结构力学第12章.ppt

1、主要内容,1 杆件的应变能及应变余能计算 2 结构势能定义及势能原理 3 结构余能定义及余能原理,能量的概念大家早已了解，在第六章分析静定结构的位移计算中，曾介绍了虚功方程的两种应用：虚设单位力求位移和虚设单位位移求未知力。在本章中将介绍基于能量原理基础上的解题方法初步。,12.1 杆件的应变能及应变余能计算,12.1 应变能密度和应变余能密度,应变能密度定义 : 单位体积内的应变能,12.1.1 应变能密度,例如简单拉伸杆件，取出dx微段，其拉伸曲线如图(a)所示,应变能U为,(12-1),根据应变能密度的定义，则应变能密度为,即应力 应变曲线中OAB所围的面积。,12.1.2 应变余能密度

2、,应变余能密度定义 : 单位体积内的应变余能。,仍以简单拉伸杆件为例，应变余能为,(12-3),根据应变余能密度的定义，则应变余能密度u*N为,即应力 应变曲线中OAC所围的面积。,对于线弹性材料，=E.有，则,(12-5),12. 1. 3 杆件的应变能和应变余能,象纯拉伸一样，当杆件处于纯剪切和纯弯曲时，其应变能密度分别为,定义：单位杆长上的应变能为杆件的应变能密度，用u1表示。,则当杆件同时承受拉伸、剪切和弯曲时，其杆件的应变能密度为,对于线弹性材料，有FN=EA. ， FQ=GA. /k（k为截面形状系数），M=EI . 。则,(12-7),设：杆截面形心的轴向位移为u，横向位移为v，

3、截面的转角为。则几何方程为,(12-9),将上式代入（12-7）式得,(12-10),一根杆的应变能为,(12-11),(12-12),定义：单位杆长上的应变余能为杆件的应变余能密度，用u*1表示。,当杆件同时承受拉伸、剪切和弯曲时，其杆件的应变余能密度为,(12-13),对于线弹性材料，用类似的方法，可以得,(12-14),一根杆的应变余能为,(12-15),12.2 势能原理,上式中，U为杆件结构的应变能，对于刚架而言，通常仅考虑弯曲应变能，则,12.2.1 势能的定义,杆件结构的势能Ep定义为,(12-16),(12-17),上式中e为结构中杆件的排序号。 E*p为结构的荷载势能，通常以

4、结构未变形前的荷载位置为起始位置，则,(12-18),上式中p为荷载的序号，为Fp方向上的位移。,12.2.2 势能驻值原理,势能驻值原理：在所有几何可能的位移状态中，真实的位移应使结构势能为驻值。,这一能量原理说明，如果位移满足全部的变形协调条件，而且还能使势能为驻值，则与此位移相应的内力必然满足全部的静力平衡条件。即说明势能驻值条件与平衡条件是等价的。,可以证明，在小变形、线弹性的稳定平衡问题中，满足几何方程、物理方程和静力平衡方程的解是唯一的。此时真实的位移不仅使势能取得极值，而且该极值为极小值。这就是最小势能原理。,12.2.3 势能驻值原理应用,(1) 利用势能驻值原理推导位移法典型

5、方程,设：位移法的基本未知量向量为Z =Z1 Z2 ZnT,在位移法基本结构中，各杆任一截面的位移方程可表示为,上式中， 为基本结构由于Zi=1时引起的各杆任一截面的位移方程。vp为基本结构在荷载作用下任一截面的位移方程。,与广义荷载Fp相应的广义位移也可表示为,上式中， 为基本结构由于Zi=1时引起的与广义荷载相应的广义位移。p为基本结构在荷载作用下引起的与广义荷载相应的广义位移。,则结构的势能为,根据势能驻值条件得,即,或,因为， 为Zi=1时的基本结构的内力（弯矩）， 为Zj=1时的基本结构的曲率，jdx=dj。则 为基本结构Zi=1时的内力（弯矩）在Zj=1时的变形（曲率）上所做的内力

6、虚功（虚应变能）。而当Zi=1时基本结构的外力（k1i、 k2i kni ）在Zj=1时的位移上所做的外力虚功为W ij=kij1=kij。,根据虚功方程U ij =W ij得,或,又因为 为单独在荷载作用下的基本结构的曲率,pdx=dp。,代表了当Zi=1时基本结构的内力（弯矩）在单独在荷载作用下基本结构的变形上所做的内力虚功。,而当Zi=1时基本结构的外力（k1i、 k2i kni ）在单独在荷载作用下基本结构的变形上所做的外力虚功为0。所以根据虚功方程得,Zi=1时，基本结构的外力在基本结构单独在荷载作用下的变形上所做得的虚功为0，而基本结构单独在荷载作用下的外力在Zi=1时的基本结构的

7、变形上所做的虚功为,或,根据功的互等定理有,即,由上述讨论可得,这就是杆系结构的位移法典型方程。,作业：,(2) 利用势能驻值原理推导单元刚度方程,如图所示任意平面杆单元,单元内部任一点的位移表达式可以表示为,式中,N称为形函数矩阵，其中的任一元素为已知的形函数；,为单元杆端位移列向量。,单元的杆端力列向量。,(2.1) 形函数为多项式时的表达式 轴力单元,轴力单元e有两个杆端位移，如图所示。于是单元的位移函数可表示为,假定位移沿杆轴线性变化，即,由边界条件：,比较(c)、(d)两式可知, 弯曲单元 弯曲单元e有四个杆端位移，如图所示。 于是单元的位移函数可表示为,此时形函数可假定为,由杆端边

8、界条件：,可以确定a0、 a1、a2和a3，将其代回(f)式整理得,比较(g)、(h)两式可知,到此，6个形函数已全部确定。, 刚度方程和刚度矩阵 当平面直杆单元同时承受弯矩和轴力作用时，由于线性变形体系忽略弯曲和轴向变形的相互影响，所以，单元的势能为,将(c)(g)式代入上式，并组合写成矩阵的形式得,称为局部坐标中的单元刚度矩阵， 为对称矩阵，其任意元素 由下式计算,将形函数Ni(x)代入上式积分可得各刚度系数，则,这就是平面一般单元的单元刚度矩阵。,单元的总势能Ep定义为,根据势能驻值条件得,这就是平面杆单元的刚度方程。,势能驻值原理应用 (3) 瑞利里兹法 (Rayleigh-Ritz

9、Method),建立在能量原理基础之上的解题方法是一种精确方法，但在精确解难以求得或不能求得的许多实际工程问题中，能量原理又能为我们提供一种求近似解的有效途径。瑞利里兹法就是其中之一。 在介绍瑞利里兹法之前，先介绍两个基本概念：,静力可能内力 对于变形体而言，如果它的内力与外力满足全部的静力平衡条件，即满足杆件的平衡微分方程，而且在边界上和结点处满足力的平衡条件，则此种内力称为静力可能内力。 对于静定结构而言，静力可能的内力是唯一的，而对于超静定结构而言，静力可能的内力不是唯一的。,几何可能位移 如果变形体的应变、与位移u、v、满足几何方程，而且在结点处满足位移连接条件，在边界上能与约束几何相

10、容。则此种位移称为几何可能位移。 在变形体上，这种几何可能位移有无穷组，但只有同时能满足静力平衡条件的那一组才是真实的解答。 结构的总势能是一个泛函，对于稳定的平衡问题而言，按位移法求解时，就归结为求泛函的极值问题。瑞利里兹法就是建立在泛函求极值基础之上的一种求近似解的方法。下面举例说明。,例1 用瑞利里兹法求图示简支梁的挠度和弯矩。,该题材料力学已有精确解，在梁中点挠度,中点弯矩,解：取该简支梁的挠曲线（即几何可能位移）为,这个函数不仅满足简支梁的两端的位移边界条件，而且满足两端力的边界条件：,(1)仅取级数的首项，则,由势能驻值条件 得,即,则,，比精确解少1.44%，,，比精确解少19%

11、。,(2)若取级数的前两项 ，则,上式中没有取 项，是因为在Fp的作用下，内力和变形都是对称的，而此项在中点处v=0，变形是反对称的。,由势能驻值条件 得,解之得,则,，比精确解少0.24%,，比精确解少10%,弯矩的误差仍较大，但位移和弯矩的精度均有所提高，随着级数项数增加，位移和弯矩都将趋于精确解。,12.3 余能原理,12.3.1 余能的定义 ：杆件结构的余能EC 定义为,(12-19),上式中，U*为杆件结构的应变余能，对于线弹性材料而言，杆件结构的应变余能为,(12-20),E*C为结构的支座位移余能，或称给定边界位移余能，即与支座位移c 相应支座反力R所做的虚功总和的负值。,(12

12、-21),12.3.2 余能驻值原理,12.3.2 余能驻值原理 超静定结构的余能驻值原理可表述如下：在所有静力可能内力中，真实的内力应使结构的余能为驻值。 该原理说明，如果内力满足全部的静力平衡条件，而且还能使结构的余能为驻值，则与此内力相应的变形必然满足变形协调条件，即余能驻值条件与变形协调条件是等价的。 可以证明：超静定结构中，在同时满足静力平衡方程、几何方程和物理方程的解具有唯一性的情况下，结构的真实内力不仅使余能为驻值，而且该驻值一定为极小值。这就是最小余能原理。,12.3.3 余能驻值原理应用,(1) 利用余能驻值原理推导力法典型方程,设力法基本未知量向量为X=X1 X2 XnT ，在力法基本结构中，各杆任一截面的内力可表示为,支座反力可表示为,(b),(a),上述各式中 、 、 和 分别为力法基本结构在Xi=1时，所产生的任一截面的内力和反力；FNp、 FQp 、 Mp 和Rp 分别为力法基本结构单独在荷载作用时的任一截面的内力和反力。则,(c),根据余能驻值条件 得,(d),展开得,所以(e)式可以写成,这就是力法的典型方程。,因为,(2) 利用余能驻值原理直接解超静定问题,例2 利用余能驻值原理作图示结构