数学---初等数论

1、大学数学、初等数学论线性代数射影几何概率统计、初等数学论、谭万林、序文、数学论是研究整数性质的旧数学分支，其中初等部分以整数的可分割性为中心，包括可分割性、不定方程式、联合式、连分数、素数(即整数)分布、数学函数等初等数学论的大部分内容已经出现在古希腊欧几里得的几何原本中。 欧几里得证明素数无限多，他提出了一种求两个自然数的最大公约数的方法，即欧几里得算法。 我国古代在数论方面也作出了卓越的贡献，现在普遍的数论书中国剩馀定理是我国古代孙子算经中的下卷第26题，我国被称为“孙定理”。 近代初等数学论的发展取决于费马、欧拉、拉格朗日、文艺复兴、高斯等人的工作。 1801年，高斯的算术探究是数论的划

2、时代杰作。 “数学是科学之王，数学论是数学之王”。 -高斯、欧几里得高斯、费马、欧拉、拉格朗日道格拉斯从20世纪以来引进了抽象数学和高等分析的巧妙工具，数学论进一步发展，扩大了新的研究领域，出现了代数数学论、解析数学论、几何数学论等新的分支。 近年来，初等数学论在计算机科学、组合数学、密码学、代数编码、计算方法等领域得到广泛应用，无疑促进了数学论的发展。 数学论严格简洁，内容丰富深刻。 我介绍数学论中最基本的概念和理论，希望大家对这个学问感兴趣，深入了解中小学时代学过的基本概念，如不可整除的、最大公系数、最小公倍数、转相除法等。 第一章能被整数整除的概念，1，基本概念1，自然数，整数2，正整数

3、，负整数3，奇数，偶数的性质：整数整数=整数-整数*整数=整数，2，整除，1，定义： a，b为整数，b0。 当存在整数q以使得a=bq成立时，b可以被a或a整除，而如果没有标记为b-a的这种q，b不能被a整除。 2、可整除的性质，如果是ba、c=b，则是CB=ca.(3)如果是c=a，则是任意整数d，如果是c=a、c=b，则是任意整数m，n、c=man b.(5) a、b=a=b . 定理：当a、b为两个整数，b0时，存在两个唯一的整数q和r，以使a=bq r，0rb成立。 可知b能整除a的充分条件是r=0。 1.2设最大公系数和反相除法，另一方面，最大公系数1，定义为a1、a2，an，则d是

4、n个不完全零的整数，如果整数d是它们的各个系数，则d被称为a1，a2，an中的一个公系数。 整数公系数中最大的称为它们的最大公系数，记载为(a1、a2、an )。2、互质、a1、a2、an是n个不完全零的整数，(a1、a2、an)=1的话，a1、a2、an设为互质。 注：三种互质比必定是两种互质。例如，(3，4，6 )=1，但是(3，6 )=3，(4，6 )=2.3，最大公系数的性质，(1)ba时，(a，b)=b. (2)a，b的所有公系数是(a，b )的系数如果c是任何正整数，则(ac b)=(c，b) (5)，如果(a，b)=1，bac，则bc. (6，b，c是任意三个正整数，则(a，b)

5、=d的充分条件为：4，反转相除，一个推论，a，b是正整数，(a 例1 :请求(735000、238948 )。 解： 735000=2389483 18156 238948=1815613292018156=2920662920=6337636=37260376=2601、260=1162、116=284、28=47 (735000 解：因为5125=260512520，2605=252012520=852955=55155=30125=2515=55 (2605，-5125)=5.示例3 :获得(2605，3245，7250 )； 解：求出2065和3245的最大公系数。 因为3245=26

6、0511180、2605=118018851180=8851885=2953，所以求出(2605，3245 )=295.295和7250的最大大公系数。 因为7250=29524170，295=1701125=125145125=45235=3511035=10310=52，所以(2605，3245，7250 )=(295，7250 )=5.练习，求出(125，610 ) . 1224 ).244，555.1.3最小公倍数一，定义，二，最小公倍数的性质，1，定理：例1 :求 3468，24871 ，解：通过旋转相除法： (3468，24871 )=17 .因此 3468，24871 =5073

7、684 .例2 :求 求21 35. 2，求 123，321 .3，求 125，725，1125，2015 .1.4整数除法性的验证，1，整数的表示为1，10进制整数的意思：各位的数字的加权和。 2、一般显示：进位制、进位制是一种计数方式，用有限的数字在不同的位置显示不同的数值。 可以使用的数字符号的个数称为基数，基数称为n，称为n进制，称为n进制。 现在最常用的是十进制，通常计数十个阿拉伯数字的09。进位制，常见的进位制：二进制是计算机三进制在军队中组织十进制最常用的十二进制时间，月，一打物品十六进制是计算机六十进秒，分，角度，二，除法性的判别方法，判别方法1:(整数能整除2 )如果整数末尾

8、的数字能被2除尽也就是说，若2a0，则2n .判别方法2:(整数能被5除尽)整数的末尾的数字能被5整除，则该数能被5整除。 即，如果5a0，则5-n .判别方法3:(整数能被3除尽)整数的各位的数字之和能被3整除，则该数能被3整除。 也就是说，如果3an-1a1a 0，3n .判别方法4:(整数能被9除尽)整数的各位的数字之和能被9整除，则该数能被9除尽。 即，如果9an-1a1a0，则9n .2，可除法判别方法，判别方法5:(整数能被11除尽)一个整数除了最后3位的数字而得到的位数少的3位的新整数和由该整数的最后3位的数字构成的数之差能被11除尽， 该整数能被11除尽. 11，n .判别方法

9、6:(整数能被13除尽)整数除了最后3位数字得到的位数少的3位新整数与该整数的最后3位数字构成的数之差能被11整除，则该整数能被11除尽2.1二项一次不定方程式、一、齐次方程式、二、非齐次方程式、例1、三、有整数解的充分条件的两个推理，推理1 :如果(a，b)=1，方程式(1)中有整数解四、整数分离法解不定方程式，步骤： 1、变形不定方程式，把系数绝对值大的未知数表示系数绝对值小的未知数的2、把1的代数式分离成一个整数式和一个分数式之和3 .通过观察和其他方法把分数值变成整数，得到不定方程式的整数解。 例3，例4:次不定方程式，五，解不定方程式，例2 :解不定方程式，练习问题，2.2多次不定方

10、程式，一、三次不定方程式1，解的存在性定理：三次一次不定方程式ax by cz=d有整数解的充分的条件是(a，b，c) d，其中，a、b 三次一次不定方程式的通解的一般解法，第三章同馀3.1同馀的概念和性质，第二、同馀的性质，定理同馀关系为等价关系，即(1)自反性aa(mod m )。 (2)如果对称性为ab(mod m )，则为ba(mod m )。 (3)如果传输性为ab(mod m )、bc(mod m )，则为ac(mod m )。 定理为，设a、b、c、d为整数，设m为正整数，设ab(mod m )、cd(mod m )，则(1)ax cybx dy(mod m )，x、y为任意的整

11、数，即，可将全等式相加，即(4)f(a)f(b)(mod m )、f(x )是任意的整数系数多项式。 因为证明是m|(a-b )、m|(c-d )和m|(a-b)x (c-d)y )即m|(ax cy)-(bx dy ) )，所以是ax cybx dy(mod m )。 因为是(ab )、cd(mod m )，所以是m|(a-b )、m|(c-d )，然后是m|(a-b ) c (c-d )，所以是acbd(mod m )。 由于、(ab(mod m )，所以以a-b=mq的方式存在整数q。 因此，an-bn=(b MQ ) n-bn=(bn bn-1 (MQ ) 1B1 (MQ ) n-1 (MQ ) n )-bn=MP，其中p是整数。 所以anbn(mod m )。 (4)可以用(1)和(3)证明。 如果定理acbc(mod m )且(c，m)=d，则ab(mod m/d )是从(c，m)=d得到的(c/d，m/d)=1。 从ACBC (模量m )变为m|(ac-bc )，变为(m/d)|(a-b)