平稳随机过程PPT

1、1,平稳随机过程,2,3.1 平稳随机过程,3.2 平稳随机过程的各态历经性,3.3 平稳随机过程的相关函数,第三章 平稳随机过程,3.4 高斯平稳随机过程,3,3.1 平稳随机过程,3.2 平稳随机过程的各态历经性,3.3 平稳随机过程的相关函数,第三章 平稳随机过程,3.4 高斯平稳随机过程,4,随机幅度的正弦信号,随机频率的正弦信号,幅度、相位和频率都是随机的,随机相位的正弦信号,3.1 平稳随机过程,3.1 平稳随机过程,Exercise 3.1,此项为常数,此项为零,3.1 平稳随机过程,Exercise 3.1,7,Exercise 3.1,3.1 平稳随机过程,8,在任何时刻计算

2、严平稳过程的统计结果都是相同的,严平稳过程的n维概率密度不随时间平移而变化，或者说与时间起点无关。,3.1 平稳随机过程,Definition3.1 (Strict-sense Stationary Stochastic Process),9,Definition3.2 (Joint Strict-sense Stationary Stochastic Process),3.1 平稳随机过程,10,严平稳过程具有以下性质,1、严平稳过程X(t)的一维概率密度与时间无关,严平稳过程的数学期望和方差与时间无关,3.1 平稳随机过程,2、严平稳过程X(t)的二维概率密度只与两个时 刻t1和t2的间隔

3、有关，与时间起点无关。,严平稳过程X(t)的自相关函数和协方差函数都只是时间间隔 的函数。,3.1 平稳随机过程,严平稳过程具有以下性质,一维概率密度与时间有关，故不是严平稳过程。,3.1 平稳随机过程,Exercise 3.2,一个严平稳过程只要它的均方值有限，则它必定是广义平稳的。但是，反之则不一定成立。,广义平稳的高斯过程必定也是严平稳的，即对于高斯过程来说，严平稳与宽平稳是等价的。,Definition3.3 (Wide-sense Stationary Stochastic Process),3.1 平稳随机过程,随机幅度的正弦信号,随机频率的正弦信号,幅度、相位和频率都是随机的,随

4、机相位的正弦信号,3.1 平稳随机过程,Exercise 3.3,3.1 平稳随机过程,Exercise 3.3,随机相位的正弦信号,3.1 平稳随机过程,Exercise 3.3,随机幅度的正弦信号,3.1 平稳随机过程,Exercise 3.3,随机频率的正弦信号,3.1 平稳随机过程,Exercise 3.3,幅度、相位和频率都是随机的,3.1 平稳随机过程,Exercise 3.3,幅度、相位和频率都是随机的,3.1 平稳随机过程,Exercise 3.3,幅度、相位和频率都是随机的,3.1 平稳随机过程,Exercise 3.4,3.1 平稳随机过程,Exercise 3.5,3.1

5、 平稳随机过程,Exercise 3.5,3.1 平稳随机过程,Exercise 3.5,25,3.1 平稳随机过程,Exercise 3.6,3.1 平稳随机过程,Exercise 3.7,27,3.1 平稳随机过程,Exercise 3.8,28,3.1 平稳随机过程,Exercise 3.8,3.1 平稳随机过程,Exercise 3.9,3.1 平稳随机过程,Exercise 3.9,3.1 平稳随机过程,Exercise 3.9,32,3.1 平稳随机过程-联合平稳,Definition3.4 (Joint Wide-sense Stationary Stochastic Proce

6、ss),3.1 平稳随机过程,Exercise 3.10,3.1 平稳随机过程,Exercise 3.10,35,3.1 平稳随机过程,3.2 平稳随机过程的各态历经性,3.3 平稳随机过程的相关函数,第三章 平稳随机过程,3.4 高斯平稳随机过程,36,两个平稳过程的典型例子（相同的均值与方差）,3.2 平稳随机过程的各态历经性,各态历经性,维纳：预测平滑和滤波 预测问题：设有零均值实平稳过程 ，现在的问题是要利用已知值 预测未来值 ，为常量，也即 选择 使得：,3.2 平稳随机过程的各态历经性,各态历经性,均值、自相关函数 怎样获得？ 在这个例子中，只能获得飞机过去一段时间的飞行轨迹，也就

7、是说能否用一个样本来获得平稳随机过程的均值和自相关函数？ 这就需要证明每个样本的时间均值等于该随机过程的均值！,3.2 平稳随机过程的各态历经性,各态历经性,39,3.2 平稳随机过程的各态历经性,各态历经性,问题的提出：我们知道，随机过程的数字特征（均值、相关函数）是对随机过程的所有样本函数的统计平均，但在实际中常常很难测得大量的样本，这样，我们自然会提出这样一个问题：能否从一次试验而得到的一个样本函数x(t)来决定平稳过程的数字特征呢?,回答是肯定的。平稳过程在满足一定的条件下具有一个有趣而又非常有用的特性，称为“各态历经性”（又称“遍历性”）。具有各态历经性的过程，其数字特征（均为统计平

8、均）完全可由随机过程中的任一实现的时间平均值来代替。,如何根据实验记录确定平稳过程的均值和自相关函数呢？,用统计实验方法，均值和自相关函数近似地为：,按照数学期望和自相关函数的定义，需要时一个平稳过程重复进行大量观察，获得一族样本函数,各态历经性,3.2 平稳随机过程的各态历经性,平稳过程的统计特性不随时间的推移而变化，根据这一特点，能否通过在一个很长时间内观察得到的一个样本曲线来估计平稳过程的数字特征呢？,本节给出的各态历经定理证实，只要满足某些条件，那么均值和自相关函数实际上可以用一个样本函数在整个时间轴上的平均值来代替。,各态历经性,3.2 平稳随机过程的各态历经性,各态历经过程,非各态

9、历经过程,随机过程的各个样本函数都同样地经历了随机过程的各种可能状态，因此从随机过程的任何一个样本函数就能得到随机过程的全部统计信息，任何一个样本函数的特性都能充分地代表整个随机过程的特性。,各态历经性,3.2 平稳随机过程的各态历经性,各态历经性,3.2 平稳随机过程的各态历经性,所谓各态历经性是指它的 “各种时间平均以概率1收敛于相应的统计平均”。并称这个过程为各态历经过程。,由于所采用的极限(收敛)的标准不同得到的遍历性定理也不同，关于平稳过程的遍历性主要有两类： (1)对强平稳过程在几乎处处收敛的意义下的遍历性定理； (2)对弱平稳过程在均方收敛的意义下的遍历性定理；,各态历经性,3.

10、2 平稳随机过程的各态历经性,我们最关心的是随机过程X(t)沿整个时间轴的如下两种时间平均。,设 是平稳过程，若下面均方极限存在，,则分别称它们为X(t)的时间均值和时间相关函数。,Definition3.5 (Ergodic Stochastic Process),3.2 平稳随机过程的各态历经性,Definition3.5 (Ergodic Stochastic Process),3.2 平稳随机过程的各态历经性,47,Exercise 3.11,3.2 平稳随机过程的各态历经性,Exercise 3.11,3.2 平稳随机过程的各态历经性,49,Exercise 3.11,3.2 平稳随

11、机过程的各态历经性,Exercise 3.12,3.2 平稳随机过程的各态历经性,Exercise 3.13,3.2 平稳随机过程的各态历经性,52,Exercise 3.13,3.2 平稳随机过程的各态历经性,53,Exercise 3.14,3.2 平稳随机过程的各态历经性,Exercise 3.14,3.2 平稳随机过程的各态历经性,55,Exercise 3.14,3.2 平稳随机过程的各态历经性,56,Exercise 3.15,3.2 平稳随机过程的各态历经性,续,Theorem 3.1 (均值遍历),3.2 平稳随机过程的各态历经性,Theorem 3.1 (均值遍历),3.2

12、平稳随机过程的各态历经性,证毕！,Theorem 3.1 (均值遍历),3.2 平稳随机过程的各态历经性,60,Corollary 3.1 (均值遍历),3.2 平稳随机过程的各态历经性,Theorem 3.2 (自相关遍历),3.2 平稳随机过程的各态历经性,解：,所以X(t)是关于均值遍历的。,Exercise 3.16,3.2 平稳随机过程的各态历经性,各态历经性,3.2 平稳随机过程的各态历经性,各态历经定理的重要价值在于它从理论上给出了如下保证：一个平稳过程X(t)，若0t+，只要它满足各态历经性条件，便可以根据“以概率1成立”的含义，从一次试验所得到的样本函数x(t)来确定该过程的

13、均值和自相关函数。,各态历经性,3.2 平稳随机过程的各态历经性,65,3.1 平稳随机过程,3.2 平稳随机过程的各态历经性,3.3 平稳随机过程的相关函数,第三章 平稳随机过程,3.4 高斯平稳随机过程,66,见下页,3.3 平稳随机过程的相关函数,Proposition 3.1 (Autocorrelation Function of SSP ),自相关函数的非负定性是平稳过程最本质的特性，因为任一连续函数，只要具有非负定型，那么该函数必是某平稳过程的自相关函数,3.3 平稳随机过程的相关函数,Proposition 3.1 (Autocorrelation Function of SS

14、P ),68,3.3 平稳随机过程的相关函数,Definition3.6 (Peroidic Stationary Stochastic Process),Theorem 3.3 (周期平稳),69,3.3 平稳随机过程的相关函数,70,3.3 平稳随机过程的相关函数,71,应用：,3.3 平稳随机过程的相关函数,72,3.3 平稳随机过程的相关函数,Exercise 3.17,73,3.1 平稳随机过程,3.2 平稳随机过程的各态历经性,3.3 平稳随机过程的相关函数,第三章 平稳随机过程,3.4 高斯平稳随机过程,74,一维高斯（正态）分布：,3.4 高斯平稳随机过程,75,高斯分布的统计

15、特性 均值： 方差： 高斯分布的特点：全部统计特性由其均值 和方差 确定。 （注意上图中均值和方差的涵义）,3.4 高斯平稳随机过程,76,高斯随机过程：随机过程的任意n维概率密度具有如下的正态分布特性的随机过程称之。,3.4 高斯平稳随机过程,77,高斯随机过程（续）： 参数的涵义：,3.4 高斯平稳随机过程,78,高斯随机过程（续）： 高斯随机过程的特点：其统计特性完全由其一维、二维统计值： 完全确定。,3.4 高斯平稳随机过程,79,高斯随机过程的性质： （1）宽平稳与严平稳等价。 对于宽平稳过程，其一阶、二阶的统计值满足： 对高斯过程，其统计特性完全由其一阶、二阶统计值确定，所以宽平稳

16、的高斯随机过程与严平稳的高斯过程等价。,3.4 高斯平稳随机过程,80,高斯随机过程的性质： （2）不相关与独立等价。 若随机变量 两两不相关 注：只涉及其二维统计特性。则有：,3.4 高斯平稳随机过程,81,高斯随机过程的性质： （2）不相关与独立等价（续）。则有：,3.4 高斯平稳随机过程,82,通信系统分析中常用的几个特殊函数 （1）概率积分函数,3.4 高斯平稳随机过程,83,通信系统分析中常用的几个特殊函数（续） （2）误差函数 （3）互补误差函数 （4）Q函数 Q函数是一单调降函数,3.4 高斯平稳随机过程,84,特殊函数函数之间的关系 （1） （2） （3）,3.4 高斯平稳随机过程,85,高斯白噪声n(t)：幅度取值服从均值为0的高斯分布、功率谱密度满足： 的一种（理想）的随机过程。 高斯白噪声的相关函数： 高斯白噪声