粘性流体力学精确解

1、第三章 粘性流体运动方程的精确解自从建立了以方程为核心的粘性流体运动方程组，人们就开始致力于寻求在各种定解条件下粘性流体运动方程的精确解。精确解对于深入认识和分析流体运动规律具有重要意义，它也为检验各类数值方法的可靠性和精确度提供重要的依据，作为基本流场的精确解也是流动稳定性分析的出发点。方程是一个非线性的二阶偏微分方程，在许多情况下，求粘性流体运动的精确解是一件非常困难的工作。迄今为止，可以得到精确解的流动例子非常有限关于方程精确解的详细述评可见参考文献2。本章首先介绍平行剪切流，由于这时方程的非线性项为零，寻求这一类流动的精确解，数学上处理起来比较容易。然后将讨论包含有非线性项的方程精确解

2、的几个著名例子。 图3.1 平行平板间的剪切流3.1 平行平板间的定常剪切流考虑相距的两块无限大平行平板，下板静止，上板沿水平方向以匀速运动。 平板间的不可压缩粘性流体在恒定的压力梯度和运动平板的作用下沿方向作定常运动。在图3.1所示的直角坐标系中，流体运动速度只有沿方向的分量，并且只是坐标的函数。这里流线相互平行，称为平行剪切流。连续方程自动满足，由于非线性项为零，方程(2.5.11)在方向的投影为(3.1.1)边界条件，(3.1.2)将常微分方程(3.1.1)积分两次，并利用边界条件确定积分常数可得到速度分布(3.1.3)其中第一部分是由于压力梯度引起的，为抛物线分布，与流体粘性系数有关；

3、第二部分是由于平板运动引起的，为线性分布，与流体粘性系数无关。根据速度分布可以求出通过单位宽度平板间的体积流率(3.1.4)平均流速是(3.1.5)相应的切应力(3.1.6)当时，切应力的最小值和最大值分别在上板面和下板面处出现。在粘性流体力学中，将单纯由压力梯度引起的流动称为Poiseuille流动，比如管道中的流动；将由运动固壁引起的流动称为Couette流动，比如本节讨论的平行壁间的剪切流。Couette流动允许压力梯度存在，没有压力梯度的Couette流动称为简单Couette流动。 图3.2 平行板间的分层剪切流在以上问题中，如果没有压力梯度，平板间是两层互不掺混的粘性流体，厚度分别

4、为和，粘性系数分别为和，且。这时动量方程仍是方程(3.1.1)，求解时以流体的界面为界将流场分成两个区域，积分后共有四个积分常数需要确定，除了原有的两个固壁边界条件外，在界面处增加速度和切应力连续的两个条件，便可解得速度分布(3.1.7)粘性大的流体层速度梯度较小。应该特别指出的是，在流体的界面处，两侧流场的涡量是不连续的。3.2 同轴圆筒间的定常流3.2.1 同轴旋转圆筒间的Couette流 图3.3 同轴圆筒间的流动 考虑两个同轴圆筒间的粘性流体，内筒的外径为，外筒的内径为。圆筒作匀速旋转，角速度分别为和。旋转式圆筒型粘度计内的流动可归入这一类流动（见图3.3）。假定圆筒足够长，可以忽略圆

5、筒底部壁面的影响。在筒壁带动下流体作轴对称定常运动，引入柱坐标系。本问题的流场中，流体运动速度只有沿方向的一个分量，速度只与坐标有关。这时，连续方程自动满足，方程的非线性项为零，在方向上的投影式(2.5.15b)可简化为(3.2.1)满足筒壁边界条件(3.2.2)(3.2.3)的速度分布为(3.2.4)由(2.5.18)得到涡量场(3.2.5)它的特点是与无关。在两种情况下涡量场为零，其一是内外筒半径和旋转角速度满足关系时，这是涡量场变号的临界情况，这时的速度分布为。其二是在的同时让，这时速度分布退化为，这相当于一个涡核半径为的位势涡；根据1.2.3节的分析，其涡量为零是由于流场中曲率涡量和切

6、变涡量正好相互抵消的结果。 进一步计算切应力(3.2.6)这表明内筒壁面上受到的摩擦切应力较大，外筒壁面上受到的摩擦切应力较小。但是在单位长度的圆筒面上，内外筒面受到的摩擦力矩是相同的，等于(3.2.7)上式表明，只要给定内外圆筒的半径和角速度，通过测定圆筒受到的摩擦力矩就可以确定出流体的粘性系数，式(1.1.9)给出的是它的一种特殊情况。3.2.2 同轴圆筒间的轴向流仍考虑图5.3所示的同心圆筒，边界条件变为外管固定，内管以匀速沿轴向运动，轴向压力梯度为，流体速度仅有沿轴向的一个分量，只是坐标的函数。在柱坐标系中，速度可表示为。这时连续方程自动满足，考虑到流动的轴对称性，方程在方向上的投影为

7、(3.2.8)其中对流项为零，方程是线性的。筒壁上的边界条件是(3.2.9)(3.2.10)满足边界条件的速度分布解为(3.2.11)其中。当内圆管也静止时，为同轴圆筒间的Poiseuille流，可求出最大速度发生在位置(3.2.12)最大速度值为(3.2.13)3.3 充分发展了的管流直管道中流体的运动是一个具有实际应用背景的问题。本节讨论充分发展了的管流，即无限长管道中的Poiseuille流。有关管道入口段的流动和管内流动的起动过程将在以后的有关章节中讨论。3.3.1 圆管中的Poiseuille流采用柱坐标系，轴与圆管的轴线重合。流体在轴向压力梯度下作定常运动，速度只有沿轴方向的分量，

8、只与坐标有关。这时连续方程可自动满足，动量方程中的对流项。方程在轴上的投影为(3.3.1)管壁上的边界条件是(3.3.2)方程(3.3.1)可以直接积分，满足管壁粘性边界条件的速度分布为(3.3.3)由速度场可求出体积流率(3.3.4)称为Hagen-Poiseuille公式，平均速度则为(3.3.5)流体的切应力可由速度分布(3.3.3)式得到(3.3.6)在壁面上达最大值。管壁的摩擦应力是(3.3.7)当压力梯度不变时，它与管径成正比。无量纲的表面摩阻系数定义为(3.3.8)它仅与雷诺数有关。工程中将管道的无量纲阻力系数(Darcy系数)定义为(3.3.9) 图3.4 矩形截面管及坐标系3

9、.3.2 矩形截面管中的Poiseuille流在有些情况下，也会遇到非圆形截面的管道，本节讨论矩形截面管内的流动。在图5.4所示的直角坐标系中，已知管内的压力梯度、矩形管截面的尺寸。流体运动速度仍只有沿轴方向的一个分量，但它是两个坐标和的函数。这时连续方程自动满足，动量方程的对流项为零。考虑到流动定常，描述该问题的方程在方向的投影为(3.3.10)固壁的粘附边界条件为(3.3.11)将解写成平行平板间Poiseuille流动分布的修正形式(3.3.12)其中是一待定函数。代入方程（3.3.10）后，得到(3.3.13)边界条件相应变为(3.3.14)用分离变量法求解方程（3.3.13），令(3

10、.3.15)代入（3.3.13）式后得到(3.3.16)和(3.3.17)方程（3.3.16）满足边界条件的解为(3.3.18)方程（3.3.17）的解为(3.3.19)考虑到边界条件（3.3.14）最后有(3.3.20)其中(3.3.21)为二维Poiseuille流的速度最大值。该解为一个三角函数和双曲函数的无穷级数的求和。3.3.3 椭圆截面管中的Poiseuille流取直角坐标系轴与管轴方向一致，已知管内的压力梯度，速度只有方向的分量。参见图3.4，管截面取成椭圆。方程在方向的投影为(3.3.22)在椭圆边界处，固壁边界条件(3.3.23)由此可以判断速度分布满足(3.3.24)对于二

11、阶微分方程，要确定常数，幂次只能取1，代入(3.3.22)得到，最后有(3.3.25)3.4 非定常平行剪切流本节讨论非定常流动。在变化万千的自然界观察到的流动绝大部分是非定常流，从空中鸟类的飞翔到水中鱼类的遨游，从大气中的气旋和龙卷风到江河湖海中的波涛，都是典型的非定常流。在人类的生产实践活动中，随着科学技术的进步，非定常流的研究已日趋重要。以飞机为例，当研究主要集中在巡航飞行阶段，在不考虑大气紊流和突风的情况下，可以使用定常流模型。在涉及机动性、升空和降落、复杂气候条件下飞行等现代飞行器所关心的问题时，必须研究非定常流问题。在流体力学中，根据流动时间相关性的起因，可以把非定常流分成两大类。

12、第一类非定常流动的时间相关性直接来源于外部条件的非定常，它可以是作非定常运动的界面边界，比如平板的Stokes第一和第二问题；也可以是非定常的外加压力梯度，比如管道内的起动流和振荡流。第二类非定常流动的边界条件和其它外部边界条件都不具有时间相关性，流动的非定常完全来源于定常流动的稳定性得不到满足，比如大雷诺数圆球定常绕流的卡门涡街和圆管中的湍流；在雷诺数足够低的情况下，这两种流动都是定常的，随着雷诺数的增大，流动失稳变为非定常流。本节和下一节讨论第一类非定常流动，第二类非定常流动将在稳定性一节中讨论。 图3.5 平板的突然起动3.4.1 平板突然起动 一块无限大平板置于静止的粘性流体之中，在某

13、一瞬间突然起动，以常速沿自身平面运动，研究周围流体的非定常运动，通常称为Stokes第一问题。取绝对坐标系，轴沿平板运动方向，轴沿平板法线方向。流体在板面带动下运动，速度只有沿轴方向的一个分量，与坐标和时间有关，表示成。作为平行剪切流，连续方程自动满足，方程的非线性项为零，在方向的投影为(3.4.1)初始条件(3.4.2)固壁和无穷远边界条件为(3.4.3)以上各式两边除以后表明无量纲速度是坐标、时间变量和流体运动粘性系数的函数，即。量纲分析表明由可组成的唯一无量纲数是 见本章附录(3.4.4)因此将速度表示成(3.4.5)代入(3.4.1)式，得到以下二阶常微分方程(3.4.6)定解条件是(

14、3.4.7)前者为固壁边界条件，后者包含了初值和无穷远边值两个条件。形式为的解存在，表明了该流动在空间时间的不同点上，只要相同，其无量纲速度相同，称为自相似解。将方程(3.4.6)积分一次得到，满足的解是。再利用定解条件，可以确定积分常数，于是有(3.4.8)其中(3.4.9)为误差函数，这样得到速度场(3.4.10)它是随着到板面的距离而按指数函数的规律减少。比如当时，在的距离处，表明粘性的影响已基本消失。因此该问题板面粘性层厚度的量级为。得到速度场后，进一步计算涡量场(3.4.11)由以下积分得到总涡量(3.4.12)这表明总涡量是一个不变量，但涡量在空间的分布是随时间变化的。在平板起动的

15、瞬间，涡量产生并集中在板面上；其后，涡量由板面向外部空间扩散，在流场中的分布逐渐趋于均匀。在以上求解过程中，很关键的一步是量纲分析，它使偏微分方程简化为常微分方程。Stokes第一问题也可以用其它的数学方法求解，比如分离变量法、拉普拉斯变换和运算微积中的Heaviside算子法。对此感兴趣的读者可进一步阅读有关的参考文献。3.4.2 平板振荡流考虑由一块在自身平面内作简谐振荡的无限大平板所引起周围流体的运动，通常称为Stokes第二问题。作为平行剪切流，控制方程与Stokes第一问题相同，为方程(3.4.1)。在绝对坐标系中，固壁和无穷远边界条件分别为(3.4.13)由于方程和边界条件都是线性

16、的，平板作周期性振荡的余弦函数已用以上复数代替，最后在结果中取实部即可。用分离变量法，令，代入(3.4.1)式后得(3.4.14)其中是一个待定常数，由此得到两个常微分方程(3.4.15)它们满足定解条件(3.4.13)的解为(3.4.16)取实部最后得到速度分布为(3.4.17)上式表明：速度的振幅随无量纲坐标的增大而指数衰减，也是相对于平板运动的相位滞后值。方向离开距离为的两层流体振动相位是相同的，这相当于一种沿板面法向传播的横波。振幅呈指数衰减的程度与平板振动频率和流体运动粘性系数有关，在距板面的距离处，流体运动的振幅下降为板面值的，因此反映了本问题粘性影响区厚度的量级。由速度分布可进一

17、步计算流场中的切应力(3.4.18)板面上的摩擦力为(3.4.19)由此可进一步计算单位面积平板在单位时间内所做的功 (3.4.20)作为对比，若计算单位时间内以平板单位面积为底的半无限长柱体内流体的平均能耗散，发现正好等于。这从物理上表明了，流体中的能耗散由平板做功补充，全流场处于动态平衡。5.4.3 圆管内Poiseuille流的起动过程在5.3节讨论了管道中的Poiseuille流，本节讨论它的起动过程。对圆管问题采用柱坐标系，轴与圆管的轴线一致。压力梯度为常数，在的时刻出现。流体运动速度只有沿轴方向的一个分量，并且只与坐标和时间有关。这时连续方程自动得到满足，方程在轴上的投影为(3.4

18、.21)边初值条件是：，(3.4.22)将速度分解为定常和非定常两部分之和(3.4.23)其中定常部分(3.4.24)是充分发展了的管流解。解的非定常部分应满足方程(3.4.25)与其相应的初边值条件是，(3.4.26)引入如下无量纲量，(3.4.27)将方程(3.4.25)化为(3.4.28)相应的初边值条件为，(3.4.29)用分离变量法，令(3.4.30)代入(3.4.28)式得到(3.4.31)其中是任意常数。问题变为以下两个线性常微分方程的求解(3.4.32)(3.4.33)满足定解条件的解为(3.4.34)其中其中是第一类零阶Bessel函数，是零阶Bessel函数的零点。速度的非

19、定常部分为(3.4.35)与定常部分迭加在一起，得到(3.4.36)图3.6 圆管起动流的速度剖面数值计算的结果表明，随着时间的增大，上式中级数项的影响逐渐减小。图3.6给出了根据(3.4.36)式计算得到的圆管内不同时刻的速度速度剖面。所取的四个时刻为、和。事实上，当无量纲时间为时，速度剖面已基本上与充分发展了的圆管Poiseuille流的速度剖面一致，标志着管流起动阶段的结束。3.4.4 圆管振荡流现在来讨论圆管内的振荡流动，这是指压力梯度作如下周期性变化的情况(3.4.37)基本方程与圆管内Poiseuille流的(5.4.21)式相同，只是将压力梯度项用上式代入得到(3.4.38)这里

20、将压力梯度的周期函数写成指数函数的形式，只要在最后结果中将实部分离出来即可。由于流体作简谐振荡，速度分布可写成，代入上式得到(3.4.39)引入无量纲量(3.4.40)其中相当于振荡流的雷诺数，代表压力梯度为的充分发展了的管流的最大速度值。方程(3.4.39)的无量纲形式为(3.4.41)这是一个零阶的贝塞尔方程(略加变换后即是标准形式，见王竹溪)，它满足固壁边界条件(3.4.42)的解是(3.4.43)其中是零阶贝塞尔函数。最后得到(3.4.44)在低频和高频两种极端情况，该解可以化成较为简单的形式，以下分别加以讨论。在时，对应低频振荡或流体粘性很大的情况。利用贝塞尔函数的级数展开式(3.4

21、.45)取前两项，略去后面的高阶小量。(5.4.44)式成为 (3.4.46)取其实部(3.4.47)这表明速度分布与压力梯度的相位一致，且某一时刻的速度分布对应于该时刻压力梯度为的充分发展了的管流的值，流动具有准静态的特点。在时，对应高频振荡或流体粘性很小的情况。如果仅研究管壁附近的流动及管壁的摩擦力，不涉及管轴处的速度场，则可利用贝塞尔函数的渐近表达式(3.4.48)若可取第一项，将后面的高阶小量略去，代入(3.4.44)式得到(3.4.49)要强调指出的是，在管轴处，得不到满足，上式是不成立的。(3.4.49)式进一步略去高阶小量后，化简得到(3.4.50)其中(3.4.51)(3.4.

22、50)式取实部得(3.4.52)该解表明：在高频振荡的情况下，管壁附近的压力梯度和速度之间存在有明显的相位差。3.5 气泡的径向运动气泡在液体中运动涉及运动的气液界面问题，气泡的运动主要有平移和径向运动两种类型。本节分析气泡的径向运动，它与气泡的膨胀和溃灭有密切关系。取气泡中心为坐标原点，采用球坐标系，令为气泡的半径，已知界面的运动方程为(3.5.1)气泡外是粘性流体，不计体积力，求气泡外液体的速度和压力分布。气泡外流体的运动具有球对称性，速度只有径向分量，并只与坐标和时间有关(3.5.2)可知涡量为零，流动是无旋的，连续性方程为(3.5.3)动量方程为(3.5.4)动量方程是非线性的，但由于

23、速度只有一个分量，连续性方程(5.5.3)可以直接积分，满足界面速度条件的解为(3.5.5)代入动量方程(5.5.4)得到(3.5.6)上式积分后得到压力分布(3.5.7)其中为无穷远处液体的压力。在界面处，液体的压力和气泡压力是不同的。为了根据已知的气泡的运动规律求出，用界面条件(2.6.7)式将气泡界面处内外压力联系在一起(3.5.8)注意到表面张力是朝向气泡内部，抵消对液体的作用，上式的前应取负号。把速度分布(3.5.5)式和压力分布(3.5.7)式代入界面条件(3.5.8)式得到(3.5.9)称为Reyleigh-Plesset方程，其中右边最后一项是粘性项，源于界面处法向速度的法向梯

24、度。上式经整理便得到气泡内的压力(3.5.10)有时问题的提法是已知气泡内的压力，求气泡界面的运动规律。当气泡半径不大时，可认为内部压力是均匀的，压力仅与气泡半径有关。比如，对于等熵过程，压力与半径的关系为(3.5.11)其中是气泡内气体的比热比。对于等温过程，则有(3.5.12)对于空化泡，则气泡内压力恒等于液体的饱和蒸汽压。将已知的代入Reyleigh-Plesset方程求解便可以得到气泡的径向运动规律。3.6 非线性流动本章以上各节的精确解都是由线性方程求解得到的。在流体力学中大量遇到非线性的问题，非线性问题的求解远比线性问题困难，目前主要依靠数值求解，能够得到精确解的例子相当有限，本节

25、将讨论两个著名的非线性流动精确解的例子。 图 3.7 轴对称驻点流3.6.1 轴对称驻点流均匀来流中物体驻点附近轴对称流动的研究是一个具有实际意义的问题。为了能用解析的方法来研究这一问题，本节研究无限大平板上驻点附近的流动。考虑到该流动具有轴对称性，引入柱坐标系，使原点与驻点重合，流体沿轴的负方向垂直流向板面，然后沿径向向四周流出（见图3.7）。速度只有径向和轴向两个分量和，这时连续性方程(2.5.14)简化为(3.6.1)方程(2.5.15)在径向和轴向的两个投影分别为(3.6.2)(3.6.3)驻点附近无粘流的解是(3.6.4)它满足无粘流的固壁边界条件。常数可理解为在处的轴向速度。将粘流

26、解的轴向速度假定为较无粘流解更一般的形式(3.6.5)代入连续性方程(3.6.1)，积分后得到(3.6.6)积分常数由驻点不是奇点可确定为零。将以上两式代入(5.6.3)式得(3.6.7)对一次积分后得到(3.6.8)将(3.6.5)、(3.6.6)和(3.6.8)三式代入(3.6.2)后得到(3.6.9)上式的左边是的函数，右边是的函数，两者相等必定等于一个常数，取为。这时问题已简化为非线性三阶常微分方程的求解，三个定解条件为，(3.6.10)其中前两个为固壁边界条件，第三个为无穷远边界条件，要求时，(3.6.6)逼近无粘流解(3.6.4)。引入无量纲参数和函数(3.6.11)则 (3.6.

27、9)式化为(3.6.12) 图 3.8 相应的定解条件变为：固壁处；在无穷远处。 将(3.6.11)作数值积分，结果如图3.8所示。它表明：当时，固壁粘性的影响已基本消失。粘性层的厚度约为，流体粘性越大，该粘性层的厚度越厚。由于在(3.6.4)式中标志着在一定的距离处来流速度的大小，因此来流速度越大，粘性层的厚度越薄。3.6.2旋盘流在无界静止流体中，一无限大平板圆盘在自身平面内以等角速度绕自轴转动，现分析转盘壁面带动周围流体的运动。引入柱坐标，将圆盘转轴取为轴，原点取在盘心，由于流动的对称性，速度和压力均不随而变化，只需考虑一侧流体的运动。圆盘转动时，由于壁面的粘附边界条件，固壁上的流体会在

28、盘面的带动下一起转动产生周向速度，并逐层带动外面的流体作周向运动。流体在作周向运动时，由于离心力的作用会产生径向运动；为了补偿这部分流体的径向外流，远处的流体将沿轴方向流向盘面进行补充，产生轴向运动。在经过足够长时间后，流动变为定常，根据边界条件可知流动是轴对称的。由于三个速度分量均不为零，使求解更加困难。本问题中的连续方程(2.5.14)简化为(3.6.13)方程(2.5.15)简化为(3.6.14)(3.6.15)(3.6.16)由无滑移边界条件，在盘面上流体的速度只有周向分量，假设在其它位置的周向速度仍保持与和的正比关系，即(3.6.17)在实际生活中，并不存在无限大的圆盘，为了对无限大

29、圆盘有一个量级上的概念，同时避免当时，上式中的速度，需对无限大圆盘给出一个较为科学的说明。(3.6.17)式中是一个无量纲的未知函数，对自变量和的无量纲化，需要引入特征长度。根据量纲分析，由本问题的物理量、和可组成的唯一特征长度为(3.6.18)它物理上反映了盘面边界层的厚度，这样无限大圆盘相当于要求其半径满足。根据特征长度，引入无量纲坐标(3.6.19)将周向速度(3.6.17)式写成(3.6.20)考虑到径向速度是由周向速度引起的，进一步假定它也和成正比(3.6.21)代入连续方程(3.6.13)得到，则轴向速度可表示成 (3.6.22)其中函数和间的关系为(3.6.23) 将三个速度分量

30、的表达式(3.6.20)(3.6.22)代入动量方程(3.6.14)后，注意到粘性项中只剩下，整理后得到(3.6.24)考虑到流体在粘性层外只有轴向运动，压力梯度为零，这表明可以假定(3.6.25)在全流场成立。压力在径向不发生变化，仅是的函数，这一点与轴向速度类似。由量纲分析可以确定间的关系为(3.6.26)(3.6.23)和(3.6.25)式是关于函数、和的两个非线性常微分方程，另两个常微分方程由动量方程(3.6.15)和(3.6.16)导出为(3.6.27)(3.6.28)该常微分方程组的边界条件是：在固壁处只有周向速度，即(3.6.29)在处只有轴向速度分量(3.6.30)数值积分的结

31、果表明，在的远离盘面处， 。由该轴向速度可以得到通过半径为的圆截面的体积流率为，它等于由于离心作用经由径向流出的体积流率。在近粘性层边缘处，径向速度达最大值；周向速度下降为近固壁处的二分之一，。保持圆盘以角速度转动，（双面）圆盘上所需的外力矩为(3.6.31)由数值积分得到的，所以有(3.6.32)实验结果表明：当满足条件时，测出的旋盘受力与以上结果相比是相当一致的。3.7 附录：量纲理论基础在粘性流体力学中，经常使用量纲理论，本章的Stokes第一问题和旋盘流就是两个例子。此外，由流体力学基本方程无量纲化得到的无量纲数，不但是实验设计重要的相似准则，它们的大小还反映了流场的一些基本特征和方程

32、中各项量级的相对大小。本节作为附录介绍量纲理论基础。3.7.1 量纲每个物理量都有它的量纲，量纲分为基本量纲和导出量纲两大类。一个物理过程的基本量纲不是唯一的，只要该物理过程中所有物理量的量纲都可以通过它们的组合被表示出来，而它们本身相互之间又是独立的，就可以作为基本量纲。在力学问题中，最常用的一组基本量纲是质量（）、长度（）和时间（）；如果有传热过程，基本量纲中还需要加上温度（）和热量（）等。其它物理量的量纲作为导出量纲可以由基本量纲组合而成，比如压力的量纲是。这里使用Maxwell的符号，将物理量的量纲写成(3.7.1)如果上式中，则称为无量纲量或无量纲数。比如，由速度、长度和运动粘性系数

33、组成的是一个无量纲量，称为雷诺数。除了用质量（）、长度（）和时间（）作为基本量纲，也可以选用力（）、长度（）和时间（）为基本量纲。这时质量的量纲作为导出量纲表示为，而压力的量纲为。3.7.2 量纲齐次性原理及应用量纲理论的基础是量纲齐次性原理，它可以表述为：表达物理规律的函数关系（或方程式）中，每一项都必须具有相同的量纲，称为量纲齐次式。比如我们熟悉的牛顿第二定律(3.7.2)其中两项的量纲必定是一致的。利用量纲齐次性原理，我们可以方便地得到一些物理量的量纲。比如由牛顿内摩擦定律(1.1.3)可以导出流体动力粘性系数的量纲为。根据量纲齐次性原理，量纲不同的物理量之间只能进行乘除，不能进行加减。牛顿第二定律中，质量和加速度的量纲不同，相乘后得到力的量纲，故可与力进行加减运算。以下通过例子来说明量纲齐次性原理的应用。例一、 实验观察表明：当小球作定常绕流时，影响阻力的因素有来流速度、流体密度、动力粘性系数和小球的直径(3.7.3)将