中考数学专题 几何三大变换之对称探讨

1、【20132013 年中考攻略】专题年中考攻略】专题 9 9：几何三大变换之轴对称探讨：几何三大变换之轴对称探讨 轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换。由一个平面图形变为另一个平面图形，并使这两个 图形关于某一条直线成轴对称， 这样的图形改变叫做图形的轴对称变换。 轴对称具有这样的重要性质： （1）成轴对称的两个图形全等； （2）如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。 在初中数学以及日常生活中有着大量的轴对称和轴对称变换的知识，是中考数学的必考内容。 结合 2012 年全国各地中考的实例，我们从下面九方面探讨轴对称和轴对称变换： （1）轴对称和轴对 称图形的识别和构造；

2、（2）线段、角的轴对称性； （3）等腰（边）三角形的轴对称性； （4）矩形、菱形、 正方形的轴对称性； （5）等腰梯形的轴对称性； （6）圆的轴对称性； （7）折叠的轴对称性； （8）利用轴对 称性求最值； （9）平面解析几何中图形的轴对称性。 一、轴对称和轴对称图形的识别和构造：一、轴对称和轴对称图形的识别和构造： 例例 8.8. （20122012 福建宁德福建宁德 4 4 分）分）将一张正方形纸片按图、图所示的方式依次对折后，再沿图中的虚线 裁剪，最后将图中的纸片打开铺平，所得到的图案是【】 A 【答案】【答案】B。 B C D 【考点】【考点】剪纸问题 【分析】【分析】根据题中所给剪纸

3、方法，进行动手操作，答案就会很直观地呈现，展开得到的图形如选项B 中所 示。故选 B。 例例 9.9. （20122012 福建龙岩福建龙岩 1212 分）分）如图 1，过ABC 的顶点 A 作高 AD，将点 A 折叠到点 D（如图 2） ，这时 EF 为折痕，且BED 和CFD 都是等腰三角形，再将BED和CFD 沿它们各自的对称轴 EH、FG 折叠，使 B、 C 两点都与点 D 重合，得到一个矩形 EFGH（如图 3） ，我们称矩形 EFGH 为ABC 的边 BC 上的折合矩形 （1）若ABC 的面积为 6，则折合矩形 EFGH 的面积为； （2）如图 4，已知ABC，在图 4 中画出AB

4、C 的边 BC 上的折合矩形 EFGH； （3）如果ABC 的边 BC 上的折合矩形 EFGH 是正方形，且 BC=2a，那么，BC 边上的高 AD=， 正方形 EFGH 的对角线长为 【答案】【答案】解： （1）3。 （2）作出的折合矩形 EFGH： （3）2a ；2a。 【考点】【考点】新定义，折叠问题，矩形和正方形的性质，勾股定理。 【分析】【分析】 （1）由折叠对称的性质，知折合矩形 EFGH 的面积为ABC 的面积的一半， （2）按题意，作出图形即可。 （3）由如果ABC 的边 BC 上的折合矩形 EFGH 是正方形，且 BC=2a，那么，正方形边长为 a，BC 边上的高 AD 为

5、EFGH 边长的两倍 2a。 根据勾股定理可得正方形EFGH 的对角线长为2a。 8.8. （20122012 广东广州广东广州 1212 分）分）如图，P的圆心为 P（3，2） ，半径为3，直线MN 过点 M（5，0）且平行于y 轴，点 N 在点 M 的上方 （1）在图中作出P 关于 y 轴对称的P根据作图直接写出P与直线MN 的位置关系 （2）若点 N 在（1）中的P上，求 PN 的长 二、线段、角的轴对称性：二、线段、角的轴对称性： 典型例题：典型例题： 例例 3.3.（20122012 广东梅州广东梅州 3 3 分）分）如图，AOE=BOE=15，EFOB，ECOB，若EC=1，则 E

6、F= 【答案】【答案】2。 【考点】【考点】角平分线的性质，平行的性质，三角形外角性质，含30 度角的直 角三角形的性质。 【分析】【分析】作 EGOA 于 F， EFOB，OEF=COE=15， AOE=15，EFG=15+15=30。 EG=CE=1，EF=21=2。 三、等腰（边）三角形的轴对称性： 例例 3. 3. （20122012 湖北荆门湖北荆门 3 3 分）分）如图，ABC 是等边三角形， P 是ABC 的平分线 BD 上一点，PEAB 于点 E，线段 BP 的垂直平分线交 BC 于点 F，垂足为点 Q若 BF=2，则 PE 的长为【】 A 2 B 2 【答案】【答案】C。 【

7、考点】【考点】等边三角形的性质，角平分线的定义，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，线段垂直平分线的 性质。 【分析】【分析】ABC 是等边三角形，点 P 是ABC 的平分线，EBP=QBF=30， BF=2，FQBP，BQ=BFcos30=2 C D 3 3 = 3。 2 FQ 是 BP 的垂直平分线，BP=2BQ=23。 在 RtBEF 中， EBP=30 ， PE= 1 BP=3。故选 C。 2 例例 1.1. （20122012 黑龙江牡丹江黑龙江牡丹江 6 6 分）分）已知一个等腰三角形的腰长为 5，底边长为 8，将该三角形沿底边上的 高剪成两个三角形，用这个两个三角形能拼成几种平行四

8、边形？请画出所拼的平行四边形，直接写出它们 的对角线的长，并画出体现解法的辅助线 【答案】【答案】解：能拼成 3 种平行四边形，如图： 图 1 中，对角线的长为 5； 图 2 中，对角线的长为 3 和73； 图 3 中，对角线的长为 4 和2 13 【考点】【考点】拼图，等腰三角形的的性质，平行四边形、矩形的判定和性质，勾股定理。 【分析】【分析】根据平行四边形的性质拼图。图 1 中，拼成的平行四边形是矩形，对角线的长为5；图 2 中，一 条对角线的长为 3，另一条对角线的长为32+82= 73；图 2 中，一条对角线的长为 3，另一条对角线的 长为42+62= 52=2 13。 四、矩形、菱

9、形、正方形等腰梯形的轴对称性：四、矩形、菱形、正方形等腰梯形的轴对称性： 典型例题：典型例题： 例例 3.3. （20122012 山西省山西省 2 2 分）分）如图，已知菱形 ABCD 的对角线 ACBD 的长分别为 6cm、8cm，AEBC 于点 E， 则 AE 的长是【】 A5 3cm B2 5cm 【答案】【答案】D。 【考点】【考点】菱形的性质，勾股定理。 【分析】【分析】四边形 ABCD 是菱形，CO= C 4824 cm Dcm 55 11 AC=3，BO=BD=，AOBO， 22 11 BC= CO2+BO232+425。S菱形ABCDBDAC68 24。 22 24 又S菱形

10、ABCD BCAE，BCAE=24，即AE cm。故选 D。 5 例例 5.5. （20122012 湖北恩施湖北恩施 3 3 分）分）如图，菱形ABCD 和菱形 ECGF 的边长分别为 2 和 3，A=120，则图中阴影 部分的面积是【】 A3 B2 C3 D2 【答案】【答案】A。 【考点】【考点】菱形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。 【分析】【分析】如图，设 BF、CE 相交于点M， 菱形 ABCD 和菱形 ECGF 的边长分别为 2 和 3， BCMBGF， CMBCCM2 ，即。 GFBG32+3 解得 CM=1.2。DM=21.2=0.8。 A

11、=120，ABC=180120=60。 菱形 ABCD 边 CD 上的高为 2sin60=2 3 3， 2 33 3 菱形 ECGF 边 CE 上的高为 3sin60=3。 22 阴影部分面积=SBDM+SDFM= 3 311 0.83+0.83。故选 A。 222 例例 7.7. （20122012 上海市上海市 1212 分）分）己知：如图，在菱形 ABCD 中，点 E、F 分别在边 BC、CD，BAF=DAE，AE 与 BD 交于点 G （1）求证：BE=DF； （2）当 DFAD 时，求证：四边形 BEFG 是平行四边形 FCDF 【答案】【答案】证明： （1）四边形 ABCD 是菱形

12、，AB=AD，ABC=ADF， BAF=DAE，BAFEAF=DAEEAF，即：BAE=DAF。 BAEDAF（ASA） 。BE=DF。 （2）四边形 ABCD 是菱形，ADBC。ADGEBG。 又BE=DF ， ADDG 。 BEBG DFADDFADDG ，。GFBC。 FCDFFCBEBG DGF=DBC=BDC。DF=GF。 又BE=DF ，BE=GF。四边形BEFG 是平行四边形。 【考点】【考点】菱形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形 的判定，平行四边形的判定。 【分析】【分析】 （1）由菱形的性质和BAF=DAE，证得ABF与AFD

13、全等后即可证得结论。 （2）由 ADBC 证得ADGEBG，从而 DFADADDG ；由和 BE=DF 即可得证得 FCDFBEBG DFADDG 。从而根据平行线分线段成比例定理证得FGBC，进而得到DGF=DBC=BDC，根据等 FCBEBG 腰三角形等角对等边的判定和BE=DF ，证得 BE=GF。利用一组对边平行且相等即可判定平行四边形。 例例 10.10.（20122012 贵州贵阳贵州贵阳 1010 分）分）如图，在正方形ABCD 中，等边三角形AEF 的顶点 E、F 分别在 BC 和 CD 上 （1）求证：CE=CF； （2）若等边三角形 AEF 的边长为 2，求正方形 ABCD

14、 的周长 五、等腰梯形的轴对称性：五、等腰梯形的轴对称性： 典型例题：典型例题： 例例 1.1. （20122012 广东广州广东广州 3 3 分）分）如图，在等腰梯形ABCD 中，BCAD，AD=5，DC=4，DEAB 交 BC 于点 E，且 EC=3，则梯形 ABCD 的周长是【】 A26B25C21D20 【答案】【答案】C。 【考点】【考点】等腰梯形的性质，平行四边形的判定和性质。 【分析】【分析】BCAD，DEAB，四边形ABED 是平行四边形。BE=AD=5。 EC=3，BC=BE+EC=8。 四边形 ABCD 是等腰梯形，AB=DC=4。 梯形 ABCD 的周长为：AB+BC+C

15、D+AD=4+8+4+5=21。故选 C。 例例 2.2. （20122012 福建漳州福建漳州 4 4 分）分） 如图， 在等腰梯形 ABCD 中， ADBC， AB=DC， B=80 ， 则D 的度数是 【】 o A120 B110 C100 【答案】【答案】C。 【考点】【考点】等腰梯形的性质，平行的性质。 【分析】【分析】ADBC，B=80，A=180B=18080=100。 四边形 ABCD 是等腰梯形，D=A=100。故选C。 例例 4.4. （20122012 山东烟台山东烟台 3 3 分）分）如图，在平面直角坐标中，等腰梯形ABCD 的下底在 x 轴上，且 B 点坐标为 （4，

16、0） ，D 点坐标为（0，3） ，则 AC 长为【】 ooo D80o A4B5C6D不能确定 【答案】【答案】B。 【考点】【考点】等腰梯形的性质，坐标与图形性质，勾股定理。 【分析】【分析】如图，连接 BD， 由题意得，OB=4，OD=3，根据勾股定理，得BD=5。 又ABCD 是等腰梯形，AC=BD=5。故选B。 六、圆的轴对称性：六、圆的轴对称性： 典型例题：典型例题： 例例 1.1.（20122012 陕西省陕西省 3 3 分）分） 如图， 在半径为 5 的圆 O 中， AB， CD 是互相垂直的两条弦， 垂足为 P， 且 AB=CD=8， 则 OP 的长为【】 A3B4 C3 2D

17、4 2 0 例例 3.3. （20122012 四川内江四川内江 3 3 分）分）如图，AB 是O 的直径，弦 CDA，CDB=30 ，CD=2 3，则阴影部分图形 的面积为【】 A.4 B.2 C. D. 【答案】【答案】D。 2 3 【考点】【考点】垂径定理，圆周角定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，扇形面积公式。 【分析】【分析】连接 OD。 CDAB，CD=2 3，CE=DE=CD 3（垂径定理） 。 SOCESCDE。阴影部分的面积等于扇形OBD 的面积。 又CDB=30，COB=BOD，BOD=60（圆周角定理） 。 OC=2。 S扇形OBD 1 2 602222 ，即阴影

18、部分的面积为。故选 D。 36033 例例 5.5. （20122012 浙江衢州浙江衢州 4 4 分）分）工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得 钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB 的长度为mm 【答案】【答案】8。 【考点】【考点】垂径定理的应用，勾股定理。 【分析】【分析】连接 OA，过点 O 作 ODAB 于点 D，则 AB=2AD， 钢珠的直径是 10mm，钢珠的半径是 5mm。 钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，OD=3mm。 在 RtAOD 中，ADOA2OD25232 4mm， AB=2AD=24=8mm。 例例

19、6.6. （20122012 山东东营山东东营 4 4 分）分）某施工工地安放了一个圆柱形饮水桶的木制支架（如图1） ，若不计木条的厚 度，其俯视图如图 2 所示，已知 AD 垂直平分 BC，AD=BC=48cm，则圆柱形饮水桶的底面半径的最大值 是cm 【答案】【答案】30。 【考点】【考点】垂径定理的应用，勾股定理。 【分析】【分析】当圆柱形饮水桶的底面半径最大时，圆外接于ABC；连接外心与 B 点，可通过勾股定理即可求 出圆的半径： 如图，连接 OB， 当O 为ABC 的外接圆时圆柱形饮水桶的底面半径的最大。 AD 垂直平分 BC，AD=BC=48cm，O 点在 AD 上，BD=24cm

20、。 在 Rt0BD 中，设半径为 r，则 OB=r，OD=48r。 r =（48r） 24 ，解得 r=30。 圆柱形饮水桶的底面半径的最大值为30cm。 例例 8.8. （20122012 江苏南通江苏南通 8 8 分）分）如图，O 的半径为 17cm，弦 ABCD，AB30cm，CD16cm，圆心 O 位于 AB、CD 的上方，求 AB 和 CD 间的距离 222 【答案】【答案】解：分别作弦 AB、CD 的弦心距，设垂足为E、F，连接 OA，OC。 AB=30，CD=16，AE= 11 AB=15，CF=CD=8。 22 又O 的半径为 17，即 OA=OC=17。 在 RtAOE 中，

21、OE OA2AE2 1721528。 在 RtOCF 中，OFOC2CF2 1728215。 EF=OFOE=158=7。 答：AB 和 CD 的距离为 7cm。 【考点】【考点】垂径定理，勾股定理。 【分析】【分析】分别作弦 AB、CD 的弦心距，设垂足为 E、F；由于 ABCD，则 E、O、F 三点共线，EF 即为 AB、 CD 间的距离；由垂径定理，易求得 AE、CF 的长，可连接 OA、ODC 在构建的直角三角形中，根据勾股定理 即可求出 OE、OF 的长，也就求出了 EF 的长，即弦 AB、CD 间的距离。 AC ，弦 AB 与弦 AC 交于点 A，弦 CD 与 AB 交于例例 9.

22、9. （20122012 湖南岳阳湖南岳阳 6 6 分）分）如图所示，在O 中，AD 点 F，连接 BC （1）求证：AC =ABAF； （2）若O 的半径长为 2cm，B=60，求图中阴影部分面积 2 AC ，ACD=ABC。【答案】【答案】 （1）证明：AD 又BAC=CAF，ACFABC。 ACAF 2 ，即 AC =ABAF。= ABAC （2）解：如图，连接 OA，OC，过 O 作 OEAC，垂足为点E， ABC=60，AOC=120。 又OA=OC，AOE=COE= 1 120=60。 2 在 RtAOE 中，OA=2， OE=OAcos60=1 AE=OA2OE2 =3。AC=2

23、AE=23。 S 阴影 S扇形OACSAOC 1202214 2 313 cm2。 36023 【考点】【考点】圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理， 锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，扇形面积的计算。 AC ，利用等弧所对的圆周角相等得到一对角相等，再由一对公共角相等，利用两对【分析】【分析】 （1）由AD 对应角相等的两三角形相似可得出ACFABC，根据相似得比例可得证。 （2）连接 OA，OC，过 O 作 OE 垂直于 AC，垂足为点 E，由扇形 AOC 的面积AOC 的面积表示出阴 影部分的面积，利用等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三

24、角函数定义求出各线段长即可。 七、折叠的轴对称性：七、折叠的轴对称性： 典型例题：典型例题： 例例 1.1. （20122012 广东梅州广东梅州 3 3 分）分）如图，在折纸活动中，小明制作了一张ABC纸片，点 D、E 分别是边 AB、 AC 上，将ABC 沿着 DE 折叠压平，A 与 A重合，若A=75，则1+2=【】 A150B210C105D75 【答案】【答案】A。 【考点】【考点】翻折变换（折叠问题），三角形内角和定理。 【分析】【分析】ADE 是ABC 翻折变换而成，AED=AED，ADE=ADE，A=A=75。 AED+ADE=AED+ADE=18075=105，1+2=360

25、2105=150。 故选 A。 例例 2.2. （20122012 江苏南京江苏南京 2 2 分）分）如图，菱形纸片ABCD 中，A=60，将纸片折叠，点A、D 分别落在 A、D 处，且 AD经过 B，EF 为折痕，当 DFCD 时， 0 CF 的值为【】 FD A. 3 1 2 B. 3 6 C. 2 3 1 6 D. 3 1 8 【答案】【答案】A。 【考点】【考点】翻折变换（折叠问题），菱形的性质，平行的性质，折叠的性质，锐角三角函数定义，特殊角的 三角函数值。 【分析】【分析】延长 DC 与 AD，交于点 M， 在菱形纸片 ABCD 中，A=60， DCB=A=60，ABCD。 D=1

26、80-A=120。 根据折叠的性质，可得 ADF=D=120， FDM=180-ADF=60。 DFCD，DFM=90，M=90-FDM=30。 BCM=180-BCD=120，CBM=180-BCM-M=30。CBM=M。 BC=CM。 设 CF=x，DF=DF=y， 则 BC=CM=CD=CF+DF=x+y。FM=CM+CF=2x+y， 在 RtDFM 中，tanM=tan30= DFy33-1 ，x y。 FM2x y32 CFx3-1 。故选 A。 FDy2 ，将正方形ABCD 沿直线 EF 折叠，例例 3.3. （20122012 湖北荆门湖北荆门 3 3 分）分）如图，已知正方形A

27、BCD 的对角线长为 2 则图中阴影部分的周长为【】 A 8 B 4C 8 D 6 【答案】【答案】C。 【考点】【考点】翻折变换（折叠问题） ，折叠的对称性质，正方形的性质，勾股定理。 【分析】【分析】如图，正方形 ABCD 的对角线长为 22， 即 BD=22，A=90，AB=AD，ABD=45， AB=BDcosABD=BDcos45=22 AB=BC=CD=AD=2。 由折叠的性质：AM=AM，DN=DN，AD=AD， 图中阴影部分的周长为 2 =2。 2 AM+BM+BC+CN+DN+AD=AM+BM+BC+CN+DN+AD=AB+BC+CD+AD=2+2+2+2=8。 故选 C。

28、例例 4.4.（20122012 山东泰安山东泰安 3 3 分）分）如图，将矩形纸片 ABCD 沿 EF 折叠，使点 B 与 CD 的中点重合，若 AB=2，BC=3， 则FCB与BDG 的面积之比为【】 A9：4B3：2C4：3D16：9 【答案】【答案】D。 【考点】【考点】翻折变换（折叠问题） ，折叠对称的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质。 【分析】【分析】设 BF=x，则由 BC=3 得：CF=3x，由折叠对称的性质得：BF=x。 点 B为 CD 的中点，AB=DC=2，BC=1。 在 RtBCF 中，BF =BC +CF ，即x 1(3x)，解得：x 222 22 554 ，即

29、可得 CF=3。 333 DBG=DGB=90，DBG+CBF=90，DGB=CBF。 RtDBGRtCFB。 S4 2 16 FC 根据面积比等于相似比的平方可得： PCB ( ) 。故选 D。 S BDG BD 39 例例 5.5.（20122012 青海西宁青海西宁 3 3 分）分）折纸是一种传统的手工艺术，也是每一个人从小就经历的事，它是一种培养 手 指灵活性、协调能力的游戏，更是培养智力的一种手段在折纸中，蕴涵许多数学知识，我们还可以通过 折纸验证数学猜想把一张直角三角形纸片按照图的过程折叠后展开，请选择所得到的数学结论 【】 2 A角的平分线上的点到角的两边的距离相等 B在直角三角

30、形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半 C直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 D如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 【答案】【答案】C。 【考点】【考点】翻折变换（折叠问题） 。 【分析】【分析】如图，CDE 由ADE 翻折而成，AD=CD。 如图，DCF 由DBF 翻折而成，BD=CD。 AD=BD=CD，点 D 是 AB 的中点。CD= 故选 C。 例例 6.6.（20122012 黑龙江绥化黑龙江绥化 3 3 分）分）长为 20，宽为a 的矩形纸片（10a20），如图那样折一下，剪下一个边 长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再

31、把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时 矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去，若在第n 次操作后，剩下的矩形为正方形， 则操作停止当 n=3 时，a 的值为 . 1 AB，即直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 2 例例 7.7. （20122012 海南省海南省 1111 分）分）如图（1） ，在矩形 ABCD 中，把B、D 分别翻折，使点 B、D 分别落在对 角线 BC 上的点 E、F 处，折痕分别为 CM、AN. （1）求证：ANDCBM. （2）请连接 MF、NE，证明四边形 MFNE 是平行四边形，四边形MFNE 是菱形吗？请说明理由？ （3）P、Q 是矩

32、形的边 CD、AB 上的两点，连结 PQ、CQ、MN，如图（2）所示，若 PQ=CQ，PQMN。且 AB=4， BC=3，求 PC 的长度. 【答案】【答案】 （1）证明：四边形 ABCD 是矩形，D=B，AD=BC，ADBC。 DAC=BCA。 又由翻折的性质，得DAN=NAF，ECM=BCM，DAN=BCM。 ANDCBM（ASA） 。 （2）证明：ANDCBM，DN=BM。 又由翻折的性质，得 DN=FN，BM=EM， FN=EM。 又NFA=ACDCNF=BACEMA=MEC， FNEM。四边形MFNE 是平行四边形。 四边形 MFNE 不是菱形，理由如下： 由翻折的性质，得CEM=B

33、=90， 在EMF 中，FEMEFM。 FMEM。四边形 MFNE 不是菱形。 （3）解：AB=4，BC=3，AC=5。 设 DN=x，则由 SADC=SANDSNAC得 3 x5 x=12，解得 x= 0 33 ，即 DN=BM=。 22 过点 N 作 NHAB 于 H，则 HM=43=1。 在NHM 中，NH=3，HM=1， 由勾股定理，得 NM=10。 PQMN，DCAB， 四边形 NMQP 是平行四边形。NP=MQ，PQ= NM=10。 又PQ=CQ，CQ=10。 在CBQ 中，CQ=10，CB=3，由勾股定理，得 BQ=1。 NP=MQ= 131 。PC=4=2。 222 【考点】【

34、考点】翻折问题，翻折的性质，矩形的性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判 定和性质，菱形的判定，勾股定理。 【分析】【分析】 （1）由矩形和翻折对称的性质，用ASA 即可得到ANDCBM。 （2）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定即可证明。 （3）设 DN=x，则由 SADC=SANDSNAC可得 DN=BM= 3 。过点 N 作 NHAB 于 H，则由勾股定理可得 2 NM=10，从而根据平行四边形的性质和已知PQ=CQ，即可求得 CQ=10。因此，在CBQ中，应用勾股定 理求得 BQ=1。从而求解。 例例 8.8. （20122012 广东深圳广东深圳 8

35、8 分）分）如图，将矩形 ABCD 沿直线 EF 折叠，使点 C 与点 A 重合，折痕交 AD 于点 E、 交 BC 于点 F，连接 AF、CE. (1)求证：四边形 AFCE 为菱形； (2)设 AE=a，ED=b，DC=c.请写出一个 a、b、c 三者之间的数量关系式 【答案】【答案】 （1）证明：四边形 ABCD 是矩形，ADBC，AEF=EFC。 由折叠的性质，可得：AEF=CEF，AE=CE，AF=CF，EFC=CEF。 CF=CE。AF=CF=CE=AE。四边形AFCE 为菱形。 （2）解：a、b、c 三者之间的数量关系式为：a =b +c 。理由如下： 由折叠的性质，得：CE=A

36、E。 四边形 ABCD 是矩形，D=90。 AE=a，ED=b，DC=c，CE=AE=a。 在 RtDCE 中，CE =CD +DE ，a、b、c 三者之间的数量关系式可写为：a =b +c 。 【考点】【考点】翻折变换（折叠问题），矩形的性质，折叠的性质，平等的性质，菱形的判定，勾股定理。 【分析】【分析】 （1）由矩形ABCD 与折叠的性质，易证得CEF是等腰三角形，即CE=CF，即可证得AF=CF=CE=AE， 即可得四边形 AFCE 为菱形。 （2）由折叠的性质，可得 CE=AE=a，在 RtDCE 中，利用勾股定理即可求得：a、b、c 三者之间 的数量关系式为：a =b +c 。 （

37、答案不唯一） 例例 9.9.（20122012 广东珠海广东珠海 9 9 分）分） 已知，AB 是O 的直径，点 P 在弧 AB 上（不含点 A、B） ，把AOP 沿 OP 对 折，点 A 的对应点 C 恰好落在O 上 （1）当 P、C 都在 AB 上方时（如图 1） ，判断 PO 与 BC 的位置关系（只回答结果） ； （2）当 P 在 AB 上方而 C 在 AB 下方时（如图 2） ， （1）中结论还成立吗？证明你的结论； （3）当 P、C 都在 AB 上方时（如图 3） ，过 C 点作 CD直线 AP 于 D，且 CD 是O 的切线，证明：AB=4PD 222 222222 222 【答

38、案】解： （1）PO 与 BC 的位置关系是 POBC。 （2） （1）中的结论 POBC 成立。理由为： 由折叠可知：APOCPO，APO=CPO。 又OA=OP，A=APO。A=CPO。 所对的圆周角，A=PCB。CPO=PCB。又A 与PCB 都为PB POBC。 （3）证明：CD 为圆 O 的切线，OCCD。 又ADCD，OCAD。APO=COP。 由折叠可得：AOP=COP，APO=AOP。 又OA=OP，A=APO。A=APO=AOP。APO为等边三角形。 AOP=60。 又OPBC，OBC=AOP=60。 又OC=OB，BC 为等边三角形。COB=60。 POC=180（AOP+

39、COB）=60。 又OP=OC，POC 也为等边三角形。PCO=60，PC=OP=OC。 又OCD=90，PCD=30。 1 PC， 2 11 又PC=OP=AB，PD=AB，即 AB=4PD。 24 在 RtPCD 中，PD= 八、利用轴对称性求最值：八、利用轴对称性求最值： 典型例题：典型例题： 例例 3.3.（20122012 四川攀枝花四川攀枝花 4 4 分）分）如图，正方形ABCD 中，AB=4，E 是 BC 的中点，点P 是对角线 AC 上一动点， 则 PE+PB 的最小值为 【答案】【答案】2 5。 【考点】【考点】轴对称（最短路线问题） ，正方形的性质，勾股定理。 【分析】【分

40、析】连接 DE，交 BD 于点 P，连接 BD。 点 B 与点 D 关于 AC 对称，DE 的长即为 PE+PB 的最小值。 AB=4，E 是 BC 的中点，CE=2。 在 RtCDE 中，DE= CD2+CE242+22 2 5。 例例 4.4. （20122012 四川凉山四川凉山 8 8 分）分）在学习轴对称的时候，老师让同学们思考课本中的探究题。 如图（1） ，要在燃气管道l 上修建一个泵站，分别向A、B 两镇供气泵站修在管道的什么地方， 可使所用的输气管线最短？ 你可以在 l 上找几个点试一试，能发现什么规律？你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规 律？ 聪明的小华通过独立思考，很

41、快得出了解决这个问题的正确办法他把管道 l 看成一条直线（图（2） ） ， 问题就转化为，要在直线l 上找一点 P，使 AP 与 BP 的和最小他的做法是这样的： 作点 B 关于直线 l 的对称点 B 连接 AB交直线 l 于点 P，则点 P 为所求 请你参考小华的做法解决下列问题如图在ABC中，点 D、E 分别是 AB、AC 边的中点，BC=6，BC 边上的 高为 4，请你在 BC 边上确定一点 P，使PDE 得周长最小 （1）在图中作出点 P（保留作图痕迹，不写作法） （2）请直接写出PDE周长的最小值： 【答案】【答案】解： （1）作 D 点关于 BC 的对称点 D，连接 DE，与 BC

42、 交于点 P，P 点即为所求。 （2）8 【考点】【考点】轴对称（最短路线问题），三角形三边关系，三角形中位线定理，勾股定理。 【分析】【分析】 （1）根据提供材料 DE 不变，只要求出 DP+PE 的最小值即可，作 D 点关于 BC 的对称点 D，连接 DE，与 BC 交于点 P，P 点即为所求。 （2）利用中位线性质以及勾股定理得出DE 的值，即可得出答案： 点 D、E 分别是 AB、AC 边的中点，DE 为ABC 中位线。 BC=6，BC 边上的高为 4，DE=3，DD=4。 DE DE2DD2 32425。 PDE 周长的最小值为：DE+DE=35=8。 例例 5.5. （201220

43、12 山东青岛山东青岛 3 3 分）分）如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为 18cm，在杯内离杯底 4cm 的点 C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点 A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最 短距离为cm 【答案】【答案】15。 【考点】【考点】圆柱的展开，矩形的性质，轴对称的性质，三角形三边关系，勾股定理。 【分析】【分析】如图，圆柱形玻璃杯展开（沿点A 竖直剖开）后侧面是一个长18 宽 12 的矩形，作点A 关于杯上 沿 MN 的对称点 B，连接 BC 交 MN 于点 P，连接 BM，过点 C 作 AB 的垂线交剖开线 MA 于点 D。 由轴对称的性质和三

44、角形三边关系知APPC 为蚂 蚁到达蜂蜜的最短距离，且AP=BP。 由已知和矩形的性质，得DC=9，BD=12。 在 RtBCD 中，由勾股定理得 BCDC2BD29212215。 APPC=BPPC=BC=15，即蚂蚁到达蜂蜜的最短 距离为 15cm。 九、解析几何中图形的轴对称性：九、解析几何中图形的轴对称性： 典型例题：典型例题： 例例 1.1. （20122012 广东深圳广东深圳 3 3 分）分）已知点 P(al，2a 3)关于 x 轴的对称点在第一象限，则a 的取值范围是 【】 A.a 1 B.1 a 333 C.a 1 D.a 222 例例 2.2. （20122012 江苏南通

45、江苏南通 3 3 分）分）线段 MN 在直角坐标系中的位置如图所示，线段M1N1与 MN 关于 y 轴对称， 则点 M 的对应的点 M1的坐标为【】 A(4，2) B(4，2) C(4，2) D(4，2) 【答案】【答案】D。 【考点】【考点】平面坐标系与坐标，关于y 轴对称的点的坐标特征。 【分析】【分析】关于 y 轴对称的点的坐标特征是纵坐标不变，横坐标互为相反数，从而点M(4，2)关于 y 轴 对称的点 M1的坐标是(4，2)。故选 D。 例例 3.3. （20122012 青海西宁青海西宁 2 2 分）分）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，AC12，BD16

46、， E 为 AD 的中点，点 P 在 x 轴上移动小明同学写出了两个使POE为等腰三角形的 P 点坐标为(5，0) 和(5，0)请你写出其余所有符合这个条件的P 点的坐标 【答案】【答案】 （8，0） ， （ 25 ，0） 。 8 1111 AC=12=6，OD=BD=16=8。 2222 【考点】【考点】菱形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定。 【分析】【分析】四边形 ABCD 是菱形，ACBD，OA= 在 RtAOD 中，AD=OA2 OD210。 E 为 AD 中点，OE= 11 AD=10=5。 22 当 OP=OE 时，P 点坐标（-5，0）和（5，0） 。 当 O

47、E=PE 时，此时点 P 与 D 点重合，即 P 点坐标为（8，0） 。 如图，当 OP=EP 时，过点 E 作 EKBD 于 K，作 OE 的垂直 平分线 PF，交 OE 于点 F，交 x 轴于点 P。 EKOA。EK：OA=ED：AD=1：2。EK= OK=OE2 EK2 4。 PFO=EKO=90，POF=EOK，POFEOK。 OP：OE=OF：OK，即 OP：5= P 点坐标为（ 1 OA=3。 2 525 ：4，解得：OP=。 28 25 ，0） 。 8 25 ，0） 。 8 其余所有符合这个条件的P 点坐标为： （8，0） ， （ 2 例例 4.4. （20122012 江苏常州

48、江苏常州 2 2 分）分）已知二次函数y=ax 2+ca0，当自变量 x 分别取2，3，0 时，对 应的值分别为y1，y2，y3，则y1，y2，y3的大小关系正确的是【】 A.y3 y2 y1 B.y1 y2 y3 C.y2 y1 y3 D.y30在对称轴 x=2 左侧， y 随 x 的增大 而减小，而 012，因此，y1 y2 y3。故选 B。 例例 5.5.（20122012 吉林长春吉林长春 3 3 分）分）如图，在平面直角坐标系中，点A 是抛物线 2 2 y=ax 3+k与 y 轴的交点，点 B 是这条抛物线上的另一点，且 ABx 轴，则以 AB 为边的等边三角形 ABC 的周长为.

49、2 【答案】【答案】18。 【考点】【考点】二次函数的性质，等边三角形的性质。 【分析】【分析】根据二次函数的性质，抛物线y=ax 3+k的对称轴为 x=3。 A 是抛物线y=ax 3+k与 y 轴的交点，点 B 是这条抛物线上的另一 点，且 ABx 轴。 A，B 关于 x=3 对称。AB=6。 又ABC 是等边三角形，以 AB 为边的等边三角形 ABC 的周长为 63=18。 例例 6.6.（20122012 山东滨州山东滨州 1010 分）分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax +bx+c 经过 A（2，4） ，O（0， 0） ，B（2，0）三点 （1）求抛物线 y=ax +bx+c

50、 的解析式； （2）若点 M 是该抛物线对称轴上的一点，求AM+OM 的最小值 2 2 2 2 【答案】【答案】解： （1）把 A（2，4） ，O（0，0） ，B（2，0）三点的坐标代入y=ax +bx+c 中，得 2 1a= 4a+2b+c=0 2 4a 2b+c=4，解这个方程组，得b=1 。 c=0c=0 1 2 抛物线的解析式为 y=x +x。 2 1 2 1 2 1 （2）由 y=x +x=（x1） +，可得 222 抛物线的对称轴为 x=1，并且对称轴垂直平分线段OB。 OM=BM。OM+AM=BM+AM。 连接 AB 交直线 x=1 于 M 点，则此时 OM+AM 最小。 过点

51、A 作 ANx 轴于点 N， 在 RtABN 中，AB= AN2+BN242+42 4 2， 因此 OM+AM 最小值为4 2。 【考点】【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，解方程组，二 次函数的性质，线段中垂线的性质，三角形三边关系，勾股定理。 【分析】【分析】 （1）已知抛物线上不同的三点坐标，利用待定系数法可求出该抛物线的解析。 （2）根据 O、B 点的坐标发现：抛物线上，O、B 两点正好关于抛物线的对称轴对称，那么只需连 接 A、B，直线 AB 和抛物线对称轴的交点即为符合要求的M 点，而 AM+OM 的最小值正好是 AB 的长。 对 x=1 上其它任一点 M，根据三角

52、形两边之和大于第三边的性质，总有： O M+A M= B M+A MAB=OM+AM， 即 OM+AM 为最小值。 例例 7.7. （20122012 黑龙江牡丹江黑龙江牡丹江 6 6 分）分）如图，抛物线y=x +bx+c 经过点（1，4）和（2，5） ，请解答下列问 题： (1)求抛物线的解析式； (2)若与x轴的两个交点为 A， B， 与 y 轴交于点 C 在该抛物线上是否存在点D,使得ABC 与ABD 全等？ 若存在，求出 D 点的坐标；若不存在，请说明理由 注：抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x= 2 b 2a 【答案】【答案】解： （1）抛物线 y=x +bx+c 经过点（1，

53、4）和（2，5） ， 2 1+b+c= 4 b= 2 ，解得，。 4 2b+c=5c= 3 抛物线的解析式为y=x22x 3。 （2）存在。 抛物线y=x22x 3的对称轴为x= 2 =1， 21 根据轴对称的性质，点C 关于x=1的对称点 D 即为所求，此时， AB=BA，AC=BD，BC=AD，ABCBAD（SSS） 。 在y=x22x 3中令x=0，得y=3，C（0，3） 。D（2，3） 。 【考点】【考点】二次函数综合题，曲线上点有坐标与方程的关系，二次函数的性质，轴对称的性质。 【分析】【分析】 （1）用待定系数法，将（1，4）和（2，5）分别代入 y=x +bx+c 得方程组，解之

54、即可求得 抛物线的解析式。 （2）根据抛物线的轴对称性质即可求解。 例例8.8. （20122012湖北黄冈湖北黄冈1414分）分）如图，已知抛物线的方程C 1: y C，与y 轴相交于点E，且点B 在点C 的左侧. (1)若抛物线C 1过点M(2，2)，求实数m 的值 (2)在(1)的条件下，求BCE的面积 (3)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使BH+EH最小，并求出点H的坐标 (4)在第四象限内，抛物线C 1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与BCE相似?若存在， 求m的值；若不存在，请说明理由 2 1 x 2(x m)m 0与x 轴相交于点B、 m 【答案】【答案】解： （1）抛物线 C1过点 M(2，2)，2 （2）由（1）得y 1 22(2m)，解得 m=4。 m 1 x 2(x 4)。 4 1 x 2(x 4) ，解得 x1=2，x=4。 4 令 x=0，得y 2。E（0，2） ，OE=2。 令 y=0，得0 B（2， ，0） ，C（4，0） ，BC=6。 1 2 1 （3）由（2）可得y x 2(x 4)的对称轴为 x=1。 4 BCE 的面积=62 6。 连接 CE，