《二次函数》全章复习与巩固―(提高)教师版

1、二次函数整章复习巩固-知识讲解(改进)学习目标1.通过分析实际问题情况，确定二次函数的表达式，实现二次函数的意义；2.二次函数的图像可以用追踪点的方法绘制，二次函数的性质可以从图像中理解；3.根据公式确定图像的顶点、开口方向和对称轴(公式不需要记忆和推导)，可以解决简单的实际问题；4.一维二次方程的近似解将由二次函数的图像得到。知识网络梳理要点要点：二次函数的定义一般来说，如果它是常数，它被称为二次函数。关键注释：如果y=ax2bxc (a、b和c是常数，a0)，则y称为x的二次函数。这里，当a=0时，它不是二次函数，但是b和c可以分别为零或两者都为零。a的绝对值越大，抛物线的开口越小。要点：

2、图像和二次函数的性质1.二次函数从特殊到一般可分为以下几种形式：。，其中；。(以上公式a0)几种特殊二次函数的图像特征如下：分辨率函数打开方向对称轴顶点坐标在那时开发在那时向下开口(轴)(0，0)(轴)(0，)(，0)(，)()2.抛物线的三个元素：打开方向，对称轴，顶点。(1)的符号决定了抛物线的开口方向：当时，开口是向上的；那时，开口被放下；相等的抛物线形开口具有相同的尺寸和形状。(2)与轴平行(或重合)的直线称为直线。3.在抛物线中，函数：(1)确定开口方向和开口尺寸，与中的完全相同。(2)共同确定抛物线对称轴的位置。因为抛物线的对称轴是一条直线，因此：对称轴是轴；(2)(即相同的数字)

3、，对称轴在轴的左侧；(即不同的符号)，对称轴在轴的右侧。(3)的大小(3)决定了抛物线和轴的交点的位置。当时，抛物线与轴(0)只有一个交点：(1)、抛物线通过原点；(2)轴与正半轴相交；(3)轴与负半轴相交。在以上三点中，当结论和条件交换时，它仍然成立。如果抛物线的对称轴在轴的右侧，那么。4.用待定系数法求二次函数的解析表达式；(1)通式：(a0)。给定三个点或三对的值，通常选择通用公式。(2)顶点：(a0)。如果已知图像的顶点或对称轴，通常会选择顶点。(可视为对应于图像翻译的功能。)(3)“交点”:给定图像和轴之间的交点的坐标，通常选择交点：(a0)。(根和系数之间的关系由此获得：)。关键注

4、释：求抛物线对称轴和顶点坐标通常有三种方法：公式法、代换法。这三种方法各有优缺点，应根据实际情况灵活选择和应用。要点：二次函数与一维二次方程的关系函数，这时，得到一个二次方程，所以二次方程的解是二次函数图像和X轴的交点的横坐标，所以二次函数图像和X轴的交点决定了二次方程的根。(1)当二次函数的像与x轴有两个交点时，则方程有两个不相等的实根；(2)当二次函数的像与X轴只有一个交点时，方程有两个相等的实根；(3)当二次函数的像不与X轴相交时，方程就没有实根。通过下表可以直观地观察到二次函数图像和一元二次方程之间的关系：的图像的解决方案这个方程有两个不等的实数解这个方程有两个相等的实数解方程没有实数

5、解关键注释：二次函数图像与X轴的交点个数用二次函数解决实际问题，应建立数学模型，即将实际问题转化为二次函数问题，利用问题中包含的公式、定律等等价关系建立函数关系，然后利用函数的图像和性质研究问题。在研究实际问题时，关注自变量的取值范围具有现实意义。用二次函数解决实际问题的一般步骤是：(1)建立合适的平面直角坐标系；(2)将实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；(3)用待定系数法求抛物线关系；(4)利用二次函数的图像及其性质来分析和解决问题。关键注释：常见问题：寻找最大(最小)值(如寻找最大利润、最大面积、最小周长等)。)，涵洞、桥梁、投掷物体、抛物线模型问题等。解决这些实际问题的关键是找到等

6、价关系，把实际问题转化为函数问题，并列出相关的函数关系。典型示例第一类，求二次函数的解析表达式1.已知抛物线的顶点是(3，-2)，在X轴上切割的线段的长度是6，所以求抛物线的解析公式。思考建议众所周知，抛物线的顶点是(3，-2)，所以让抛物线的解析表达式成为顶点，也就是说，建立一个方程，从在X轴上切割的6个线段长度中找出一个。或者，如果抛物线的对称轴是直线X=3，并且在X轴上切割的线段长度是6，那么与X轴的交点是(0，0)和(6，0)，所以可以设置Y答案和分析解1:抛物线的顶点是(3，-2)，它与X轴相交。让解析公式为y=a (x-3) 2-2 (a 0)，也就是说，让抛物线和X轴的交点分别为

7、(x1，0)和(x2，0)。的解析公式。抛物线就是。解2:抛物线的顶点是(3，-2)，让抛物线的解析表达式为。*对称轴是一条直线x=3，在x轴上切割的线段长度为6。抛物线和x轴的交点是(0，0)，(6，0)。将(0，0)代入关系表达式，得到0=a (0-3) 2-2。抛物线的解析公式是，那是。解决方案3:找到抛物线和X轴的两个交点的坐标(0，0)。(6，0)让抛物线的解析表达式为y=a (x-0) (x-6)。替换(3，2)并得到解决方案。抛物线的解析公式是，即。点评在寻找抛物线的解析表达式时，根据主题条件适当选择关系表达式可以使问题变得简单。互相类比：高清课程名称：二次函数复习高清识别号：相

8、关位置的名称(播放点的名称):详细说明练习变型抛物线是已知的(m是常数)。(1)寻找抛物线的顶点坐标；(2)如果抛物线与轴相交于一个整数点，则得到抛物线的解析表达式。【答案】(1)根据问题的含义，得到，抛物线的顶点坐标是。(2)抛物线和轴在整数点相交，的根是一个整数。.，是一个整数。是一个完整的平方数。、取1、4、9、当时，当时，当时，的值是2或3。抛物线的解析表达式是or或。第二类，根据二次函数的图像和性质判断代数表达式的符号2.在同一个直角坐标系中的函数和图像大致是()答案C；分析a0， A 0，A 0，则y=AXB的图像必须通过第一个和第三个象限，并且图像的开口向上，这可以排除d .如果

9、a 0，b 0，则y=AXB的图像与y轴的交点在y轴的正半轴上，图像的对称轴在y轴的左侧，因此b不正确。如果a 0，b 0，则y=AXB的图像与y轴的交点在y轴的负半轴上，图像的对称轴在y轴的右侧，所以c是正确的。如果a 0，则y=AXB的图像必须通过第二和第四象限，并且a的图像开口向下，因此a是不正确的。点评研究两种函数图像在同一直角坐标系中的分布，确定系数A和B满足一致性，因此讨论A和B符号的一致性成为解决这一问题的关键。事实上，符号A和B不仅决定了一阶函数图像的分布，而且决定了抛物线的开口方向和对称轴的位置。类型三，数字和形状的组合3.给定平面直角坐标系xOy(如图所示)，一阶函数的像与

10、Y轴在点A处相交，点M在比例函数的像上，且Mo=Ma，二阶函数的像通过点A和M .(1)求线段AM的长度；(2)找到该二次函数的解析表达式；(3)如果点B在Y轴上，在点A之下，点C在二次函数的图像上，点D在一次函数的图像上，四边形ABCD是菱形，求点C的坐标.答案和分析(1)线性函数，当x=0，y=3时，那么点a的坐标为(0，3)、mo=ma， M在OA的垂直线上，也就是说，m的纵坐标是，m在上面，在那个时候，x=1，:点m的坐标是。如图所示。(2)将点A(0，3)代入get也就是说，这个二次函数的解析表达式是：(3)如图所示，设B(0，m) (m 3)，然后| ab |=3-m，因为四边形A

11、BCD是菱形的，所以。所以得到它(放弃它)代入n=2，得到，所以点c的坐标是(2，2)。【点评】根据问题的含义画一个图形，然后根据图形的特殊性找到线段的长度或点的坐标，从而达到“形”辅助“数”的目的。类型4，函数和方程4.如图所示，在一个长10厘米、宽8厘米的矩形纸板上切一个同样大小的正方形，然后把它折叠成一个没有盖子的矩形盒子(纸板的厚度忽略不计)。(1)要使长方体盒子的底部面积为48 cm2，切割正方形的边长应该是多少？(2)折叠矩形框的横向面积是否会更大？如果是这样，请找出此时的最大值和方块的边长；如果没有，请解释原因；(3)如果在矩形纸板周围切下两个相同尺寸的正方形和两个相同形状和尺寸

12、的矩形，然后折叠成一个有盖的矩形盒子，是否有最大的横向面积？如果是这样，请找出此时的最大值和方块的边长；如果没有，请解释原因。答案和分析(1)让切割正方形的边长为x cm，然后(10-2x) (8-2x)=48，即x2-9x8=0。答案是x1=8(如果不符合问题，放弃)，x2=1。因此，切割正方形的边长为1厘米.(2)存在横向面积最大的情况。此时，正方形切口的边长为x厘米，盒子的侧面面积为y厘米2。y和x之间的函数关系是y=2 (10-2x) x 2 (8-2x) X .也就是说，y=-8x236x，它被重写为，所以当x=2.25，40.5。也就是说，当切割正方形的边长为2.25厘米时，矩形盒

13、的最大横向面积为40.5厘米2；(3)横向面积最大。让切割正方形的边长为x厘米，盒子的侧面面积为y厘米2.根据图中所示的方法，y和x之间的函数关系为：那是。所以当时，根据图中所示的方法，y和x之间的函数关系为：那是。所以当时，比较以上两种方法，可以看出用图中所示的方法得到的盒子的横向面积最大。也就是说，当切割正方形的边长为厘米时，带盖的折叠矩形盒的横向面积最大，最大面积为。【点评】结合问题的含义建立了方程模型，注意到问题中的正方形和长方形的边长之间的关系：正方形的边长应该和长方形的短边长一样，这样就可以折叠成一个有盖的长方形盒子。矩形框的侧面积用含字母的代数表达式表示，侧面积与正方形边长的关系

14、是联系在一起的，根据函数的性质可以得到框侧面积的最大值。因为矩形的两边有不同的长度，切割方法。通过类比：瓦里亚抛物线和直线之间只有一个公共点，这个方程必须有两个相等的实数根， ,。变体2二次函数的图像如图所示。根据图片回答以下问题：(1)写出方程的两个根；(2)写出不等式的解集；(3)写出自变量X的取值范围，其Y随X的增大而减小；(4)如果方程有两个不相等的实根，求k的取值范围.答案 (1)(2)。(3)。(4)方法1:方程的求解，即方程中x的解，即抛物线和直线的交点从图像中可以看出，横坐标，当时，直线和抛物线有两个交点，.方法2:二次函数的像通过三个点(1，0)，(3，0)，(2，2)， 也

15、就是说，。方程有两个不相等的实根，.第五类，分类讨论5.如果是函数，当函数值y=8时，自变量x的值是()。A.b4c或4 D.4或思考建议这个问题函数是以分段函数的形式给出的。当y=8时，在求x的值时，要注意分类讨论。答案D；分析从问题的意义来看，那时候，还有，.(放弃)。当2x=8时，x=4。总的来说，d .注释正确的分类必须全面，既不能重复，也不能遗漏。类型6，与二次函数相关的不动点问题6.在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=mx2-(m n) x n (m 0)的像与y轴的正半轴相交于点a .(1)证明：二次函数的像与X轴之间必须有两个交点；(2)设二次函数图像与X轴的两个交点的右交点为点B，如果ABO=45，将直线AB向下平移2个单位，得到直线L，并求出直线L的解析表达式；(3)在(2)的条件下，设M(p，q)是二次函数图象上