数学人教版九年级上册开放探索性问题之三—结论型探究.ppt

1、开放探索性问题之三：结论型探究,赣州一中 罗明英,“七巧板”又称“智慧板”，是我国古代的一种拼板工具.七巧板中有长方形、平行四边形和三角形.它的数目不多，却能拼出很多种图形，如能拼出从0到9的十个数字，或汉语拼音字母，也能拼出几何图形、动物、建筑物等.那简简单单的七块板，竟能拼出千变万化的图形.,结论开放性探索问题,给出问题的条件，根据条件探索相应的结论，并且符合条件的结论往往呈多样性（结论不确定或不唯一），或者相应的结论的“存在性”需要进行推断，解题依据和方法往往也不唯一，这些问题都属于结论开放性探索问题.,温馨小贴士,这类问题需要积极探索才能解决哦！,苦海无边，回头是岸,题海无边，方法是岸

2、,1.如图1，点D、C在线段AF上且AB=FE，BC=ED，B=E，你能得出哪些正确的结论？,3.如图3，抛物线 的一部分，下列结论正确 的是 a0 b2-4ac0 9a+3b+c=0,牛刀小试,2.如图2，AB是O的直径，BC是弦，ODBC于E，交 弧BC 于D，请写出四个不同类型的正确结论.,.,图1,图2,5.已知点P（x,y）位于第二象限，并且yx4，x，y为整数，请写出一个符合上述条件的点P的坐标 .,牛刀小试,4.如图4，两个全等的边长为4的正方形，其中一个正方形的一个顶点绕着另一个正方形的中心o旋转，那么重叠部分的面积为（ ）？,1.如图1，点D、C在线段AF上且AB=FE，BC

3、=ED，B=E，你能得出哪些正确的结论？,解：AB=FE B=E BC=ED,ABCFED,AC=FD,A=F,ACB=FDE,AD=FC,ABFE,BCED,解题策略1,牛刀小试,从易到难，从直接到间接逐层次探索结论,有关线段的数量关系：BE=CE，AC=2OE，DE2+BE2=BD2,有关线段的位置关系：AC/OD，ACBC,有关角的数量关系：ACB=BEO=900， OBD=ODB,有关三角形形状、面积关系：BOEBAC，SABC=4SOBE,解：,解题策略2,牛刀小试,2.如图2，AB是O的直径，BC是弦，ODBC于E， 交弧BC于D，请写出四个不同类型的正确结论.,从多角度、多方位探

4、索不同类型的结论,图2,解题策略3,变式：你还能找出哪些正确的结论？,3.如图3：抛物线 的一部分，下列结论正确的是 a0; b2-4ac0； 9a+3b+c=0,牛刀小试,数形结合探索结论,4. 如图4，两个全等的边长为4的正方形，其中一个正方形绕的一个顶点绕着另一个正方形的中心o旋转，那么重叠部分的面积为多少 ？ ( ),结论：重叠部分的面积是一个正方形的面积的四分之一.,4,变式：若两个正六边形按此方式旋转，重叠部分的面积与一个正六边形的面积有何关系？,思考：正八边形、正2n边形呢？,解题策略4,牛刀小试,从特殊到一般探索结论,5.已知点P（x,y）位于第二象限，并且yx4，x，y为整数

5、，请 写出一个符合上述条件的点P的坐标,变式：请写出所有符合上述条件的点P的坐标.,P（-1，1）,解题策略5,牛刀小试,分类讨论探索结论,分析：根据条件可知x0,x，y为整数，分类讨论： 当x-1时, x4=3, ； 当x=-2时，x4=2, 当x=-3时, x4=1, y= 1 P1（-1，1）,P2（-1，2）,P3（-1，3）,P4（-2，1） P5（-2，2）,P6（-3，1）,从易到难，从直接到间接逐层次探索结论,多角度、多方位探索不同类型的结论,数形结合探索结论,从特殊到一般探索结论,分类讨论探索结论,策略小结,例1 如图5所示，已知ABC和DCE是两个等边三角形，点B、C、E在

6、同一条直线上，AE与BD交于点O，AE与CD交于点Q，AC与BD交于点P，你能找出哪几对全等三角形？,典 例精 析,解：全等的三角形有 ACEBCD，PCDQCE，BCPACQ,变式：连接PQ，请写出一个与PQ有关的正确的结论，并证明.,-2,-1,O,y,3,2,1,-1,-2,5,1,2,3,4,A,B,C,P1,例2 如图，四边形OABC为矩形，B (5,3),点P在直线BC上，若POA为等腰三角形,则点P的坐标为,若PO=PA，,则P1（2.5,3）,-3,-4,6,7,8,9,-2,-1,O,y,3,2,1,-1,-2,5,1,2,3,4,A,B,C,P2,P3,例2 如图，四边形O

7、ABC为矩形，B (5,3),点P在直线BC上，若POA为等腰三角形,则点P的坐标为,若OP=OA，,则P2（-4,3）,P3（4,3）,典 例精 析,-3,-4,6,7,8,9,-2,-1,O,y,3,2,1,-1,-2,5,1,2,3,4,A,B,C,P4,P5,例2 如图，四边形OABC为矩形，B (5,3),点P在直线BC上，若POA为等腰三角形,则点P的坐标为,若AO=AP，,则P4（1,3）,P5（9,3）,典 例精 析,-3,-4,6,7,8,9,-2,-1,O,y,3,2,1,-1,-2,5,1,2,3,4,A,B,C,P1,P2,P3,P4,P5,例2 如图，四边形OABC为

8、矩形，B (5,3),点P在直线BC上，若POA为等腰三角形,则点P的坐标为,P2（-4，3）,P1 （2.5，3）,P3 （4，3）,P4 （1，3）,P5 （9，3）,OP=OA,AO=AP,PO=PA,典 例精 析,-3,-4,6,7,8,9,例3 在平面直角坐标系中有两个点A（3，2）、B（2，3），请再写出一个点C的坐标，并求出过这三个点的函数图像解析式.,典 例精 析,归纳小结：本题是一道集结论、条件、策略开放的综合性开放探索题，要解决此类题，要求同学们灵活应用所学知识,选择简捷的解法.,课堂自评,你在本节课的学习中，哪些解题策略、方法已经掌握？ 哪些内容一知半解？哪些内容仍未明白

9、？,课后作业,1.如图，每一幅图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个，第2幅图中有3个，第3幅图中有5个，则第n幅图中共有个.,2.如图,P是正方形ABCD边AD上任意一点,过点P作PEAC于E,PFBD于F,AC=20cm,则PE+PF=.,变式：如图,正方形ABCD的周长为20cm,点P是对角线BD上任意一点,过点P作PEAB于E,PFAD于F,则PE+PF=cm.,3.如图，AB是O的直径，O过AC的中点D，DEBC垂足为E. （1）由这些条件，你能推出哪些结论？（要求：不再标注其它字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程，写出四个结论即可）. （2）若ABC为

10、直角，其它条件不变， 除上述结论外，你还能推出哪些别的正确结论， 并画出图形，要求：写出6个结论即可，其它要求同（1）.,再见,2、在平行四边形ABCD中,AC、BD交于点O，过点O作直线EF、GH，分别交平行四边形的四条边于E、G、F、H四点，连结EG、GF、FH、HE。,（1）如图，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由；,图,过关斩将之第三关,图2,（2）如图，当EFGH时，四边EGFH的形状是,图,菱形,（3）如图，在（2）的条件下，若AC=BD，四边形EGFH的形状是,图,菱形,（4）如图，在（3）的条件下，若ACBD，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由,4.如图,P是正方形AB

11、CD边AD上任意一点,过点P作PEAC于E,PFBD于F,AC=20,则PE+PF=。,10,2、如图所示，第一个直角三角形的斜边长 ，第二个直角三角形的斜边长为 ，则第n个直角三角形的斜边长为，,这是一个有意思的小游戏：利用很多零部件通过设定各种拼装工具来帮助“犰狳”（就是那个篮球）到达蓝色的区域。我们可以看到：同样的零件往往可以组合出很多不同的工具。目的很简单，但是方法却是多种多样的。,，,分析：要求PE与PF的长度和，一般情况下会考虑分别求出PE与PF的长度，但本题要求出它们 的长度是很困难的，因而我们是否可以考虑将这两条线段转化到一条线段（已知长度的AC）上去，将问题转化为一个整体来求

12、。,已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图像如图所示，问由此图像中所 显示的抛物线的特征，可以得到二次函数的系数a、b、c的哪些关系和结论。 分析：a0；即2a+3b=0；c= -1； 策略小结：此类“图像信息”开放题，只有认真观察图像上所给出的各个数据及位置特征，灵活运用函数性质，才能找出所有的关系与结论，数形结合是解此 类题的重要数学思想方法。,这类题目就是在给定的条件下，探索响应的对象是否存在。它有结论存在和结论不存在两种情况。其基本解题方法是：假设存在，演绎推理，得出结论，从而对是否存在做出准确的判断。,例：如图，O的直径AB为6，P为AB上一点，过点P作O的弦CD，连结AC、B

13、C，设BCD=mACD，是否存在正实数m，使弦CD最短？如果存在，请求出m的值；如果不存在请说明理由。 简析：假设存在正实数m，使弦CD最短，则有CDAB于P，从而cosPOD=OP:OD， 因为，AB=6，所以cosPOD=30。于是ACD=15，BCD=75，故m=5。 （3）简略开放型,是否存在k，使关于x的方程9x2-（4k-7）x-6k2=0的两个实数根x1、x2，满足|x1-x2|=10如果存在，试求出所有满足条件的k的值；若不存在，说明理由。 策略小结：此类“存在性”开放题，其解题的一般思路是先假定满足条件的结果存在，再依据有关知识推理，要么得到下面结果，肯定存在性；要么导出矛盾

14、，否定存在性。,一、课前练习 （1）正多边形的一个外角为40，则这个正多边形的边数为 . （2）当x 时，代数式无意义. （3）二次函数的顶点的横坐标是1，则b的值是 .,9,b=-2,（4）（99.上海市）如果四边形ABCD满足条件： ，那么这个四边形的对角线AC和BD互相垂直（只需要填写一组你认为适当的条件）. （5）（2000.温州）函数y=3x是经过原点和点（ ， ）的一条直线.,菱形,（正方形）,（6）（99.西安）如图，RtABC是O的内接三角形，ACB=90， A=30，过顶点C作O的切线交AB的延长线于 点D，连结CO，请根据题中所给出的已知条件，写 出你认为正确的结论（如角与

15、角相等，边与边相等， 以及其他正确的结论，每组至少写出两个）. （注：不准添加任何辅助线和字母，不写推理过程） 结论是： ； ； , .,角相等,边相等,其 他,分析、归纳 （1） 特点：前三题答案唯一确定，后三题结论不确定或不明确也不唯一； （2）前三题是传统的数学习题，我们称之为封闭题，后三题属另一种类型，这就是我们今天要讨论的“开放题”.（给出课题）,开放探索性问题,1.概念了解：,（1）传统的数学习题条件完备，结论确定，这类习题称之为封闭题.,（2）开放型探索问题：条件不完备、结论不确定（或不明确），解题依据和方法往往也不唯一，需要解题者积极探索方可解决，这样的习题称之为开放探索性问题

16、（或称开放题）.,（3）开放型探索问题主要出现如下几种形式： 条件开放与探索； 结论开放与探索； 策略开放与探索； 情景开放与探索.,题型分类 （一）数与式的开放题,此类题常以找规律的阅读题形式出现，解题要求能善于观察分析，归纳所提供的材料，猜想其结论。 例题：观察下列等式：9-1=8 16-4=12 25-9=16 36-16=20 这些等式反映出自然数间的某种规律，设n表示自然数，用关于n的等式表示出来： 。 策略小结：此类“猜想性”开放题要求能够从所给条件出发，通过观察、试验、分析、归纳、比较、概括、猜想、探索出一般规律，解题的关键在于正确的归纳和猜想。,（二）方程开放题,此类问题主要以

17、方程知识为背景，探索方程有解的条件或某种条件解的情况，求字母参数的值。 例题：是否存在k，使关于x的方程9x2-（4k-7）x-6k2=0的两个实数根x1、x2，满足|x1-x2|=10如果存在，试求出所有满足条件的k的值；若不存在，说明理由。 策略小结：此类“存在性”开放题，其解题的一般思路是先假定满足条件的结果存在，再依据有关知识推理，要么得到下面结果，肯定存在性；要么导出矛盾，否定存在性。,（三）函数开放题,此类题是以函数知识为背景，设置探索函数解析式中字母系数的值及关系，满足某条件的点的存在性等。 例题：已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图像如图所示，问由此图像中所 显示的抛物

18、线的特征，可以得到二次函数的系数a、b、c的哪些关系和结论。 分析：a0；即2a+3b=0；c= -1； 策略小结：此类“图像信息”开放题，只有认真观察图像上所给出的各个数据及位置特征，灵活运用函数性质，才能找出所有的关系与结论，数形结合是解此 类题的重要数学思想方法。,已知反比例函数，其图象在第一、第三象限内，则k的值可为 （写出满足 条件的一个k的值即可）分析：对于反比例函数（是常数，0）。当它的图象在第一、第三象限时有0，所以本题中应该是-20，即2。 解：-20 2 即只要的值大于2就可以满足题目要求。： 已知一元二次方程有一个根为1，那么这个方程可以是 （只需写出一个方程） 分析：如

19、果一元二次方程有解，则有两个解，题目给出方程有一个根为1，我们可以将此一元二次方程写成（x-1）（x+a）=0的形式，则问题可以解决。,（四）几何开放题,此类问题常以几何图形为背景，设置探索几何量间的关系或点、线位置关系DOAF B COA DE B CF 例题：如图1，四边形ABCD是O的内接四边形，A是弧BD的中点，过A点的切线与CB的延长线交于点E。 （1）求证：ABDA=CDBE （2）若点E在CB延长线上运动，点A在弧BD上运动，使切线EA变为割线EFA，其他条件不变，问具备什么条件使原结论成立？（要求画出示意图2注明条件，不要求证明） 分析：此题第（2）小题是一道条件探索性问题。其

20、解法是“执果索因”，要得到ABDA=CDBE，即要得ABECDA，已有条件ABE=CDA，还需增加条件：BAE=ACD，或BF=AD，或BF=DA，或FABD，或BCF=ACD等。 策略小结：此类探索性试题，解答一般方法是“执果索因”，能画出图形要尽量画出图形，再结合图形逆向推导探索出需要增加的条件，为探索结论，可以作辅助线，对于结论未定的问题，也可反面思考，寻求否定结论的反例，达到目的。,八年级四边形一章曾有一道经典题，多年来多次被各个省市搬上中考试卷，关于它的变式也相当的多，题目是这样的“两个相同的正方形如图叠合，其边长为4，请问阴影部分的面积为多少？”图1 图2 图3 图4图5 图6,如

21、图所示，已知ABC和DCE均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，AE与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连接OC、FG，则下列结论要：AEBD；AGBF；FGBE；BOCEOC，其中正确结论的个数（ ） A1个 B2个 C3个 D4个,总之，开放性问题变化无穷、生动活泼、灵活多样、一改学生死搬硬套的解题模式，消除学生模仿死记解题的习惯，从不同角度对问题的深思熟虑，寻求多样性的解题方法，以上仅仅是笔者几年来教学的心结，有不完善的地方还需要今后的教学中不断探索、实践，但我们的目标是坚定的，为培养开放型、创造型人才而努力工作。,2如图所示，结论：；其中正确的有 A1个 B2

22、个 C3个 D4个,根据已知条件推到直接的结论，由已经得到的结论进一步推出下一个结论，从易到难，从直接到间接地挖掘出不同层次的结论.,解答此类型的开放题，要善于从多角度地进行观察、思考，挖掘出不同类型的结论（如位置关系，数量关系等）.,： 此类“图像信息”开放题，只有认真观察图像上所给出的各个数据及位置特征，灵活运用函数性质，才能找出所有的关系与结论，数形结合是解此类题的重要数学思想方法.,此类问题需要对满足条件的所有情况进行分析探索，分类讨论是常用的解题思想方法.,解决此类题型我们可以从特殊情况寻找答案，由特殊的答案猜想、推导出一般的结论。从而达到由特殊到一般的结论探索的目的.,结论开放性探

23、索问题,结论多样性(不确定性),结论存在性,如图，把边长为2cm的正方形剪成四个全等的直角三角形.请用这四个直角三角形拼成符合下列要求的图形（全部用上，互不重叠且不留空隙），并把你的拼法仿照图1按实际大小画在方格纸内（方格为1cm1cm）.图7.8 （1）不是正方形的菱形（一个）； （2）不是正方形的矩形（一个）； （3）梯形（一个）； （4）不是矩形和菱形的平行四边形（一个）； （5）不是梯形和平行四边形的凸四边形（一个）； （6）与以上画出的图形不全等的其他凸四边形（画出的图互不全等，能画出几个画几个，至少画三个）.,例4 （2000.辽宁）如图，AB是O的直径，O过AC的中点D，DEBC垂足为E. （1）由这些条件，你能推出哪些结论？（要求：不再标注其它字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程，写出四个结论即可）. （2）若ABC为直角，其它条件不变，除上述结论外，你还能推