昆明理工大学07-08级AB高数(下)考试试卷和高等数学公式大全

1、昆明理工大学昆明理工大学 20072007 级高等数学级高等数学A A（2 2）试卷）试卷 (A 卷)(2008 年 6 月 20 日) 题号 得分 阅卷人 一二三四五六七八九总分 大一、填空题（每小题 3 分，共 30 分） （1）设u f (x, y,z), y sin x,z x2.且 f具有一阶连续偏导数， 则 du . dx 2（2）设z ex sin2y，则全微分dz . (3)曲面z ez 2xy 3在点(1,2,0)处的切平面方程为 . （4）交换二次积分次序，则 2 1 dxf (x, y)dy . 1 x （5）计算二重积分值4xyd 其中D:0 x 1,0 y 1. D

2、( 6）曲线L为球面x2 y2 z2 a2与平面x y相交的圆周， 其中a 0.则曲线积分 2y2 z2ds . L （7）设曲面 是在柱面x2 y2 a2 (a 0)上介于z h;z h (h 0)的那一部分，则曲面积分I dS . （8） 当a 时,曲线积分(axy3 y2cosx)dx(12ysin x3x2y2)dy L 与路径无关. (9)微分方程 dy 2y bex(b为常数） 的通解为. dx d2y (10)微分方程 2 9y 0的通解为 . dx 二、(8 分)已知三个正数x, y,z之和为12.求u x3y2z的最大值. 三、（8 分） 计算二重积分 D sin xdxdy

3、 的值.其中D是由直线y x x 及曲线y x2所围成的闭区域. 四、 (10 分)求旋转抛物面z 2 x2 y2与锥面z x2 y2 所围 立体的体积. 五、(8 分)求(2x y 4)dx (5y 3x 6)dy，其中L为 L 顶点坐标分别是(0,0),(3,0),(3,2)的三角形的正向边界. 六、 （10 分）利用高斯公式计算曲面积分： I (x3az2)dydz(y3ax2)dzdx(z3ay2)dxdy, 其中是曲面z a2 x2 y2的上侧(a 0). 七、(10 分)求二阶常系数非齐次线性微分方程 y4y4y eax 的通解（其中a为常数）. 八、 （10 分）设f (x)具有

4、一阶连续导数，且f () 1,又 y x sin x f (x)dx f (x)dy 0 x 0是全微分方程，求 f (x). 九、 （6 分）已知z z(u),且u (u) y p(t)dt,其中z z(u)可微， (u)连续，且(u) 1,p(t)连续，求p(y) zz p(x). xy x 昆明理工大学昆明理工大学 20072007 级高等数学级高等数学A A（2 2）试卷）试卷 (B 卷) 题号 得分 阅卷人 一二三四五六七八九总分 大一、填空题（每小题 3 分，共 30 分） （1）函数z ln(y x) x 1 x y 22 的定义域为. （2）设z ln(2x 3y)，则dz .

5、 （3） 设z f (x2 y2,xln y)，f可导， 则 z . x （4）椭球面2x2 3y2 z2 6在点(1,1,1)处的法线方程为 . （ 22 5）交换二次积分次序： dxf (x, y)dy . 1x （6）若L为平面上的单位圆，则 L ds . （7）若是空间中简单闭曲面的外侧，则曲面积分 xdydz ydzdx 2dxdy . （8）微分方程ydx xdy 0的通解为. (9)微分方程 y6y13y 0 的通解 为. (10)微分方程y 4y 4y 3e2x的非齐次特解形式应设为y* . 二、(8 分)已知三个正的真分数x, y,z之和为 1，求u x3y2z的最大值. 三

6、、 （8 分） 计算二重积分 (x2 y2)d ， 其中D是由上半圆y 2x x2 D 与x轴所围成的闭区域. 四、(10 分)求由四个平面x 0，x 1，y 0，y 1所围方柱体 被两平面z 0和x y z 2所截部分的立体体积. 五、 (8 分)求(x2 y)dx (1 x)dy， 其中L为上半单位圆y 1 x2 L 从点A(1,0)到点B(1,0)的一段. 六 、 （10 分）利用高斯公式计算曲面积分： 其中是曲面z a2 x2 y2的上侧(a 0). xdydz ydzdx zdxdy， 解. 七、 (10 分)求微分方程(x y)dx xdy 0的满足初始条件y(1) 1的 xx 八

7、、 设y y(x)二阶可导， 且y(x) exty(t)dt xy(t)dt， 求y(x). 00 （10 分） 九、 （6 分）z f (x2 y,(xy)，f (u,v)具有二阶连续偏导数，(u)二 2z 阶可导，求. xy 昆明理工大学 2008 级高等数学A（2）A 卷期末试题解答及评分标准 一、 （每小题 4 分）1. 1 (x 1)dx. x 2 3 2. 0 dy y f (x,y)dx. 3.4. 2 11 (xln3)n 5. R(x,y,0)dxdy.6. 2S U1.7. .8. 收敛. 9. x2y3 y C. Dn 0 n! 10. P(x)dxP(x)dx y e

8、Q(x)edxC. 1(x2 x4)dx3 分 二、1. Vx0 2 .5 分 15 2 1x211 2.I | yx |dxdy 1 dx 0 (x2 y)dy 1 dx x (y x2)dy 3 分 D 2 11. 5 分 15 三、I 0 d 0 2d 0 2 2cos 3sind 5 分 8 .7 分 5 四、I 1 L (x y)dx(x y)dy2 分 a2 2 d5 分 a2 D 2.7 分 五、I(x2 y2)ds(x2 y2)ds 12 (x2 y2) 2d(x2 y2)d4 分 DD (1 2)dr3dr 6 分 00 21 2 (1 2) 8 分 六、 I 1 a2 ax

9、dydz(za)dxdy. 1 分 补 1 :z 0 I x 1 2 y2a2 取下侧3 分 1 axdydz(za)dxdyaxdydz(za)dxdy 2a 1 1 (a1)dvad 6 分 a2 D a (52a) 8 分 3 七、1. lim a n1 n2n!n2 lim lim 0, R n a n(n1)!n1n(n1)2 n 收敛区间(,)；4 分 2.设S(x) n1 nx ， n0 n! 则 0 x n1 x n xn1xn xS(x)dx x dx x xe 0 n0 n! n0 n! n0 n! x xn (Q e ) n0 n! x 所以S(x) (xe 八、1.f(

10、x) f (x) ) ex(1 x) 8 分 f (0) 0 f (x) Cex4 分 又f (0) 0， C 0, f (x) 0.6 分 2微分方程的特征方程r2 r 2 0 其特征根为r 1 2,r21，故对应齐次方程的通解为Y C1e2x C2ex 因为f (x) 2e2x， 2不是特征方程的根， 故原方程的特解设为：y* Ae2x，代入原方程得 3 分 4Ae2x 2Ae2x 2Ae2x 2e2x2Ae2xe2x A 因此，原方程的通解为 y Y 11 2x y*e ， 22 y* C1e2x C2ex 1 e2x 2 昆明理工大学昆明理工大学 20082008 级高等数学级高等数学

11、A A（2 2）期末试卷）期末试卷 考试日期:2009.06.17 (B 卷) 题号 得分 一二三四五六七八总分 阅卷人 一填空题（每小题 4 分，共 40 分） 1.由直线y x，y 0及x2围成的图形的面积为 A,若以x为积分变 量,面积 A 可用定积分表示为 A . 2.设 f (x,y)为连续函数，则交换二次积分次序后 0 1dx f (x,y)dy . 3x 3 2 3.设L是任意一条分段光滑的闭曲线，则 2xydx x dy . L 4. 设为曲面x2 y2 z2 a2, z 0的部分，则对面积的曲面积分 I (x2 y2 z2)dS . 5. 设为曲面z 0,x2 y2 a2,

12、的上侧，则对坐标的曲面积分 x dydzdzdx5dxdy 2 . 11 6. 已知级数U n 的部分和Sn(1)，则级数 33n1 n1 s U n n1 的和 . 7.级数 e的和s (n 1)! n1 n . 8.当0 a 1时,级数 1 的敛散性为. n1a n1 9.全微分方程 为. cos xsin ydx sin xcos ydy 0的通解 10.一阶线性齐次方程:yP(x)y 0的公式通解为y . 二、计算下列各题(每小题 5 分，共 10 分) 1.求曲线y x2与y 2x所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成旋转 体的体积. 2. 计算二重积分x y d， 其中闭区域D x,y

13、1 x1,1 y 1. D 三、 （7 分）计算由曲面z x2 y2及z 6 x2 y2所围成的立体的 体积 四、 （7 分）计算I L (x y)dx(x y)dy ，其中 L 为圆周 22x y x2 y2a2(a 0)（按逆时针方向绕行）. 2222五、(8 分)计算I x y dS，其中是锥面z x y 及平面z 2所 围成的区域的整个边界曲面. 六、(8 分)利用高斯公式计算曲面积分I axdydz(za)dxdy x y z 222 .其中 是曲面z a2x2 y2的上侧.(a 0为常数） 七、(8 分)求幂级数(1) n1 n1 x2n1 的收敛域与和函数. 2n1 八、计算下列

14、各题（每题 6 分 共 12 分） 1. 求微分方程 dx22 x 3 在条件y x1 1下的特解. dyyy 2.求微分方程y y2y 2的通解. 高等数学公式 导数公式：导数公式： (tgx)sec x (ctgx) csc2x (secx)secxtgx (cscx) cscxctgx (ax) axlna (log a x) 基本积分表：基本积分表： 2 (arcsin x) 1 1 xlna 1 x2 1 (arccosx) 1 x2 1 (arctgx) 1 x2 1 (arcctgx) 1 x2 tgxdx lncosx C ctgxdx lnsinx C secxdx lnse

15、cxtgx C cscxdx lncscxctgx C dx1x arctgC a2 x2aa dx1xa ln x2a22axa C dx1a x a2 x22a ln a x C dxx arcsinC a2 x2 a 2 n dx 2 sec 2 cos x xdx tgxC dx 2 csc 2 sin x xdx ctgxC secxtgxdx secxC cscxctgxdx cscxC ax a dx lna C x shxdx chxC chxdx shxC dx x2a2 ln(xx2a2)C 2 I n sin xdx cosnxdx 00 n1 I n2 n x 2 a2

16、 2x a dx x a ln(xx2a2)C 22 x 2 a2 222x a dx x a ln xx2a2C 22 x 2 a2x 222a x dx a x arcsinC 22a 22 三角函数的有理式积分：三角函数的有理式积分： 2u1u2x2du sin x ， cosx ， u tg， dx 22221u1u1u 一些初等函数：一些初等函数：两个重要极限：两个重要极限： exex 双曲正弦:shx 2 exex 双曲余弦:chx 2 shxexex 双曲正切:thx chxexex arshx ln(xx21） archx ln(xx21) 11 x arthx ln 21 x

17、 三角函数公式：三角函数公式： 诱导公式：诱导公式： 函数 角 A - 90- 90+ 180- 180+ 270- 270+ 360- 360+ sin lim sin x 1 x0 x 1 lim(1)x e 2.718281828459045. x x costg -tg ctg ctg -ctg tg -ctg ctg tg -ctg ctg -sincos cos cos sin sin -sin-ctg-tg -cos-tg -sin-costg -cos-sinctg -cossin -sincos sincos -tg tg -ctg-tg 和差角公式：和差角公式：和差化积公式

18、：和差化积公式： sin() sincoscossin cos() coscossinsin tgtg tg() 1tgtg ctgctg1 ctg() ctgctg sinsin 2sin 22 sinsin 2cossin 22 coscos 2coscos 22 coscos 2sinsin 22 cos 倍角公式：倍角公式： sin2 2sincos cos2 2cos2112sin2 cos2sin2 ctg21 ctg2 2ctg 2tg tg2 1tg2 半角公式：半角公式： sin33sin4sin3 cos3 4cos33cos 3tgtg3 tg3 13tg2 sin tg

19、 2 1cos1cos cos 222 1cos1cossin1cos1cossin ctg 1cossin1cos21cossin1cos 2 正弦定理：正弦定理： abc 2R 余弦定理：余弦定理：c2 a2b22abcosC sin AsinBsinC 反三角函数性质：反三角函数性质：arcsinx 2 arccosx arctgx 2 arcctgx 高阶导数公式莱布尼兹（高阶导数公式莱布尼兹（LeibnizLeibniz）公式：）公式： (uv)(n) k(nk)(k)C n uv k0 n n(n1) (n2) n(n1) (nk 1) (nk)(k)u(n)vnu(n1)vuv

20、uv uv(n) 2!k! 中值定理与导数应用：中值定理与导数应用： 拉格朗日中值定理：f (b) f (a) f ()(ba) f (b) f (a)f () 柯西中值定理： F(b)F(a)F() 曲率：曲率： 当F(x) x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。 弧微分公式：ds 1 y2dx,其中ytg 平均曲率： K .:从M点到M点，切线斜率的倾角变化量；s：MM弧长。 s y d M点的曲率：K lim. 23s0 sds (1 y ) 直线：K 0; 1 半径为a的圆：K . a 定积分的近似计算：定积分的近似计算： b 矩形法：f (x) a b ba (y 0 y 1 y

21、n1) n ba 1 (y 0 y n ) y 1 y n1 n2 ba (y 0 y n )2(y 2 y 4 y n2 )4(y 1 y 3 y n1 ) 3n 梯形法：f (x) a b 抛物线法：f (x) a 定积分应用相关公式：定积分应用相关公式： 功：W F s 水压力：F p A m m 引力：F k1 2 2,k为引力系数 r b 1 函数的平均值： y f (x)dx ba a 1 2均方根：f (t)dt ba a 空间解析几何和向量代数：空间解析几何和向量代数： b 空间2点的距离：d M 1M2 (x 2 x 1 )2(y 2 y 1 )2(z 2 z 1 )2 向量

22、在轴上的投影： Pr j u AB AB cos,是AB与u轴的夹角。 Pr j u (a 1 a 2 ) Pr ja 1 Pr ja 2 ab a b cos a xbx a yby a zbz ,是一个数量, 两向量之间的夹角： cos i c ab a x b x j a y b y a xbx a yby a zbz a x a y a z b x b y b z 222222 k a z , c a b sin.例：线速度：v wr. b z a y b y c y a z b z ab c cos,为锐角时， c z a x 向量的混合积： abc (ab)c b x c x 代表

23、平行六面体的体积。 1、点法式：A(x x 0 ) B(y y 0 )C(z z 0 ) 0，其中n A,B,C,M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0 ) 2、一般方程：Ax ByCz D 0 xyz 3、截距世方程： 1 abc 平面外任意一点到该平面的距离：d Ax 0 By 0 Cz 0 D A2 B2C2 平面的方程： x x 0 mt x x 0 y y 0 z z 0 空间直线的方程：t,其中s m,n, p;参数方程： y y0nt mnp z z pt 0 二次曲面： x2y2z2 1、椭球面： 2 2 2 1 abc x2y2 2、抛物面： z（ , p,q同号） 2p2q

24、3、双曲面： x2y2z2 单叶双曲面： 2 2 2 1 abc x2y2z2 双叶双曲面： 2 2 2 （马鞍面）1 abc 多元函数微分法及应用多元函数微分法及应用 全微分：dz zzuuu dxdy du dxdydz xyxyz 全微分的近似计算：z dz f x (x,y)x f y (x,y)y 多元复合函数的求导法： dzz uz v z fu(t),v(t) dtu tv t zz uz v z fu(x,y),v(x,y) xu xv x 当u u(x,y)，v v(x,y)时， uuvv du dxdy dv dxdy xyxy 隐函数的求导公式： F x FFdydyd2

25、y 隐函数F(x,y) 0， ， 2 (x)(x) dxF y xF y yF y dxdx F y F x zz 隐函数F(x,y,z) 0， ， xF z yF z F F(x,y,u,v) 0 (F,G) u 隐函数方程组： J G (u,v) G(x,y,u,v) 0 u u1 (F,G)v1 (F,G) xJ(x,v)xJ(u,x) u1 (F,G)v1 (F,G) yJ(y,v)yJ(u,y) 微分法在几何上的应用：微分法在几何上的应用： F v F u G G u v F v G v x (t) x xy y 0 z z 0 空间曲线y (t)在点M(x 0 ,y 0 ,z 0

26、)处的切线方程：0 (t )(t ) (t 0 ) 00 z (t) 在点M处的法平面方程： (t 0 )(x x 0 ) (t 0 )(y y 0 ) (t 0 )(z z 0 ) 0 F y F z F z F x F x F(x,y,z) 0 若空间曲线方程为：,则切向量T , GGG x G x yz G z G(x,y,z) 0 曲面F(x,y,z) 0上一点M(x 0 ,y 0 ,z 0 )，则： 1、过此点的法向量：n F x (x 0 ,y 0 ,z 0 ),F y (x 0 ,y 0 ,z 0 ),F z (x 0 ,y 0 ,z 0 ) x x 0 y y 0 z z 03

27、、过此点的法线方程： F x (x 0 ,y 0 ,z 0 )F y (x 0 ,y 0 ,z 0 )F z (x 0 ,y 0 ,z 0 ) 方向导数与梯度：方向导数与梯度： F y G y 2、过此点的切平面方程：F x (x 0 ,y 0 ,z 0 )(x x 0 ) F y (x 0 ,y 0 ,z 0 )(y y 0 ) F z (x 0 ,y 0 ,z 0 )(z z 0 ) 0 fff 函数z f (x,y)在一点p(x,y)沿任一方向l的方向导数为： cossin lxy 其中为x轴到方向l的转角。 f f i j xy f 它与方向导数的关系是： grad f (x,y)e，

28、其中e cosi sin j，为l方向上的 l 单位向量。 f 是gradf (x,y)在l上的投影。 l 函数z f (x,y)在一点p(x,y)的梯度：gradf (x,y) 多元函数的极值及其求法：多元函数的极值及其求法： 设f x (x 0 ,y 0 ) f y (x 0 ,y 0 ) 0，令：f xx (x 0 ,y 0 ) A, f xy (x 0 ,y 0 ) B, f yy (x 0 ,y 0 ) C A 0,(x 0 ,y 0 )为极大值 2AC B 0时， A 0,(x0,y0)为极小值 2则：值 AC B 0时， 无极 AC B2 0时, 不确定 重积分及其应用：重积分及

29、其应用： f (x,y)dxdy f (rcos,rsin)rdrd D D 曲面z f (x,y)的面积A D z z 1 dxdy x y 2 2 平面薄片的重心：x M x M x(x,y)d D (x,y)d D D , y M y M y(x,y)d D (x,y)d D D 平面薄片的转动惯量：对于x轴I x y2(x,y)d, 对于y轴I y x2(x,y)d 平面薄片（位于xoy平面）对z轴上质点M(0,0,a),(a 0)的引力：F F x ,F y ,F z ，其中： F x f D (x,y)xd (x y a ) 222 2 ， F y f 3 D (x,y)yd (x

30、 y a ) 222 2 ， F z fa 3 D (x,y)xd (x y a ) 22 3 2 2 柱面坐标和球面坐标：柱面坐标和球面坐标： x rcos 柱面坐标：f (x,y,z)dxdydz F(r,z)rdrddz, y rsin, z z 其中：F(r,z) f (rcos,rsin,z) x rsincos 2球面坐标： y rsinsin， dv rdrsinddr r sindrdd z rcos 2r(,) f (x,y,z)dxdydz F(r,)r 2sindrdddd 00 F(r,)r 0 2sindr 重心：x 1 M xdv, y 1 M ydv, z 1 M

31、 zdv， 其中M x dv 转动惯量：I x (y2 z2)dv， I y (x2 z2)dv， I z (x2 y2)dv 曲线积分：曲线积分： 第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）： x (t) 设f (x,y)在L上连续，L的参数方程为：, (t ),则： y (t) L x tf (x,y)ds f(t),(t) 2(t)2(t)dt () 特殊情况： y (t) 第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）： x (t) 设L的参数方程为，则： y (t) P(x,y)dxQ(x,y)dy P(t),(t)(t)Q(t),(t)(t)dt L 两类曲线积分之间的关系：PdxQdy (PcosQ

32、cos)ds，其中和分别为 LL L上积分起止点处切向量的方向角。 QPQP 格林公式： ()dxdy PdxQdy格林公式： ()dxdy PdxQdy xyxy DLDL QP1 当P y,Q x，即： 2时，得到D的面积：Adxdy xdy ydx xy2 LD 平面上曲线积分与路径无关的条件： 1、G是一个单连通区域； 2、P(x,y)，Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数，且 减去对此奇点的积分，注意方向相反！ 二元函数的全微分求积： QP 在时，PdxQdy才是二元函数u(x,y)的全微分，其中： xy (x,y) QP 。注意奇点，如(0,0)，应 xy u(x,y) (x0,y

33、0) P(x,y)dxQ(x,y)dy，通常设x 0 y 0 0。 曲面积分：曲面积分： 22对面积的曲面积分： f (x,y,z)ds fx,y,z(x,y) 1 z (x,y) z (x,y)dxdy xy Dxy 对坐标的曲面积分：P(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdx R(x,y,z)dxdy，其中： 号；R(x,y,z)dxdy Rx,y,z(x,y)dxdy，取曲面的上侧时取正 Dxy 号；P(x,y,z)dydz Px(y,z),y,zdydz，取曲面的前侧时取正 Dyz Q(x,y,z)dzdx Qx,y(z,x),zdzdx，取曲面的右侧时取正号。 Dzx 两类曲面

34、积分之间的关系：PdydzQdzdx Rdxdy (PcosQcos Rcos)ds 高斯公式：高斯公式： ( PQR )dv Pdydz Qdzdx Rdxdy (PcosQcos Rcos)ds xyz 高斯公式的物理意义 通量与散度： PQR 散度：div,即：单位体积内所产生 的流体质量，若 div 0,则为消失. xyz 通量：Ands A n ds (PcosQcos Rcos)ds， 因此，高斯公式又可写 成：divAdv A n ds 斯托克斯公式曲线积分与曲面积分的关系：斯托克斯公式曲线积分与曲面积分的关系： ( RQPRQP )dydz()dzdx()dxdy PdxQdy

35、 Rdz yzzxxy cos y Q cos z R dydzdzdxdxdycos 上式左端又可写成： xyzx PQRP RQPRQP 空间曲线积分与路径无关的条件：， ， yzzxxy ijk 旋度：rotA xyz PQR 向量场A沿有向闭曲线的环流量：PdxQdy Rdz Atds 常数项级数：常数项级数： 1qn 等比数列： 1qq q 1q (n1)n 等差数列： 123 n 2 111 调和级数： 1 是发散的 23n 2n1 级数审敛法：级数审敛法： 1、正项级数的审敛法 根植审敛法（柯西判别法）： 1时，级数收敛 设： limnu n，则 1时，级数发散 n 1时，不确定

36、 2、比值审敛法： 1时，级数收敛 U 设： limn1，则1时，级数发散 n U n 1时，不确定 3、定义法： s n u 1 u 2 u n ;lims n存在，则收敛；否则发散。 n 交错级数u 1 u 2 u 3 u 4 (或u 1 u 2u3 ,u n 0)的审敛法 莱布尼兹定理： u n u n1 如果交错级数满足s u 1,其余项rn的绝对值rn u n1 。 limu 0，那么级数收敛且其和 nn 绝对收敛与条件收敛：绝对收敛与条件收敛： (1)u 1 u 2 u n ，其中u n为任意实数； (2)u 1 u 2 u 3 u n 如果(2)收敛，则(1)肯定收敛，且称为绝对

37、收敛级数； 如果(2)发散，而(1)收敛，则称(1)为条件收敛级数。 1(1)n 调和级数： n 发散，而 n 收敛； 1 级数： n2 收敛； 时发散 1 p级数： np p 1时收敛 幂级数：幂级数： 1 x 1时，收敛于1 x 1 x x2 x3 xn x 1时，发散 对于级数(3)a 0 a 1x a2 x2 a n xn ，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全 x R时收敛 数轴上都收敛，则必存在R，使x R时发散，其中R称为收敛半径。 x R时不定 1 0时，R 求收敛半径的方法：设lim a n1，其中a n，an1是(3)的系数，则 0时，R n a n 时，R 0 函数展开成幂

38、级数：函数展开成幂级数： f (x 0 )f(n)(x 0 ) 2函数展开成泰勒级数：f (x) f (x 0 )(x x 0 )(x x 0 ) (x x 0 )n 2!n! f(n1)() 余项：R n (x x 0 )n1, f (x)可以展开成泰勒级数的充要条件是： limR n 0 n (n1)! f (0) 2 f(n)(0) nx 0 0时即为麦克劳林公式：f (x) f (0) f (0)xx x 2!n! 一些函数展开成幂级数：一些函数展开成幂级数： m(m1) 2 m(m1) (mn1) nx x (1 x 1) 2!n! 2n1x3x5x sinx x (1)n1 ( x

39、 ) 3!5!(2n1)! (1 x)m1mx 欧拉公式：欧拉公式： eixeix cosx 2 eix cosxisinx 或 ixix sinx e e 2 三角级数：三角级数： a 0 f (t) A 0 A n sin(nt n ) (a n cosnxb n sinnx) 2 n1n1 其中，a 0 aA 0，an A n sin n，bn A n cos n，t x。 正交性： 1,sin x,cosx,sin2x,cos2x sinnx,cosnx 任意两个不同项的乘积在, 上的积分0。 傅立叶级数：傅立叶级数： a 0 f (x) (a n cosnxb n sinnx)，周期 2 2 n1 1 (n 0,1,2 ) an f (x)cosnxdx 其中 b 1 f (x)sinnxdx (n 1,2,3 ) n 112 1 2 2 835 1112 2 2 224246 正弦级数：a n 0，b n 余弦级数：b n 0，a n 1112 1 2 2 2 （相