x，使得x220成立； （4）存在有理数x，使得x220成立； （5）对于任何自然数n，有一个自然数s 使得 s = n n； （6）有一个自然数s 使得对于所有自然数n，有 s = n n；,(2)所有的正方形都是矩形,都是全称命题。,例如:命题(1)对任意的n Z,2n+1是奇数;,(1)实数都能写成小数形式;,(2)凸多边形的外角和等于2,例1.用量词“ ”表达下列命题:,（3）任一个实数乘以-1都等于它的相反数,x R,x能写成小数形式,x x|x是凸n边形,x的外角和等于

4、2,x R,x(-1)= -x,(4)对任意实数x,都有x3x2,x R,x3x2,(5)对任意角 ,都有sin2 +cos2 =1,解:,对所有的四边形x,x的内角和为360o,对一切四边形x,x的内角和为360o,每一个四边形x的内角和为360o,任一个四边形x的内角和为360o,凡是四边形x,它的内角和为360o,例3.判断下列全称命题的真假,(1) 所有的素数是奇数;,(2) x R, x2+11,(3) 对每一个无理数x,x2也是无理数,解:,(1)2是素数,但不是奇数.,全称命题(1)是假命题,(2) x R,x20,从而x2+11,全称命题(2)是真命题,(3) 是无理数,但(

5、)2=2是有理数,全称命题(3)是假命题,如何判断全称命题的真假,方法:,若判定一个全称命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验证P(x)成立;,若判定一个全称命题是假命题,只要能举出集合M中的一个x=x0 ,使得P(x)不成立即可。,课本 23页 练习 1,1.4.2 存 在 量 词,存在量词,下列语句是命题吗?(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系? (1)2x+1=3 (2)x能被2和3整除; (3)存在一个xR,使2x+1=3; (4)至少有一个xZ,x能被2和3整除.,(3)在(1)的基础上,用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定,使(3)变成了可以判断真假的语句;,不

6、是,不是,是,是,(4)在(2)的基础上,用“至少有一个”对变量x的取值进行限定,从而使(4)变成了可以判断真假的语句.,关系:,(3)(4) 特称命题,短语“存在一个”、“至少有一个”、“有些”、“有一个”、“对某个”、“有的”在逻辑中通常叫做存在量词。,特称命题“存在M中的一个x,使p(x)成立”可用符号简记为xM,p(x).,一.特称命题,1. 存在量词及表示:,定义:,用符号“”表示,含有存在量词的命题,叫做特称命题.,表示：,2.特称命题及表示：,定义:,表示：,读作:“存在一个x属于M,使p(x)成立”.,下列命题中哪些是特称命题？,（1）对所有的实数x，都有x20； （2）存在实

7、数x，满足x20； （3）至少有一个实数x，使得x220成立； （4）存在有理数x，使得x220成立； （5）对于任何自然数n，有一个自然数s 使得 s = n n； （6）有一个自然数s 使得对于所有自然数n，有 s = n n；,例如:命题（1）有的平行四边形是菱形; （2）有一个素数不是奇数,都是特称命题.,例4 设q(x):x2=x,使用不同的表达方法写出特称命题“xR,q(x)”,解:,存在实数x,使x2=x成立,至少有一个xR,使x2=x成立,对有些实数x,使x2=x成立,有一个xR,使x2=x成立,对某个xR,使x2=x成立,例5 下列语句是不是全称或特称命题,(1) 有一个实数

8、a,a不能取对数,(2) 所有不等式的解集A,都是AR,(3) 三角函数都是周期函数吗?,(4) 有的向量方向不定,特称命题,全称命题,不是命题,特称命题,例6 判断下列特称命题的真假: (1)有一个实数x,使x2+2x+3=0; (2)存在两个相交平面垂直于同一条直线; (3)有些整数只有两个正因数.,(1)由于xR,x2+2x+3=(x+1)2+22,因此使x2+2x+3=0的实数x不存在.,解:,(2)由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的,因此不存在两个相交的平面垂直于同一条直线.,所以,特称命题(1)是假命题.,所以,特称命题(2)是假命题.,例3 判断下列特称命题的真假: (1)有一个实数x,使x2+2x+3=0; (2)存在两个相交平面垂直于同一条直线; (3)有些整数只有两个正因数.,(3)由于存在整数3只有两个正因数1和3,所以特称命题(3)是真命题.,要判断特称命题“xM