数学一模考试卷

1、 数学一模考试卷数学一模考试卷 一、选择题 （1）已知 0 sin 2 xdx x ，则 2 0 sin () x dx x （ ） （A） 2 4 （B） 4 （C） 2 2 （D） 2 （2） 设( )f x在区间a,b上存在一阶导数(x)0 f ， 则(x)(x) f(t) b a Ffdt 在开区间 (a,b)上（ ） （A）严格单调增加 （B）严格单调减少 （C）存在极大值点 （D）存在极小值点 （3）设 22 ,(x,y)(0,0), (x,y) 0,(x,y)(0,0), xy fxy 则(x,y)f在点(0,0)O处（ ） （A）极限不存在 （B）极限存在但不连续 （C）连续但

2、不可微 （D）可微 （4）下述命题 设(x)f在任意的闭区间a,b上连续，则(x)f在(,) 上连续。 设(x)f在任意的闭区间a,b上有界，则(x)f在(,) 上有界。 设(x)f在(,) 上为正值的连续函数，则 1 (x)f 在(,) 上也是正值的连 续函数。 设(x)f在(,) 上为正值的有界函数，则 1 (x)f 在(,) 上也是正值的有 界函数。 其中正确的个数为（ ） （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 （5）设A,B是n阶实对称可逆矩阵， 则存在n阶可逆阵P，使得下列关系式 PAB 1 P ABPBA 1 P APB 22T P A PB 成立的个数是（ ） （A）1 （B）

3、2 （C）3 （D）4 （6）设A是 3 阶矩阵， T 1 (1,2, 2) ， T 2 (2,1, 1) ， T 3 (1,1, ) t 是线性非齐次方程 组Axb 的解向量，其中 T (1,3, 2)b ，则（ ） （A）1t 时，必有( )1r A （B）1t 时，必有( )2r A （C）1t 时，必有( )1r A （D）1t 时，必有( )2r A （7）设X，Y，Z相 互 独 立 ， 且(1,2)XN，(2,2)YN，(3,7)ZN， 记 (XY)aP，(YZ)bP，则 （A）ab （B）ab （C）ab （D）ab、大小关系不确定 （8）设随机变量 11XU ，函数 ,01,

4、(x) 0,10, xx yg x 则(X)Yg的 分布函数的间断点个数为 （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 二、填空题 （9）设 4 0 (x)3 x yt dt ，l为曲线(x)yy在区间11x 上的孤段，则平面第一型 曲线积分 3 (xy) l dl _。 （10）设(x,y,z)uu具有二阶连续偏导数，且满足 222 222 222 uuu xyz xyz 。又设 S为曲面 222 2(0)xyzaza的外侧，则 S uuu dydzdzdxdxdy xyz _。 （11）函数 23 32ux yyzz， 3 4vxyz，点(1, 1,1)P。u在点P处沿 P grad v方 向

5、的方向导数等于_。 （12）设0 x ，微分方程 22 xyyxy 满足 1 (1) 2 y的特解是y _。 （13）设 111 11212 112123 aaa Aaaaaa aaaaaa ， 1 2 3 a Ba a 。 其中(i1,2,3) i a为实数， 则存在可逆阵C，使得 T C ACB，其中C _。 （14）设 1 X， 2 X，.， n X是总体 2 (0,)XN的一个简单随机样本，X， 2 S分别为其 样本均值和样本方差，则 2 2 1 X(1)S D n _。 三、解答题 （15） 求曲面 22 4332zxyxy上的点到平面1xyz的最短距离。 （16） 设l为自点(0,

6、0)O沿曲线sinyx至点( ,0)A的有向弧段，求平面第二型曲线积 分 xx 3 (e cosy 2(xy)dx( e sinyx)dy 2 l I 。 （17） 设x与y均大于 0 且xy。证明： 1 1 xy xy eexy 。 （18） 设 22 (x,y,z)3 ,14xyzz，求三重积分 22 1 dv xyz 。 （19） 设(x)f在区间(0,1)内可导，且导函数(x) f 有界，证明： （I）级数 2 11 ( )() 1 n ff nn 绝对收敛。 （II） 1 lim( ) n f n 存在。 （20） 设 n n () ij Aa ， ij A是A中元素 ij a的代数

7、余子式。 （I）若 111 011 001 A ，求 11 nn ij ij A ； （II）若2A ， 11 3a ， 22232 32333 23 n n nnnn AAA AAA B AAA ，求B。 （21） 设A是n阶矩阵，A的第i行、第j列的元素 ij ai j ，求 （I）( )r A； （II）A的特征值，特征向量，并问A能否相似于对角阵，若能，求出相似对角阵；若不 能，则说明理由。 （22） 设(U,V)在以点( 2,0)，(2,0)，(0,1)，(0, 1)为顶点的四边形D上服从二维均 匀分布， 令 1,1 1,1 U X U 1 1, 2 1 1, 2 V Y V （I）求(X,Y)的联合分布律。 （II）求X和Y的相关系数 XY 。 （III）求V