高考数学复习全套课件 第八章 第二节 双曲线

1、掌握双曲线的定义、标准方程和双曲 线的简单几何性质,1双曲线的定义 (1)第一定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的 等于常数 2a(2a |F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线 (2)第二定义 平面内与一个定点F和一条 的距离的 比是常数e(e1)的动点C的轨迹叫做双曲线,差的绝对值,定直线l(F不在l上),|F1F2|，2a0时，则动点M的轨迹是什么？,提示：如果2a|F1F2|，则M的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线；如果2a|F1F2|，则轨迹不存在；如果2a0，则M的轨迹是线段F1F2的垂直平分线,2双曲线的标准方程和几何性质(如下表所示),2c,2c,(c,0),(c,0),(0，

2、c),(0，c),|x|a，yR,|y|a，xR,x轴,y轴,原点,(a,0)，(a,0),(0，a)，(0，a),A1A2,B1B2,2a,2b,e1,ex1a,ex1a,(ex1a),(ex1a),ey1a,ey1a,(ey1a),(ey1a),思考探究2 双曲线的离心率的大小与双曲线“开口”大小有怎样的关系？,提示：离心率越大，双曲线的“开口”越大,1双曲线 1的焦距为 ( ) A3 B4 C3 D4,解析：由已知得c2a2b212，c2 ， 故焦距为4 .,答案：D,2已知双曲线的离心率为2，焦点是(4,0)、(4,0)，则 双曲线方程为 ( ) A. 1 B. 1 C. 1 D. 1

3、,解析：由已知有c4，e 2，a2，b212. 双曲线方程为 1.,答案：A,3过双曲线x2y28的左焦点F1有一条弦PQ在左支上， 若|PQ|7，F2是双曲线的右焦点，则PF2Q的周长 是 ( ) A28 B148 C148 D8,解析：由双曲线定义知， |PF2|PF1|4 ，|QF2|QF1|4 ， |PF2|QF2|(|PF1|QF1|)8 ， 又|PF1|QF1|PQ|7， |PF2|QF2|78 ， PF2Q的周长为148 .,答案：C,4已知双曲线 y21，则其渐近线方程是_， 离心率e_.,解析：由 y20，得y x即为渐近线方程 又a2，b1，c ，e .,答案：y x,5若

4、双曲线的渐近线方程为y3x，它的一个焦点是 ( ， 0)，则双曲线方程是_,解析：由条件知，双曲线焦点在x轴上，且c ， 又 3，c2a2b210a210，a21，b29， 双曲线方程为x2 1.,答案：x2 1,1.在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的条件“差 的绝对值”，弄清是指整条双曲线，还是双曲线的哪一 支 2求双曲线标准方程的方法 (1)定义法，根据题目的条件，若满足定义，求出相应a、 b、c即可求得方程,(2)待定系数法 待定系数法的步骤 定位：确定焦点位置； 设方程：由焦点位置设方程； 定值：根据条件确定相关参数 待定系数法求双曲线方程的常用方法,与双曲线 =1共渐近线的可设

5、为 =（0）若渐近线方程为y= x，则可设为 =（0）若过两个已知点则设为 =1（mn0)的焦距为2c，直线l过点(a,0)和(0，b)，且点(1,0)到直线l的距离与点(1,0)到直线l的距离之和s c，求双曲线的离心率e的取值范围,思路点拨,课堂笔记 直线l的方程为 1，即bxayab0. 由点到直线的距离公式，且a1， 得点(1,0)到直线l的距离d1 同理可得点(1,0)到直线l的距离d2,sd1d2 又s c得 c，即5a 2c2， 于是得：5 2e2，即4e425e2250. 解得e2 ，5又e1，e的范围是e ,1.直线与双曲线的位置关系 设双曲线方程 1(a0，b0)， 直线A

6、xByC0， 将直线方程与双曲线方程联立，消去y得到关于x的方程 mx2nxp0， (1)若m0，当0时，直线与双曲线有两个交点 当0时，直线与双曲线只有一个公共点 当0，b0) 由已知得：a ，c2，再由a2b2c2，b21， 双曲线C的方程为 y21. (2)设A(xA，yA)、B(xB，yB)， 将ykx 代入 y21，,得：(13k2)x26 kx90. 由题意知 解得 k1. 当 k1时，l与双曲线左支有两个交点,(3)由(2)得：xAxB ， yAyB(kxA )(kxB )k(xAxB)2 . AB的中点P的坐标为 . 设直线l0的方程为：y xm， 将P点坐标代入直线l0的方程

7、，得m . k1，213k20)的左、右焦点分别为F1(c,0)、F2(c,0)若双曲线上存在点P使 ，则该双曲线的离心率的取值范围是_,【解析】 (由正弦定理得)， |PF1|e|PF2|. 又|PF1|PF2|2a(e1)， (e1)|PF2|2a， |PF2| .由双曲线性质知|PF2|ca， ca，即 e1，得e22e11，得10)右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，I为PF1F2的内心，若 成立，则的值为 ( ),A. B. C. D.,解析：设PF1F2的内切圆半径为R， S |PF1|R，S |PF2|R， S |F1F2|R， |PF1|PF2|F1F2|， |PF

8、1|PF2|F1F2|， ,答案：B,A. B. C. D.,1(2010合肥摸拟)已知双曲线 1(a0，b0)的 一条渐近线的方程为4x3y0，则此双曲线的离心率 为 ( ),解析：因为双曲线 1的一条渐近线的方程为4x3y0，所以 ，故双曲线的离心率e ,答案：D,2若双曲线 1(a0，b0)的右支上存在一点， 它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率 的取值范围是 ( ),A. (1, B. ,+) C.(1, +1 D. +1, +),解析：设右支上一点P(x0，y0)，P到左准线距离为：x0 P到右焦点距离为ex0a，x0 ex0a. x0a a.e22e10， 解得1 e1 ，

9、又e1，11)的两焦点为F1，F2，P在双曲线 上，且满足|PF1|PF2|2 ，则PF1F2的面积为 ( ) A1 B. C2 D4,解析：不妨设|PF1|PF2|，则|PF1|PF2|2 ， 又|PF1|PF2|2 ， |PF1| ，|PF2| . 又|F1F2|2 ，|PF1|2|PF2|2|F1F2|2， S |PF1|PF2|1.,答案：A,4过点(2，2)且与双曲线 y21有公共渐近线的双 曲线 方程是_,解析：由题意，设双曲线方程为 y2(0)， 由点(2，2)在双曲线上， 42， 所求双曲线方程为 1.,答案： 1,5P为双曲线x2 1右支上一点，M、N分别是圆 (x4)2y24和(x4)2y21上的点，则|PM| |PN|的最大值为_,解析：双曲线的两个焦点为F1(4,0)、F2(4,0)，为两个圆的圆心，半径分别为r12，r21，|PM|max|PF1|2，|PN|min|PF2|1，故|PM|PN|的最大值为(|PF1|2)(|PF2|1)|PF1|PF2|35.,答案：5,6直线yax1与双曲线3x2y21相交于A、B两点，O 为坐标原点 (1)若 0，求a的值； (2)若A、B在双曲线的左、右两支上，求a的取值范围,解：(1)由 消去y得 (3a2)x