2010年高考数学圆锥曲线最值问题复习

1、圆锥曲线的最值问题,高三复习专题训练：,高考地位:,最值问题是高考的热点，而圆锥曲线的最值问题几乎是高考的必考点，不仅会在选择题或填空题中进行考察，在综合题中也往往将其设计为试题考查的核心。,方法一:,圆锥曲线的定义转化法 根据圆锥曲线的定义，把所求的最值转化为平面上两点之间的距离、点线之间的距离等，这是求圆锥曲线最值问题的基本方法。,关键：用好圆锥曲线的定义,例1、已知点F是双曲线 的左焦点，定点 A（1，4），P是双曲线右支上动点，则 的最小值为 .,思维导图：,根据双曲线的定义，建立点A、P与两焦点之间的关系,两点之间线段最短,例1、已知点F是双曲线 的左焦点，定点 A（1，4），P是双

2、曲线右支上动点，则 的最小值为 .,解析：设双曲线右焦点为F/,变式训练：,已知P点为抛物线 上的点，那么P点到点Q（2，-1）的距离与P点到抛物线焦点的距离之和的最小值为 _ _，此时P点坐标为 _.,回顾反思与能力提升：,1、若圆锥曲线为椭圆，A为椭圆内一点，有可 得出什么结论，能否自己设计出一道题目； 2、体现了什么数学思想方法？ 3、理论根据是什么？ 4、此法适合解决那类问题？,方法二：,切 线 法 当所求的最值是圆锥曲线上点到某条直线的距离的最值时，可以通过作与这条直线平行的圆锥曲线的切线，则两平行线间的距离就是所求的最值，切点就是曲线上去的最值时的点。,例2、求椭圆 上的点到直线

3、的距 离的最大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点的坐标.,思维导图：,求与 平行的椭圆的切线,切线与直线 的距离为最值，切点就是所求的点.,x,y,o,例2、求椭圆 上的点到直线 的距 离的最大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点的坐标.,解：设椭圆与 平行的切线方程为,变式训练：,动点P在抛物线 上，则点P 到直线 的距离最小时，P点的坐 标为_.,回顾反思与能力提升：,1、此法用了哪种数学思想方法？ 2、有没有别的办法？ 3、要注意画出草图，根据图形确定何时取最大 值，何时取最小值.,方法三:,参 数 法 根据曲线方程的特点，用适当的参数表示曲线上点的坐标，把所求的最值归结为求解关于这个参数

4、的函数的最值的方法.,关键：选取适当的参数表示曲线上的坐标,例3、在平面直角坐标系中，P(x,y)是椭圆 上动点，则S=x+y的最大值是_.,思维导图：,根据椭圆的参数方程表示x、y,将S表示成关于参数的函数,解析：设P点坐标为 则,当 时， .,变式训练：,设 求 的最大值和最小值，并求取得 最值时a、b的值.,回顾反思与能力提升：,1、参数法体现了什么数学思想方法？ 2、解析几何中还有哪些曲线可以做这种代换？ 3、理论根据是什么？ 4、关键是什么？,方法四:,基本不等式法 先将所求最值的量用变量表示出来，再利 用基本不等式求这个表达式的最值. 这种方法是求圆锥曲线中最值问题应用最 为广泛的

5、一种方法.,例4、设椭圆中心在坐标原点A（2，0）、B（0，1）是它的两个顶点，直线 与椭圆交于E、F两点，求四边形AEBF面积的最大值.,A,F,E,B,x,y,思维导图：,用k表示四边形的面积,根据基本不等式求最值,例4、设椭圆中心在坐标原点A（2，0）、B（0，1）是它的两个顶点，直线 与椭圆交于E、F两点，求四边形AEBF面积的最大值.,解析：依题意设得椭圆标准方程为 直线AB、EF的方程分别为 设,根据点到直线距离公式及上式，点E、F到AB的距离分别为,四边形AFBE的面积为,变式训练：,已知椭圆 的左右焦点 分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆于B、D 两点，过F2的直线交椭圆于A

6、、C两点，且 ACBD，求四边形ABCD面积的最小值.,回顾反思与能力提升：,1、关键是什么？ 2、应注意什么？,方法四:,函 数 法 把所求最值的目标表示为关于某个变量的 函数，通过研究这个函数求最值，是求各类最 值最为普遍的方法.,关键：建立函数关系式,例5、点A、B分别是椭圆 的长轴的左右端 点，F为右焦点，P在椭圆上，位于x轴的上方，且PAPF若M为椭圆长轴AB上一点，M到直线AP的距离等于|MB|.求椭圆上点到点M的距离的最小值.,x,y,A,B,F,M,P,思维导图：,把所求距离表示为椭圆上点的横坐标的函数,求这个函数的最小值,解析：由已知可得点A(-6，0)、F(4,0),设点P(x,y)，则,由(1)、(2)及y0得,AP的方程为,设M(m，0)，则点M到直线AP的距离,设椭圆上点（x0,y0）到M距离为d 则,变式训练：,已知双曲线C： ，P为C 上任一点，点A（3，0），则|PA|的最小 值为_.,回顾反思与能力提升：,1、关键是