江苏数学3年高考2年模拟1年试题专题 1三角函数的图象与性质

1、第四章第四章三角函数三角函数 专题专题 1 1三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质 【三年高考】【三年高考】 1.【2016 高考江苏 9】定义在区间 10，3上的函数y sin 2x的图象与y cosx的图象的 交点个数是 . 2 【2013 江苏，理 1】函数y 3sin2x 的最小正周期为_ 4 3.【2014 江苏，理 5】已知函数y cosx与函数y sin(2x)(0 )，它们的图像 有一个横坐标为 的交点，则的值是. 3 4 【2016 高考新课标 1 卷改编】已知函数f (x) sin(x+)(0， 2 ),x 4 为 f (x)的零点,x 为 4 为y f (x)图像的对

2、称轴 ,且 f (x)在 5 ， 单调,则的最大值 18 36 5. 【2016 年高考四川理数改编】 为了得到函数y sin(2x)的图象， 只需把函数y sin 2x 的图象上所有的点向平行移动个单位长度 6 【2016 年高考北京理数】将函数y sin(2x 3 )图象上的点P(,t)向左平移（s 0） 34 个单位长度得到点 P，若P位于函数y sin2x的图象上，则t ，的最小值 为 7【2016 高考浙江理数】 已知 2cos2x+sin 2x=Asin(x+)+b(A0)， 则 A=_， b=_ 8. 【2016 高考新课标 3 理数】 函数y sin x 3cosx的图像可由函

3、数y sin x 3cosx 的图像至少向 右平移_个单位长度得到 1 9 【2016 高考新课标 1 文数改编】若将函数 y=2sin (2x+ )的图像向右平移 个周期后,所得图 64 像对应的函数为 10.【2016 高考天津文数改编】已知函数f (x) sin2 x11 sinx ( 0)，xR. 222 若f (x)在区间(,2)内没有零点，则的取值范围是 11 【2015 高考陕西，理 3】如图，某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足函数 y 3sin(x)k，据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为 6 _. 12.【2015 高考安徽，理10】已知函数f

4、x sinx（ ，均为正的常数） 的最小正周期为，当x 系是_. 13. 【2015 高考湖南，理9】将函数f (x) sin 2x的图像向右平移(0 到函数g(x)的图像，若对满足 f (x 1)g(x2 ) 2的x 1 ，x2，有x 1 x 2 2 时，函数f x取得最小值，则 f (2), f (0), f (2)的大小关 3 2 )个单位后得 3min ，则 _. 14.【2015 高考福建，理19】已知函数f(x)的图像是由函数g(x) =cos x的图像经如下变换 得到：先将g(x)图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2 倍（横坐标不变） ，再将所得到的图 像向右平移 p 个单位长度.

5、 2 ()求函数f(x)的解析式，并求其图像的对称轴方程； ()已知关于的方程f(x)+g(x) =m在0,2p)内有两个不同的解a,b （1)求实数 m 的取值范围； 2m2 - 1. （2)证明：cos(a - b) = 5 15.【2015 高考湖北，理 17】某同学用“五点法”画函数f (x) Asin(x ) ( 0, |)在 2 某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： x Asin(x ) 0 0 2 3 2 2 3 5 6 505 （）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置 ，并直接写出函数f (x)的解析式； （）将y f (x)图象上所有点向左平行移动(

6、0)个单位长度，得到y g(x)的图 象. 若y g(x)图象的一个对称中心为(5, 0)，求的最小值. 12 16 【2014 高考上海理科第 12 题】设常数 a 使方程sin x 3cos x a在闭区间 10,2 上恰有三个解x 1 ,x 2 ,x 3 ，则x 1 x 2 x 3 . 17. 【2014高考天津第15题】 已知函数f x cosxsin x （）求f x的最小正周期； （）求f x在闭区间 3 2 ，xR3cos x 34 , 上的最大值和最小值 4 4 【2017 年高考命题预测】 纵观近几年高考， 我们可以发现， 每年几乎所有的省都涉及到一道三角函数性质图像的题目，

7、 题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度属于中、低档；分值为5 分，或 12 分，高考 降低了对三角变换的考查要求， 而加强了对三角函数的图象与性质的考查， 因为函数的性质 是研究函数的一个重要内容， 是学习高等数学和应用技术学科的基础， 又是解决生产实际问 题的工具， 因此三角函数的图象与性质是本章复习的重点. 从今年的高考试题来看， 三角函 数的周期性,单调性,对称性,最值,图像变换等是高考的热点，常与三角恒等变换交汇命题， 在考查三角函数性质的同时， 又考查三角恒等变换的方法与技巧， 注重考查函数与方程、 转 化与化归等思想方法其特点如下：(1)考小题，重基础：小题其考查重点在于基础知

8、识： 解析式； 图象与图象变换； 两域(定义域、 值域)； 四性(单调性、 奇偶性、 对称性、 周期性) (2) 考大题，难度明显降低：有关三角函数的大题即解答题， 通过公式变形转换来考查思维能力 的题目已经很少， 而着重考查基础知识和基本技能与方法的题目却在增加 在复习时要充分 运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来， 即利用图象的直观性得出函数的性质， 或由 单位圆上线段表示的三角函数值来获得函数的性质， 同时也要能利用函数的性质来描绘函数 的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法. 预 测 2017 年高考仍将以三角函数的周期性、单调性、最值、奇偶性为

9、主要考点，重点考查运 算与恒等变换能力，江苏卷解答题第一题一般与三角函数有关 【20172017 年高考考点定位】年高考考点定位】 本节内容高考的重点就是利用三角函数性质，如奇偶性、单调性、周期性、对称性、有界性 及“五点作图法”等，求解三角函数的值、求参数、求最值、求值域、求单调区间等问题， 三角函数的图象主要考查其变换， 题型既有选择题也有填空题， 也有解答题， 难度中等偏下， 而小题目综合化是这部分内容的考查一种趋势. 【考点【考点 1 1】三角函数的图象与性质】三角函数的图象与性质 【备考知识梳理【备考知识梳理】 1.三角函数线 三角函数线是通过有向线段直观地表示出角的各种三角函数值的

10、一种图示方法.利用三角函 数线在解决比较三角函数值大小、解三角方程及三角不等式等问题时，十分方便. 以坐标原点为圆心，以单位长度 1 为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆（注意： 这个单位 长度不一定就是 1 厘米或 1 米）.当角为第一象限角时，则其终边与单位圆必有一个交点 P(x, y)，过点P作PM x轴交轴于点M，根据三角函数的定义：| MP | y |sin|； |OM | x|cos|. 我们知道，指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角的终边不在坐标轴时,以O 为始点、M为终点，规定：当线段OM与轴同向时，OM的方向为正向，且有正值；当 线段OM与轴反向时，OM的方向为负向，且

11、有正值；其中为P点的横坐标.这样,无论那 种情况都有：OM x cos 同理,当角的终边不在轴上时,以M为始点、P为终点， 规定：当线段MP与y轴同向时，MP的方向为正向，且有正值y；当线段MP与y轴反 向时，MP的方向为负向，且有正值y；其中y为P点的横坐标. 这样,无论那种情况都有MP y sin.像MP、OM这种被看作带有方向的线段，叫做 有向线段. 如上图,过点A(1,0)作单位圆的切线,这条切线必然平行于轴,设它与的终边交于点T,请 根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段OA、AT,我们有： tan AT y x 我们把这三条与单位圆有关的有向线段MP、OM、AT,分别叫

12、做角的正弦线、余弦线、 正切线，统称为三角函数线. 2.正弦函数y sin x,余弦函数y cosx,正切函数y tan x的图象与性质 性质 y sin x y cosxy tan x 图象 定义域RR x x k ,k Z 2 R值域 1,1 当x 2k 1,1 2 k Z时， 当x 2k kZ时， 最值 y max 1；当y max 1；当 既无最大值，也无最小值 x 2k 2 k Z时， x 2kkZ时， y min 1 周期性 奇偶性 y min 1 2 sinx sinx,奇函数 在 2 cosxcosx偶函数 tanx tanx奇函数 2k ,2k k Z在2k,2kkZ上 22

13、 是增函数；在 单调性上是增函数；在 在 3 2k ,2k k Z 是减函数22 上是减函数 对称中心k,0kZ 对称轴x k 对称性 形. 对称中心 2k,2kkZ上 k,k k Z 22 上是增函数 2 k Z， k,0 k Z 2 对称轴x k kZ，既是 中心对称又是轴对称图形. 对称中心 k ,0 k Z 2 既是中心对称又是轴对称图无对称轴，是中心对称但不 是轴对称图形. 3.（五点法） ，先列表，令x 0, 2 , 3 ,2，求出对应的五个的值和五个y值，再 2 根据求出的对应的五个点的坐标描出五个点， 再把五个点利用平滑的曲线连接起来， 即得到 y Asinxh在一个周期的图像

14、，最后把这个周期的图像以周期为单位，向左右 两边平移，则得到函数y Asinxh的图像. 【规律方法技巧】【规律方法技巧】 用“五点法”作图应抓住四条：将原函数化为y Asinxh A0, 0或 y AcosxhA0,0的形式；求出周期T 2 ；求出振幅A；列 出一个周期内的五个特殊点，当画出某指定区间上的图象时，应列出该区间内的特殊点 【考点针对训练】【考点针对训练】 1.已知是实数，则函数f (x) 1asinax的图象可能是下列 A、B、C、D 中的 2.函数f (x) lg |sin x|是_函数（填空奇或偶） ，它的最小正周期为 _. 【考点【考点 2 2】三角函数图象的变换】三角函

15、数图象的变换 【备考知识梳理【备考知识梳理】 1.函数图像的变换（平移变换和上下变换） 平移变换：左加右减，上加下减 把函数y f x向左平移0个单位，得到函数y fx的图像; 把函数y f x向右平移0个单位，得到函数y fx的图像; 把函数y f x向上平移0个单位，得到函数y fx 的图像; 把函数y f x向下平移0个单位，得到函数y fx 的图像. 伸缩变换: 把函数y f x图像的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的 1 ，得到函数 y fx01的图像; 把函数y f x图像的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的 1 ，得到函数 y fx1的图像; 把函数y f x图像的横坐标不变,纵坐标伸长

16、到原来的A ，得到函数y Af xA1 的图像; 把函数y f x图像的横坐标不变,纵坐标缩短到原来的A ，得到函数 y Afx0 A1的图像. 2.由y sin x的图象变换出y sinx 0的图象一般有两个途径，只有区别开 这两个途径，才能灵活进行图象变换.利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先 伸缩后平移也经常出现无论哪种变形， 请切记每一个变换总是对字母x而言， 即图象变换要 看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少. 途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将y sin x的图象向左0或向右 0平移 个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的 y sinx的图象 1 倍(0

17、)，便得 途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换：先将y sin x的图象上各点的横坐标变为原 来的 1 倍(0)，再沿轴向左( 0)或向右( 0)平移 | 个单位，便得 y sinx的图象. 注意： 函数y sin(x)的图象， 可以看作把曲线y sinx上所有点向左(当 0时) 或向右(当 0时)平行移动 【规律方法技巧】【规律方法技巧】 1. 在解决函数图像的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x, y变换”的原则，写 出每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错 2. 图像变换法若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移、翻折、对称得到，可利用 图像变换作出，但要注意变换顺

18、序对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形， 并应注意 平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响 3.解决图象变换问题时，要分清变换的对象及平移(伸缩)的大小，避免出现错误 4.特别提醒： 进行三角函数的图象变换时， 要注意无论进行什么样的变换都是变换变量本身. 【考点针对训练】【考点针对训练】 1. 【江苏省清江中学数学模拟试卷】将函数y sin x的图象向左平移(0 2)个单 位后，得到函数y sin(x 个单位长度而得到. 6 )的图象，则等于. 5 2下图是函数 yAsin(x)(xR)在区间， 上的图象，为了得到这个函数的 66 图象，只要将 ysinx(xR)的图象上所有的点

19、向_平移_个单位长度， 再把所得各点的横坐标_到原来的_倍，纵坐标不变. 【考点【考点 3 3】求三角函数解析式】求三角函数解析式 【备考知识梳理【备考知识梳理】 1. 由y Asinx的图象求其函数式： 已知函数y Asinx的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最 低点或特殊点求A；由函数的周期确定；确定常根据“五点法”中的五个点求解， 其中 一般把第一个零点 ,0 作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置 2.利用图象变换求解析式： 由y sin x的图象向左 0或向右0平移 个单位， ， 得到函数y sinx ， 将图象上各点的横坐标变为原来的 1 倍(0)，便得

20、y sinx，将图象上各点的 纵坐标变为原来的A倍(A0)，便得y Asinx. 【规律方法技巧】【规律方法技巧】 1.根据y Asinxh A0, 0的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方 面来考虑： 最高点最低点 (1)A的确定：根据图象的最高点和最低点，即A； 2 最高点最低点 (2)k的确定：根据图象的最高点和最低点，即k； 2 2 (3) 的确定：结合图象，先求出周期T，然后由T (0)来确定； (4)的确定：由函数y Asinxk最开始与x轴的交点的横坐标为 (即令 x 0，x )确定.将点的坐标代入解析式时，要注意选择的点属于“五点法” 中的哪一个点.“第一点” （即图象上升时

21、与 x 轴的交点）为x0 02k，其他依次 类推即可. 2.在图象变换过程中务必分清是先相位变换， 还是先周期变换 变换只是相对于其中的自变 量x而言的，如果x的系数不是 1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向 【考点针对训练】【考点针对训练】 1. 【淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市2016 届高三第二次调研】函数 f (x) 2sin(x ) ( 0)的部分图像如图所示，若AB 5，则的值为 y y A A 2 2 O O x x -2-2 B B 2.将函数y cos2x的图象向左平移 个单位， 得到函数y f xcosx 的图象， 则f x 4 的表达式是_.（填一个正确的

22、即可） 【考点【考点 4 4】三角函数的单调性】三角函数的单调性 【备考知识梳理【备考知识梳理】 1.三角函数的单调区间： 2k (k Z)，递减区间是y sin x的递增区间是 2k ， 22 3 2k ， 2k(k Z)； 22 2k(k Z)，递减区间是2k， 2k(k Z)，y cosx的递增区间是2k， y tanx的递增区间是 k ，k (k Z)， 22 2.复合函数的单调性 设y f u，u gx,xa,b,um,n都是单调函数，则 y f g x 在a,b上 也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为 增函数， “里外”函数增减性相反，复

23、合函数为减函数，如下表 y fu 增 u gx 增 y f g x 增 增 减 减 【规律方法技巧】【规律方法技巧】 减 增 减 减 减 增 1. 求形如y Asinx或y Acosx (其中 A0，0)的函数的单调区 间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：把“x (0)”视为 一个“整体”； A0(A0，0)图象 上的一个最高点和其相邻最低点的距离的最小值为_ 8【江苏省清江中学 2016 届高三上学期周练数学试题】 将函数y sin 2x的图象向左平移 （ 0）个单位，可得到函数y sin2x 的图象，则的最小值为 4 9 【江苏省启东中学 20152016 学年度第一学期第

24、一次阶段测试】如果若干个函数的图象 经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成”函数，给出下列函数： f 1(x) sin x cosx ；f 2 (x) 2sin x 2；f 3 (x) 2(sin x cos x)；f 4 (x) sin x； xxx f5(x) 2cos(sincos )，其中“互为生成”函数的有 （请填写序号） 222 10 【江苏省淮阴中学 2015-2016 学年度第一学期期中考试】如图， 点 P 从(1,0)出发，沿单 位圆按顺时针方向运动 弧长到达 Q 点，则 Q 点的坐标为 . 3 11 【广东省广州市 2015 届高三 1 月模拟】将函数y sin2x

25、6 的图象向左平移 个 6 单位，再向上平移个单位，所得图象的函数解析式是_. 12.【湖北省黄冈市 2015 届高三上学期元月调研考试数学】已知函数 f (x) sin(2x)(xR)下列结论错正确的是. 2 函数f (x)的最小正周期为 函数f (x)是偶函数 函数f (x)的图象关于直线x 函数f (x)在区间0, 4 对称 2 上是增函数 13. 【广东省佛山市第一中学2015 届高三期中】 已知函数f (x) 2sin(x)的图像如图 所示，则f 7 12 . 14.【长春市十一高中 2014-2015 学年度高三阶段性考试】将函数y y sin( sin(6 6x x 4 4 ) )的图象 上各点的横坐标伸长到原来的3 倍（纵坐标不变） ，再向右平移 一个对称中心是_.（填写一个正确的即可） 个单位，所得函数图像的 8 15.【2015 届新高考单科综合调研卷（浙江卷） （二） 】已知0，函数f (x) sin(x 在(,)上单调递减，则的取值范围是_. 6 ) 2 16.【2015 届新高考单科综合调研