云南省德宏州潞西市高中数学 1.3 函数的基本性质2（2）函数奇偶性的应用教学案（无答案）新人教A版必修1（通用）

1、函数奇偶性的应用教学目标：1.巩固函数的奇偶性含义及几何意义; 2.会利用函数的奇偶性解答一些简单的有关问题教学重点：函数奇偶性的应用;教学难点：函数奇偶性与单调性的综合应用二、预习导学（一） 知识梳理1奇、偶函数代数特征的灵活变通由f(-x)=-f(x),可得f(-x)+f(x)=0或=-1(f(x)0);由f(-x)=f(x),可得f(-x)-f(x)=0或=1(f(x)0).在判定函数的奇偶性方面,有时利用变通后的等式更为方便.2函数奇偶性的重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义,即f(0)有意义,那么一定有f(0)=0,有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数.(2)如果函

2、数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(-x)=f().（二）1奇、偶函数在各自对称区间上的单调性如何?提示:根据奇、偶函数图象的对称性可以推知:奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全相同;偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性恰恰相反.三、问题引领，知识探究1.奇函数、偶函数的图象有何特点?提示:奇函数图象关于原点对称,偶函数图象关于y轴对称. 2.已知函数的部分图象,能否根据函数奇、偶性作出另一部分图象?提示:可以.利用奇函数、偶函数的对称性作出另一部分图象.例1设奇函数f(x)的定义域为-5,5,若当x0,5时,f(x)的图象如图所示,求不等式f(x)0的解集.

3、思路分析:利用奇函数图象的对称性,画出函数f(x)在-5,0上的图象,再根据图象写出不等式f(x)0的解集. 解:因为函数f(x)是奇函数,所以函数f(x)在-5,5上的图象关于原点对称.根据f(x)在0,5上的图象画出在-5,0上的图象,如图中虚线所示.由图象知不等式f(x)0的解集为x|-2x0,或20的x的集合是.答案:解析:根据偶函数的图象关于y轴对称,作出y轴右边的部分,由图象得,使f(x)0的x的集合是x|-1x1.二、函数单调性与奇偶性的综合应用活动与探究1.若已知函数f(x)的单调性,怎样求解形如f(g(x)f(h(x)的不等式?提示:利用单调性脱去符号“f”,转化成求解g(x

4、)与h(x)大小关系的不等式问题.2.若在上述问题的基础上再加上奇偶性与定义域的条件,应如何处理?提示:应先根据奇偶性化成第1种问题的形式再求解,同时要考虑g(x)与h(x)都应在定义域之内.例2定义在(-1,1)上的奇函数f(x)在整个定义域上是减函数,若f(1-a)+f(1-3a)0,求实数a的取值范围.思路分析:利用f(x)是奇函数,把f(1-a)+f(1-3a)0变形为f(1-3a)f(a-1),再根据单调性列出不等式(组)求解.解:原不等式化为f(1-3a)-f(1-a).f(x)是奇函数,-f(1-a)=f(a-1).原不等式化为f(1-3a)f(a-1).f(x)是减函数,且定义

5、域为(-1,1),有解得0a.实数a的取值范围是(0,).练习2.已知函数y=f(x)是偶函数,且在0,+)上单调递减.若f(a)f(2),求实数a的取值范围.解:y=f(x)是偶函数,f(a)=f().f(a)f(2),f()2,即a2或a-2.实数a的取值范围是a2.四、目标检测1.函数f(x)是定义在R上的奇函数,且它是减函数,若实数a,b满足f(a)+f(b)0,则a与b的关系是()A.a+b0B.a+b0 C.a+b=0 D.不确定2.若函数y=f(x)是偶函数,其图象与x轴有两个交点,则方程f(x)=0的所有实根之和是()A.2B.1C.0D.-13.已知函数f(x)是偶函数,且x0