固体物理教案第5次课

1、第5次 课 教学目的：理解晶体的宏观对称性；理解对称操作；了解对称操作群的概念； 了解点群，对称素的概念，了解32个点群；了解7大晶系14种布拉伐格子； 教学内容：1.5 晶体的宏观对称性 1.6点群 1.7晶格的对称 重点难点：晶体的宏观对称性；对称素；对称操作；对称操作群 1.5晶体的宏观对称性晶体的宏观对称性 原子的周期性排列形成晶格，不同的晶格表现出不同的宏观对称性，怎样描述 晶体的宏观对称性？ 概括晶体宏观对称性的系统方法就是考察晶体在正交变换的不变性。 在三维情况下，正交变换表示为： x x a 11 y y a 12 z z a 13 a 12 a 22 a 13 a 13 x

2、a 23 y a 33 z 矩阵aij, i, j 1,2,3是正交矩阵 如图 XCH001_062 所示，绕 z 轴转 角的正交矩阵： cos sin 0 sin cos 0 0 0 1 sin cos 0 0 x 0 y 1 z x cos P 点的坐标变换： y sin z 0 1 0 0 中心反演的正交矩阵： 010 001 x 1 00 x P 点的坐标变换：y 010 y 一个变换为空间转动，矩阵行列式 z 001z 等于1 变换为空间转动加中心反演，矩阵行列式等于1 一个物体在某一个正交变换下保持不变， 称之为物体的一个对称操作， 物体的 对称操作越多，其对称性越高。 1 立方体

3、的对称操作 1) 绕三个立方轴转动： 2 , 3 ，共有9个对称操作；如图XCH001_026_01所示。 2 2) 绕6条面对角线轴转动，共有6个对称操作；如图XCH001_026_02所示。 3) 绕4个立方体对角线轴转动 24 ， 共有8个对称操作； 如图XCH001_026_03所示。, 33 1 0 0 4) 正交变换 010也是一个对称操作； （不动操作） 0 01 5) 以上24个对称操作加中心反演仍是对称操作 立方体的对称操作共有48个。 4 重轴、3 重轴和 2 重轴的标记如图 XCH001_056 所示。 2 正四面体的对称操作 四个原子位于正四面体的四个顶角上， 显然正四

4、面体的对称操作包含在立方体 操作之中 如图 XCH001_027 所示 1) 绕三个立方轴转动：，共有3个对称操作； 2) 绕4个立方体对角线轴转动 有8个对称操作； 1 0 0 3) 正交变换 010也是一个对称操 0 01 作； 24 ， 共, 33 4) 绕三个立方轴转动： 3 ，加上中 22 心反演，共有6个对称操作； , 5) 绕6条面对角线轴转动，加上中心反 演，共有6个对称操作； 正四面体的对称操作共有 24 个 3 正六面柱的对称操作 245 ,1) 绕中心轴线转动：,， 共有5 3333 个对称操作；如图XCH001_028所示。 2) 绕对棱中点连线转动，共有3个对称操作；

5、 3) 绕相对面中心连线转动，共有3个对称操 作； 1 0 0 4) 正交变换 010也是一个对称操作； 0 01 5) 以上12个对称操作加中心反演仍是对称操作 正六面柱的对称操作共有 24 个 4 对称素 为简洁明了地概括一个物体的对称性，不去一一列举所有的对称操作，而是描 述它所具有的“对称素”。对称素就是一个物体的旋转轴，以及旋转反演轴。 一个物体绕某一个转轴转动2/n，以及其倍数不变时，称该轴为物体n 重旋转轴， 计为 n。 一个物体绕某一个转轴转动2/n加上中心反演的联合操作，以及其联合操作的倍 数不变时，称该轴为物体 n 重旋转反演轴，计为n。 （1）立方体 3 立方轴(,)为

6、4 重轴，计为 4；同时也是 4 重旋转反演轴，计为4； 22 面对角线()为 2 重轴，计为 2；同时也是 2 重旋转反演轴，计为2； 体对角线轴( （2）正四面体 24 计为 3； 同时也是 3 重旋转反演轴， 计为3；,)为 3 重轴， 33 立方轴是 4 重旋转反演轴，但不是 4 重轴 面对角线是 2 重旋转反演轴，但不是 2 重轴 体对角线轴是 3 重轴，但不是 3 重旋转反演轴 （3）对称素2 它的含义：先绕轴转动，再作中心反演，如图 XCH001_029所示。 A 点实际上 是A点在通过中心垂直于转轴的平面M的镜像，表明对称素2存在一个对称面M。所以 称对称素2为镜面，用m或 表

7、示。 （4）对称操作群 一个物体的全部对称操作构成一个对称操作群 5 群的基本知识 （1）群的基本性质 群代表一组“元素”的集合，GE,A,B,C,D这些“元素”被赋予一定的 “乘法法则”，满足下列性质： 1) 集合G中任意两个元素的“乘积”仍为集合内的元素， 即， 若 A, B G, 则 AB=C G. 叫做群的封闭性。 2) 存在单位元素E, 使得所有元素满足：AE = A 3) 对于任意元素A, 存在逆元素A , 有：AA =E 4) 元素间的“乘法运算”满足结合律：A(BC)=(AB)C （2）几个简单的群 1) 所有正实数(0除外)的集合，以普通乘法为运算法则，组成正实数群。 2)

8、所有整数的集合，以加法为运算法则，组成整数群。 一个物体全部对称操作的集合满足上述群的定义，其运算法则就是连续操作。 单位元素：不动操作 任意元素的逆元素：绕转轴角度，其逆操作为绕转轴 角度；中心反演的逆操作 仍是中心反演； 连续进行 A 和 B 操作，相对于 C 操作，如图 XCH_001_030 所示。 A 操作：绕 OA 轴转动 B 操作：绕 OC 轴转动 -1-1 ，S 点转到 T点； 2 ，T点转到 S 点； 2 上述操作中 S 和 O 没动，而 T 点转动到 T点。 2 相当于一个操作 C：绕 OS 轴转动 3 表示为：C=BA群的封闭性 可以证明：A(BC) (AB)C满足结合律

9、 1.6点群点群 晶体中原子的周期性排列形成了晶体一定的宏观对称性，不同的形式的原子排 列形成的宏观对称性，其对称操作也具有一定的限制。 vvv 描述晶体周期性的布拉伐格子：l 1a1 l 2a2 l 3a3 经历对称操作后晶体不变，相应的布拉伐格子也不变 1. 对称素 vv 设想有一个对称轴垂直于平面，平面内晶面的格点可以用l 1a1 l 2a2 来描述，如图 XCH001_031所示。 绕转轴的任意对称操作，转过角度为： ； B点转到B点该点必有一个格点； A点和B点是等价的， 以通过B点的轴顺时 针转过： A点转到A点该点必有一个格点； 且有：BA nAB n为整数 BA AB(12co

10、s)，12cos n n只能取值：1，0，1，2，3 相应的的角度： 00, 600, 900, 1200, 1800 任何晶体的宏观对称性只能有以下几种对称素： 例如长方形、正三角形、正方形和正六方形可以 在平面内周期性重复排列。 而正五边形及其它正n边形则不能作周期性 重复排列，如图XCH001_032所示。 2. 点群 以10种对称素为基础组成的对称操作群，一般称为点群。 由对称素组合成群时，对称轴的数目、对称轴之间的夹角将受到严格的限制， 例如：两个2重轴之间的夹角只能为： 300, 450, 600, 900 如果存在一个n重轴和与之垂直的二重轴，就一定存在n个与之垂直的二重轴。 1

11、, 2, 3, 4, 6 1, 2, 3, 4, 6 如图XCH001_033所示，2个二重轴2和2； 绕轴2的转动计为A，绕轴2的转动计为B。连续进行操作AB，与之垂直的轴上一点N 回到原处，轴2转到2”的位置。 A和B均为对称操作： C AB也是对称操作。 C的操作则是绕NN轴转过 2 角 度。 其2 600, 900, 1200, 1800 300, 450, 600, 900 3. 32种点群 理论证明由10种对称素只能组成32种不同的点群。即晶体的宏观对称只有 32 个不同类型。 C 1 不动操作，只含有一个元素，表示没有任何对称性的晶体； 回转群C n 只包含一个旋转轴的点群：C

12、2 , C 3, C4 , C 6 ，共4个；下标表示是几 重旋转轴； 双面群D n 包含一个n重旋转轴和n个与之对应的二重轴的点群： D 2 , D 3 , D 4 , D 6 ，共4个； C i 群C 1 群加上中心反演 C s 群C 1 群加上反演面 C nh 群C n 群加上与n重轴垂直的反演面，共4个 C nv 群C n 群加上含有n重轴的反演面，共4个 1.7晶格的对称 由 32 种点群描述的晶体对称性， 对应的只有 14 种布喇菲格子， 分为 7 个晶系。 v v v 单胞的三个基矢a, b, c沿晶体的对称轴或对称面的法向， 在一般情况下， 它们 v vv v 构成斜坐标系。它

13、们间的夹角用,表示，即(b, c) ；(c, a ) ； v v (a, b) 。 按坐标系性质划分的七大晶系： 晶系 三斜晶 系 单斜晶 系 正交晶 系 单胞基矢的特性 a 1 a 2 a 3 ，夹角不等 布喇菲格子 简单三斜 所属点群 C 1, Cs a 1 a 2 a 3 ，a 2 a 1, a3 简单单斜， 底心单斜 C 2 , C s , C 2h a 1 a 2 a 3 ，a 1 a 2 a 3 简单正交， 底心正交 体心正交， 面心正交 D 2 ,C 2v , D 2h 三角晶 系 四方晶 系 a 1 a 2 a 3 ， 90 120 a 1 a 2 a 3 ， 00 三角 C

14、3 , C 3i , D 3 , C 3v , D 3d 900 简单四方， 体心四方 C 4 , C 4h , D 4 , C 4v , D 4h , S 4 , D 2d 六角晶 系 a 1 a 2 a 3 ，a 3 a 1, a2 a 1a2 1200 六角 C 6 , C 6h , D 6 , C 3v D 6h , C 3h , D 2h 立方晶 系 a 1 a 2 a 3 ， 简单立方， 体心立方 面心立方 900 T, T h , T d , O, O h 14 种布拉伐原胞 1） 简单三斜 如图XCH001_034_01 2） 简单单斜 如图XCH001_034_02 3） 底心单斜 如图XCH001_034_03 4） 简单正交 如图XCH001_034_04 5） 底心正交 如图XCH001_034_05 6） 体心正交 如图XCH001_034_06 7） 面心正交 如图