北京市海淀区2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）（通用）

1、北京市海淀区2020学年下学期高一期中考试数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.等于 ( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析】根据两角和的正弦函数的公式，得到，即可求解，得到答案.【详解】根据两角和的正弦函数，可得，故选B.【点睛】本题主要考查了逆用两角和的正弦函数的公式化简、求值，其中解答中熟记两角和的正弦函数的公式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.2.已知正四棱锥的底面边长为，高为，则它的体积为 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据正四棱锥的性质，以及锥体的体

2、积公式，直接计算，即可得到答案.【详解】由题意，正四棱锥的底面边长为2，高为3，则底面正方形的面积为，所以四棱锥的体积为V=13Sh=1343=4，故选B.【点睛】本题主要考查了棱锥的体积的计算问题，其中解答中熟记正四棱锥的性质，以及锥体的体积公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.3.在中，则等于 ( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由正弦定理得，求得得值，即可得到角C的大小，得到答案.【详解】在中，由正弦定理得asinA=csinC，可得sinC=csinAa=2sin3001=1，又由，所以，故选C.【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，其中

3、解答中熟练应用正弦定理，求得的值是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.4.已知直线m和平面，则下列四个命题中正确的是 （ ）A. 若，m，则mB. 若m，m，则C. 若，则mD. 若，m，则【答案】D【解析】【分析】利用面面垂直，面面平行和线面平行的性质，逐项判定，即可得到答案.【详解】由题意，对于A中，若，则与可能平行，所以不正确；对于B中，若，则与可能是相交的，所以不正确；对于C中，若，则m可能在内，所以不正确；对于D中，根据面面平行的性质，可得若，则是正确的，故选D.【点睛】本题主要考查了面面垂直，面面平行和线面平行的性质的应用，其中解答中熟记线面位置关系的判定是解答的关键

4、，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.5.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1被平面和平面ACD1分别截去三棱锥B-ACB1和三棱锥D-ACD1后，得到一个n面体，则这个面体的左视图和值为 （ ）A. 6B. C. 7D. 【答案】D【解析】【分析】直接利用几何体的三视图和截面图象的转换，即可求得结果.【详解】由题意，正方体ABCDA1B1C1D1被平面和平面ACD1分别截去三棱锥和三棱锥后，得到一个7面体，根据几何体的截面图，可得其左视图为D，故选D.【点睛】本题主要考查了几何体的三视图的应用，以及截面的转换，着重考查了空间想象能力，以及运算能力和转换能力，属于基础题.6.已知0b2-4

5、，解得，又由，所以实数的范围是.【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用，其中解答中根据余弦定理转化为关于a的方程有两解，进而求解b的范围是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.14.如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，BB1=B1D1，点E是棱CC1上的一个动点，若平面BED1交棱AA1于点F，给出下列命题：. 四棱锥B1-BED1F的体积恒为定值；存在点，使得B1D平面BD1E； 存在唯一的点，使得截面四边形BED1F的周长取得最小值；存在无数个点，在棱上均有相应的点，使得CG平面EBD1，也存在无数个点E，对棱上任意的点G， 直线与平面EBD1均相交.其中真

6、命题的是_（填出所有正确答案的序号）【答案】【解析】【分析】根据线面平行的判定定理和面面平行的性质定理，以及锥体的体积公式，即可求解.【详解】由题意，可知中，四棱锥B1BED1F的体积为：VB1BED1F=VEBB1D1+VFBB1D1=2VEBB1D1=213SBB1D1h，则SBB1D1和都为定值，所以四棱锥B1BED1F的体积恒为定值；中，连接B1D和B1C，当B1CBE时，利用三垂线定理可得B1DBE,又由BB1=B1D1，所以B1DBD1，利用线面垂直的判定定理，即可得到B1D平面BD1E，所以是正确的；中，根据棱柱的结构特质，可知四边形BED1F为平行四边形，设BB1=2,BC=x

7、,CD=y， 则x2+y2=4，令CE=m，则C1E=2m，所以四边形BED1F的周长为l=2(BE+ED1)=2(x2+m2+y2+(2m)2) 2(12+12)(x2+m2+y2+(2m)2)=22+4+m2+(2m)2=12+4m28m+8，当m=1时，周长有最小值，即当为CC1的中点时，周长取得最小值，所以正确；中，在AD任取一点G，过点G作GH/FD1，可证得CH/D1E,利用线面平行的判定定理可得平面CGH/平面BD1E，所以CG/平面BD1E，所以是正确的.故正确的命题序号为.【点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征，以及线面位置关系的判定及应用，其中解答中熟练运用空间几何体的

8、结构特征，以及熟记线面位置关系的判定与性质是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及空间想象能力，属于中档试题.三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知. （）求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间;（）求函数f(x)在区间0,2上的取值范围.【答案】（）见解析； （）-3,2.【解析】【分析】（）化简得 f(x)=2sin(2x-3)，利用三角函数的图象与性质，即可求解.（）由 x0,2，所以 ，求得，即可求得答案.【详解】（）由题意，化简得 f(x)=2cosxsinx-3(2cos2x-1) =sin2x-3cos2x =2s

9、in(2x-3). 所以 函数f(x)的最小正周期T=22=. 函数y=sinx的单调递增区间为-2+2k,2+2k(kZ). 由 -2+2k2x-32+2k(kZ)得-12+kx512+k（kZ）.所以 函数f(x)的单调递增区间为. （）因为 x0,2，所以 . 所以 -32sin(2x-3)1.所以 .所以 函数f(x)在区间0,2上的取值范围是-3,2.【点睛】本题主要考查了三角函数图象与性质，其中解答中根据三角恒等变换的公式化简函数的解析式，合理应用三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.16.在ABC中，点D是边上一点，AD=2 ,AC=7 ,ADC

10、=60. （）求的值； （）若ABD的面积为32，求sinBAC的值.【答案】（）277； （）437.【解析】【分析】（）在ADC中，由正弦定理，求得sinC=ADsinADCAC=217，再由三角函数的基本关系式，即可求解；（）因为 ABD的面积为32，求得BD=1，再在ADB中，由余弦定理，解得AB=7，得到 ABC为等腰三角形，利用倍角公式，即可求解.【详解】（）因为 AD=2 ,AC=7 ,ADC=60，所以 在ADC中，由得：sinC=ADsinADCAC=217.因为 ADPD，ADPA，QDPD，PQD90.所以 PAAQ.在菱形ABCD中，DAB=60，所以 ABD是等边三角

11、形.所以 Q为的中点.所以 AQ=QD.所以 PAPD.所以 PAD不可能为等腰三角形. 【点睛】本题考查线面位置关系的判定与证明、及应用，其中解答中熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、几何特征是解答的关键，其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直18.已知非常数函数f(x)的定义域为，如果存在正数，使得xR，都有f(x+T)=Tf(x)恒成立，则称函数f(x)具有性质T.（）判断下列函数是否具有性质T ？并说明理由; f1(x)=2x1；f2(x

12、)=cos(2x+1).（）若函数f(x)=sin(x+)(0)具有性质T，求的最小值;（）设函数g(x)具有性质T，且存在M0，使得xR，都有g(x)0)具有性质T，转化为存在正数T，使得xR，都有恒成立.利用三角函数的图象与性质，即可求解.（）由题意得出存在正数T，使得xR，g(x+T)=Tg(x)恒成立，即 g(x+2T)=g(x+T+T)=Tg(x+T)=T2g(x)，以此类推可得g(x+nT)=Tng(x),(n=1,2,3,). 利用函数的性质，即可求解.【详解】（）函数f1(x)不具有性质T，函数f2(x)具有性质T.理由如下：假设函数f1(x)具有性质T，即存在正数T，使得2(

13、x+T)-1=T(2x-1)恒成立.则 (2T-2)x=3T-1对xR恒成立.所以2T-2=0,3T-1=0. 此方程组无解，与存在正数矛盾.所以 函数f1(x)不具有性质T. 取T=10，则，即f2(x+T)=Tf2(x)对xR恒成立.所以 函数f2(x)具有性质T. （）因为函数f(x)=sin(x+)(0)具有性质T， 所以存在正数，使得xR，都有恒成立.令t=x+，则sin(t+T)=Tsint对tR恒成立.若T1，取t=2，则sin(2+T)=T1，矛盾； 若0T1，矛盾； 所以 T=1则 当且仅当=2k,kZ时，sin(t+)=sint对tR恒成立.因为 0， 所以 2.所以 当=

14、2时，函数f(x)=sin(2x+)具有性质T.所以 的最小值是.（）因为 函数g(x)具有性质T，所以 存在正数，使得xR，g(x+T)=Tg(x)恒成立.所以 g(x+2T)=g(x+T+T)=Tg(x+T)=T2g(x)，以此类推可得. 用代替x+nT，可得g(t-nT)=1Tng(t),(n=1,2,3,)因为 g(x)不是常数函数，所以 存在x0，使得g(x0)0.若T1，则g(x0+nT)=Tng(x0),(n=1,2,3,). 所以 g(x0+nT)=Tng(x0),(n=1,2,3,).因为 存在M0，使得xR，都有g(x)M，矛盾. 若0TM，矛盾. 所以 T=1.所以对xR

15、，g(x+1)=g(x).所以g(x)是周期为1的函数.【点睛】本题主要考查了函数的周期性和函数基本性质的综合应用，其中解答中正确理解题意，合理利用函数的周期性的定义和函数的基本性质，灵活化简、运算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于难题. 19.设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点处的离散曲率为，其中Qi（i=1,2,k，k3）为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面Q1PQ2,平面Q2PQ3,平面Qk1PQk和平面QkPQ1遍历多面体M的所有以P为公共点的面.（）任取正四面体的一个顶点，该点处的离散曲率为_； （）如图所示，已知长方体A1B1C1D

16、1ABCD，AB=BC=1，AA1=22，点P为底面A1B1C1D1内的一个动点，则四棱锥PABCD在点P处的离散曲率的最小值为_；（）图中为对某个女孩面部识别过程中的三角剖分结果，所谓三角剖分，就是先在面部取若干采样点，后用短小的直线段连接相邻三个采样点形成三角形网格.区域和区域中点的离散曲率的平均值更大的_.（填写“区域”或“区域”）【答案】 (1). 12 (2). 13 (3). 区域.【解析】【分析】（）根据正四面体的结构特征和曲率的计算公式，即可求解；（）根据曲率的计算公式，得出即点P为正方形A1B1C1D1的中心时，曲率取得最大值，即可求解；（）由（）（）可得，根据女孩面部的特征，即可作差判定.【详解】（）由题意，可知正四面体的所有面都是正三角形，所以取正四面体的一个顶点，该点处的离散曲率为112(3+3+