数学人教版九年级上册二次函数与几何图形综合应用问题.ppt

1、二次函数与几何图形综合题,（图形相似、面积、最值问题）,设计者：徐久虎,例1：如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1，tanBAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90，得到DOC，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C （1）求抛物线的解析式； （2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t. 设抛物线对称轴l与x轴交于点E，连接PE，交CD于F，当CEF与COD相似时，求点P的坐标； 是否存在一点P，使得PCD面积最大？若存在，求出PCD的面积的最大值；若不存在，请说明理由,（1）思路点拨先求出A、B、C的坐标，再运用待定系数法就可以直接求出二次函数的解

2、析式。,（2） 若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t.设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，当CEF与COD相似时，求点P的坐标；,设问引导： （1）点P的坐标怎么表示？ （2）CEF与COD相似时，其顶点的对应情况如何？ （3）怎么建立t的关系式？,（2） 若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t.设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，当CEF与COD相似时，求点P的坐标；,思考： 当CFE =90时，还有其它 方法求P 点坐吗？,归纳：,（2） 若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t.是否存在一点P，使得PCD面积最大？若存在，求

3、出PCD的面积的最大值；若不存在，请说明理由,设问引导： （1）存在性问题如何探究？ （2）如何用含t的式子表示PCD的面积？ （3）怎么求PCD的面积的最大值？,（2） 若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t.是否存在一点P，使得PCD面积最大？若存在，求出PCD的面积的最大值；若不存在，请说明理由,归纳：,例2：抛物线y=ax2+bx+4（a0）过点A（1，1），B（5，1），与y轴交于点C （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，连接CB，以CB为边作CBPQ，若点P在直线BC上方的抛物线上，Q为坐标平面内的一点，且CBPQ的面积为30，求点P的坐标； （3）如图2，O1过点

4、A、B、C三点，AE为直径，点M为 上的一动点（不与点A，E重合），MBN为直角，边BN与ME的延长线交于N，求线段BN长度的最大值,o,思路点拨（1）将点A、B的坐标代入抛物线的解析式，得到关于a、b的方程，从而可求得a、b的值.,（2）设问引导： 点P的坐标怎么设？（注意取值范围！） 欲求点P的坐标，怎么建立点P坐标的关系式？ 怎么应用CBPQ的面积为30这一条件？此条件能变一种说法吗？,思路点拨(2)设点P的坐标为P（m，m26m+4），由平行四边形的面积为30可知SCBP=15，由SCBP=S梯形CEDPSCEBSPBD，得到关于m的方程求得m的值，从而可求得点P的坐标,（3）设问引导

5、： 点M在AE弧上移动时，图中哪些量变化？哪些量不变？ BMN变化吗？BMN能与图中哪个角相等呢？ 的值变化吗？ 你能观察出M点在什么位置时，线段BN长度最大？怎么求它的最大值？ 你能求出O1、E点的坐标吗？ MBN与ABE有何关系？,思路点拨(3)首先证明EABNMB，从而可得到NB= ，当MB为圆的直径时，NB有最大值,o,评析： 考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：待定系数法求抛物线的解析式，割补法，三角形面积，分类思想，方程思想，相似三角形的性质，勾股定理，圆的有关性质，综合性较强，有一定的难度,归纳：,解二次函数与几何图形综合问题： 第一、认真审题，分析、挖掘题目的隐含条件，翻译并

6、转化为显性条件； 第二、将复杂问题分解为基本问题，逐个击破； 第三、善于联想和转化，分析条件产生的结论，恰当应用方程与函数思想、转化思想、数形结合思想、分类讨论思想、运动观点等数学思想方法，有效地解决问题。,例3：如图1，抛物线y= x2平移后过点A（8，0）和原点，顶点为B，对称轴与x轴相交于点C，与原抛物线相交于点D （1）求平移后抛物线的解析式，并直接写出阴影部分的面积S值； （2）如图2，直线AB与y轴相交于点P，点M为线段OA上一动点，PMN为直角，边MN与AP相交于点N，设OM=t，试探究： t为何值时，MAN为等腰三角形； t为何值时，线段PN的长度最小，最小长度是多少,思路点拨

7、（1）设平移后抛物线的解析式y= x2+bx，将点A（8，0）代入，根据待定系数法即可求得平移后抛物线的解析式，再根据割补法由三角形面积公式即可求解,思路点拨作NQ垂直于x轴于点Q分当MN=AN时，当AM=AN时，当MN=MA时，三种情况讨论可得MAN为 等腰三角形时t的值.,评析： 考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：待定系数法求抛物线的解析式，平移的性质，割补法，三角形面积，分类思想，相似三角形的性质，勾股定理，根的判别式，综合性较强，有一定的难度,反思提炼：,一、求几何最值问题的基本策略： 1直观感觉，画出图形； 2特殊位置，比较结果； 3理性分析动点过程中所维系的不变条件，通过几何特征寻找构建动量与定量（常量）、动量与动量之间的关系，建立等式，进行转化.,二、通常有两种途径： 1应用几何性质： (1) 三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； (2) 两点间线段最