2017年高考真题――数学(理)(北京卷)+Word版含解析(参考版)

1、 学科知识供应商 - 1 - 绝密本科目考试启用前 2017 年普通高等学校招生全国统一考试 数 学（理）（北京卷） 本试卷共 5 页，150 分。考试时长 120 分钟。学科&网考生务必将答案答在答题卡上，在 试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要 求的一项。 （1）若集合 A=x|2x1，B=x|x1 或 x3，则 AB= （A）x|2x1 （B）x|2 x3 （C）x|1x1 （D）x|1 x3 【答案】A 【解析】21ABxx ，故选 A.

2、（2）若复数（1i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数 a 的取值范围是 （A）（，1） （B）（，1） （C）（1，+） （D）（1，+） 【答案】B 【解析】 111ziaiaa i，因为对应的点在第二象限，所以 10 10 a a ，解得：1a ，故选 B. （3）执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为 学科知识供应商 - 2 - （A）2 （B） 3 2 （C）5 3 （D）8 5 【答案】C 【解析】0k 时，03成立，第一次进入循环 1 1 1,2 1 ks ，13成立，第二次进 入循环， 2 13 2, 22 ks ，23成立， 第三次进入循环 3 1 5 2 3,

3、 3 3 2 ks ，3 3 否， 输出 5 3 s ，故选 C. （4）若 x，y 满足 3 2 x xy yx ， ， ， 则 x + 2y 的最大值为 （A）1 （B）3 （C）5 （D）9 【答案】D 【解析】如图，画出可行域， 学科知识供应商 - 3 - 2zxy表示斜率为 1 2 的一组平行线，当过点3,3C时，目标函数取得最大值 max 32 39z ，故选 D. （5）已知函数 1 ( )3( ) 3 xx f x ，则( )f x （A）是奇函数，且在 R 上是增函数 （B）是偶函数，且在 R 上是增函数 （C）是奇函数，且在 R 上是减函数 （D）是偶函数，且在 R 上是减

4、函数 【答案】A 【解析】 11 33 33 xx xx fxf x ，所以函数是奇函数，并且3x是增函数， 1 3 x 是减函数，根据增函数-减函数=增函数，所以函数是增函数，故选 A. （6）设 m,n 为非零向量，则“存在负数，使得mn”是“0m n”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 【答案】A 【 解 析 】 若0 ， 使mn， 即 两 向 量 反 向 ， 夹 角 是 0 180 ， 那 么 0 c o s 1 8 00mnmnmn ， 反 过 来 ， 若0m n， 那 么 两 向 量 的 夹 角 为 00 90 ,18

5、0 ，KS5U 并不一定反向，即不一定存在负数 ，使得mn，所以是充分不必 要条件，故选 A. 学科知识供应商 - 4 - （7）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为 （A）3 2 （B）23 （C）22 （D）2 【答案】B 【解析】几何体是四棱锥，如图 红色线为三视图还原后的几何体，最长的棱长为正方体的对角线， 222 2222 3l ，故选 B. （8）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限 M 约为 3361，而可观测宇宙中普通物质的原 子总数 N 约为 1080.则下列各数中与 M N 最接近的是 （参考数据：lg30.48） （A）1033 （B）1053 （C）1

6、073 （D）1093 学科知识供应商 - 5 - 【答案】D 【解析】设 361 80 3 10 M x N ，两边取对数， 361 36180 80 3 lglglg3lg10361 lg3 8093.28 10 x ， 所以 93.28 10 x ， 即 M N 最接近 93 10 ， 故选 D. 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。 （9）若双曲线 2 2 1 y x m 的离心率为3，则实数 m=_. 【答案】2 【解析】 1 32 1 m m （10）若等差数列 n a 和等比数列 n b 满足 a1=b1=1，a4=b4=8

7、，则 2 2 a b =_. 【答案】1 【解析】 3 2 2 1 3 1 383,21 1 ( 2) a dqdq b （11）在极坐标系中，点 A 在圆 2 2 cos4 sin40上，点 P 的坐标为（1,0）， 则|AP|的最小值为_. 【答案】1 【解析】2222 :2440(1)(2)1Cxyxyxy ，所以 min |211APACr （12）在平面直角坐标系 xOy 中，角 与角 均以 Ox 为始边，它们的终边关于 y 轴对称.若 1 sin 3 ，cos()=_. 学科知识供应商 - 6 - 【答案】 7 9 【解析】 222 7 sinsin,coscoscos()cosc

8、ossinsincossin2sin1 9 （13）能够说明“设 a，b，c 是任意实数若 abc，则 a+bc”是假命题的一组整数 a，b， c 的值依次为_ 【答案】-1，-2，-3 解析】 123, 1 ( 2)3 （14）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点 Ai的横、纵坐 标分别为第 i 名工人上午的工作时间和加工的学科&网零件数，点 Bi的横、纵坐标分别 为第 i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3. 记 Q1为第 i 名工人在这一天中加工的零件总数， 则 Q1， Q2， Q3中最大的是_. 记 pi为第 i 名工人在这一天中平均每小时加工

9、的零件数，则 p1，p2，p3中最大的是 _. 【答案】 1 Q ； 2. p 三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （15）（本小题 13 分） 学科知识供应商 - 7 - 在ABC 中，A =60，c= 3 7 a. （）求 sinC 的值； （）若 a=7，求ABC 的面积. 【答案】 （1）根据正弦定理 sin3333 3 =sin=sin60 = sinsin77214 。 acCA C ACa （2）当= 7a时 3 = 3 7 ca sin= 3 3 14 Cca 3 cossin 14 2 1CC ABC 中 sin= sin - (+

10、) = sin(+)BACAC sincoscossin=AC +AC 3313 3 =+ 214214 3 3 = 14 1139 S=sin=7333 22144 = ABC acB （16）（本小题 14 分） 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，平面 PAD平面 ABCD，点 M 在线 段 PB 上，PD/平面 MAC，PA=PD= 6，AB=4 （I）求证：M 为 PB 的中点； （II）求二面角 B-PD-A 的大小； 学科知识供应商 - 8 - （III）求直线 MC 与平面 BDP 所成角的正弦值 【答案】 （1）连接 AC，BD.ACBD = O.连接

11、 OM PD平面 MAC 且平面 PBD平面 MAC=MO PDMO O 为 BD 中点 M 为 PB 中点 （2）取 AD 中点 E，连接 PE PA=PD PEAD 又平面 PAD平面 ABCD 且平面 PAD平面 ABCD=AD PE平面 ABCD 建立如图所示坐标系 则 B(-2，4，0) P(0，0，2) D(2，0，0) A(-2，0，0) 易知平面 PDA 的法向量0,1,0m 设平面 BPD 的法向量 000 nx , y , z，则 学科知识供应商 - 9 - 00000 00000 2,0, 2220 4,4,0440 n DPx , y , zxz n DBx , y ,

12、 zxy = 1,1，2n 二面角 B-PD-A 的平面角 coscos 2 22 11 23 1112 m n m,n= m n （17）（本小题 13 分） 为了研究一种新药的疗效，选 100 名患者随机分成两组，每组各 50 名，一组服药，另一 组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标 x 和 y 的数据，并制成下图，其中“*”表示 服药者，“+”表示为服药者. 学科知识供应商 - 10 - （）从服药的 50 名患者中随机选出一人，求此人指标 y 的值小于 60 的概率； （）从图中 A，B，C，D 四人中随机 KS5U.选出两人，记为选出的两人中指标 x 的值大于 1.7 的人

13、数，求的分布列和数学期望 E（）；学￥科网 （）试判断这100 名患者中服药者指标y 数据的方差与未服药者指标y 数据的方差的大小.（只 需写出结论） 分布列如下 0 1 2 p 1 6 2 3 1 6 121 =0+1+2=1 636 E（ ），即所求数学期望为 1. （）由图知 100 名患者中服药者指标 y 数据的方差比未服药者指标 y 数据的方差大。 学科知识供应商 - 11 - （18） （本小题 14 分） 已知抛物线 C：y2=2px 过点 P（1，1）.过点（0， 1 2 ）作直线 l 与抛物线 C 交于不同的两 点 M，N，过点 M 作 x 轴的垂线分别与直线 OP、ON 交

14、于点 A，B，其中 O 为原点. （）求抛物线 C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （）求证：A 为线段 BM 的中点. 【答案】 （）把 P（1,1）代入 y2=2Px 得 P= 1 2 C:y 2=x焦点坐标（1 4 ，0）准线：x=- 1 4 。 （）设 l：y=kx+ 1 2 ，A（x1，y1） ，B(x2，y2)，OP：y=x，ON：y= 2 2 y x x ，由题知 A(x1，x1)，B(x1， 12 2 x y x ) 2 1 ykx+ 2 y =x k2x2+（k-1）x+ 1 4 =0，x1+x2= 2 1-k k ，x1x2= 2 1 4k 。 11 1212 111

15、222 1 x （kx +） x yx +x1 2 y +kx +=2kx + x2x2x ，由 x1+x2= 2 1-k k ，x1x2= 2 1 4k ， 上式 2 1111 2 1 1-k k 2kx +=2kx +（1-k） 2x =2x 1 2x 4k x A 为线段 BM 中点。 （19） （本小题 13 分） 已知函数 f（x）=excosxx. （）求曲线 y= f（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程； （）求函数 f（x）在区间0， 2 上的最大值和最小值. 【答案】 （）f(x)=ex cosxxf(0)=1 学科知识供应商 - 12 - f (x)=ex（cosxsi

16、nx）1 f (0)=0 y=f(x)在（0，f(0)）处切线过点（0,1） ，k=0 切线方程为 y=1 （）f (x)=ex（cosx-sinx）1，设 f (x)=g(x) g (x)=2sinx ex0 g(x)在0， 2 上单调递减， g(x)g(0)=0 f（x）0f(x)在0， 2 上单调递减， f(x)max=f(0)=1 f(x)min=f( 2 )= 2 （20）（本小题 13 分） 设 n a和 n b是两个等差数列，记 1122 max, nnn cba n ba nba n(1,2,3,)n ， 其中 12 max , s x xx表示 12 , s x xx这s个数

17、中最大的数 （）若 n an，21 n bn，求 123 ,c c c的值，并证明 n c是等差数列； （） 证明： 或者对任意正数M， 存在正整数m， 当nm时， n c M n ； 或者存在正整数m， 使得 12 , mmm ccc 是等差数列 【答案】 （）当n1时， 111 21122 3112233 =max=max0=0 =max -22=max-1-1=-1 =max333 =max-2 -3- =-2 cba cbaba cbababa ， ， 4 所以，对于 * nN 且n2，都有 11n cba n，只需比较 11 ba n与其他项的大小比较 当 * kN且 1k0,且 2

18、-n0, 所以 11kk ba nba n 学科知识供应商 - 13 - 所以 对于 * nN 且n2 11n cba n=1-n 所以 -1=-1nn ccn2 又 21=-1 cc 所以 n c 是以首项 1=0 cd=-1 为公差的等差数列。 （） （1）设 n a 、 n b 的公差为 12 d ,d， 对于 1122 , nn ba n ba nba n 其中任意项 ii ba n（ * iN,1in） i1211 = b(i 1)da(i 1)d i bann 1121 =+iba n（）（ -1）(d -d n) 若 2112 0,则10 ii db - a nba nid 则对于给定的正整数 n， 11 n C= ba n 此时 1+1 -=- nn CCa