函数的单调性与导数的关系上课_第1页
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文档简介

1、,函数的单调性与导数,函数 y = f (x) 在给定区间 G 上，当 x 1、x 2 G 且 x 1 x 2 时,函数单调性判定,单调函数的图象特征,1）都有 f ( x 1 ) f ( x 2 )，,则 f ( x ) 在G 上是增函数；,2）都有 f ( x 1 ) f ( x 2 )，,则 f ( x ) 在G 上是减函数；,若 f(x) 在G上是增函数或减函数，,增函数,减函数,则 f(x) 在G上具有严格的单调性。,G 称为单调区间,G = ( a , b ),一、复习引入:,单调性的概念：,对于给定区间上的函数f(x): 1.如果对于这个区间上的任意两个自变量x1,x2,当x12

2、时，f(x)在(，1)和(a1，)上单调递增，在(1，a1)上单调递减，由题意知：(1,4)(1，a1)且(6，)(a1，)， 所以4a16，即5a7.,解法二：(数形结合) 如图所示，f(x)(x1)x(a1)若在(1,4)内f(x)0，(6，)内f(x)0，且f(x)0有一根为1，则另一根在4,6上,解法三：(转化为不等式的恒成立问题) f(x)x2axa1.因为f(x)在(1,4)内单调递减，所以f(x)0在(1,4)上恒成立即a(x1)x21在(1,4)上恒成立，所以ax1，因为2x17，所以a7时，f(x)0在(6，)上恒成立由题意知5a7. 点评 本题是含参数单调性问题，是高考的重

3、点和热点，体现了数学上的数形结合与转化思想,解：由已知得,因为函数在（0，1上单调递增,变式,本题用到一个重要的转化：,练习1,0a4,在某个区间上， ，f（x）在这个区间上单调递增 （递减）；但由f（x）在这个区间上单调递增（递减）而仅 仅得到 是不够的。还有可能导数等于0也能使 f（x）在这个区间上单调，所以对于能否取到等号的问题需要 单独验证。,总结,补例：方程根的问题 求证：方程 只有一个根。,已知：x0，求证：xsinx. 解析 设f(x)xsinx (x0) f(x)1cosx0对x(0，)恒成立 函数f(x)xsinx在(0，)上是单调增函数 又f(0)0f(x)0对x(0，)恒成立 即：xsinx (x0),补例：不等式证明问题,小结：,1、函数单调性与其导数的正负关系；

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