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文档简介

1、 3.1 交比,交比 最根本的射影不变量,一、点列中四点的交比,定义1. 在拓广平面上，设P1, P2, P3, P4为点列l(P)中四点, 且P1 P2，固定基点P1, P2 之齐次坐标，则记(P1P2,P3P4)表示这四点构成的一个交比. 定义为,称P1, P2为基点对， P3, P4为分点对.,注. P1, P2，P3, P4允许含一个无穷远点以及一对相同点； 或者， P1, P2，P3, P4全部是无穷远点。,性质1 共线四点的交比值出现0, 1, 三者之一这四点中有某二点相同.,证明 对P1=P2或P2=P3或P3=P4或P4 = P1进行验证即可. 此时, 上述6个不同的交比值又只

2、有3组：0, 1, .,性质2 设(P1P2,P3P4 )=r. 当改变这四点在交比符号中的次序时，交比值变化规律如下：,推论 相异的共线四点构成的24个交比只有6个不同的值：,定理2. 设点列l(P)中四点Pi的齐次坐标为A+i B (i=1,2,3,4)，且Pi与B不相同. 则,注意： A,B 表示点列l(P)上两点A,B的某一确定的齐次坐标，不可随意改动. 但是A,B可以是无穷远点。,注：定理2可以作为交比的一般定义.,作业1 已知(P1P2,P3P4 )=2, P1, P2, P4的坐标依次为(1,1,1), (1,1,1), (1,0,1). 求P3的坐标.,解：设,则显然,由,可得,从而P3的坐标为(3,1,3).,作业2. 设1,2,3,4,5,6是6个不同的共线点. 证明：若(12,34)=(14,32), 则(13,24)=-1.,由题设,已知四点相异,作业3 已知P1(3,1,1), P2(7,5,1), Q1(6,4,1), Q2(9,7,1). 求(P1 P2, Q1 Q2).,作业4. 设1,2,3,4,5,6是6个不同的有穷远共线点. 证明 (1) (12,34)(12,45)(12,

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