2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文（全国卷I解析版）（通用）

1、20202020 年普通高等学校招生全国统一考试数学文（全国卷年普通高等学校招生全国统一考试数学文（全国卷 I I，解析版），解析版） 本试卷分第本试卷分第错误！未找到引用源。卷（选择题）和第卷（选择题）和第错误！未找到引用源。卷（非选择卷（非选择 题）两部分第题）两部分第错误！未找到引用源。卷卷 1 1 至至 2 2 页，第页，第错误！未找到引用源。卷卷 3 3 至至 4 4 页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 第第卷卷 注意事项：注意事项： 1 1答题前，考生在答题卡上务必用直径答题前，考生在答题卡上务必用直径 0.50.5 毫米黑色墨水签字笔将自

2、己的姓名、准考毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号、填写清楚证号、填写清楚 ，并贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目，并贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目 2 2每小题选出答案后，用每小题选出答案后，用 2 2铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号在试题卷上作答无效橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号在试题卷上作答无效 3 3本卷共本卷共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是分在每小题给出的四个选项

3、中，只有一项是 符合题目要求的符合题目要求的 参考公式：参考公式：如果事件互斥，那么球的表面积公式AB， ()( )( )P ABP AP B 2 4SR 如果事件相互独立，那么其中表示球的半径AB，R 球的体积公式()( )( )P A BP A P BAA 如果事件在一次试验中发生的概率是，那么AP 3 4 3 VR 次独立重复试验中恰好发生次的概率其中表示球的半径nkR ( )(1)(01,2) kkn k nn P kC PPkn ， 一、选择题一、选择题 （1）的值为 o 585sin (A) (B) (C) (D) 2 2 2 2 3 2 3 2 【解析】本小题考查诱导公式、特殊角

4、的三角函数值，基础题。 解：，故选择 A。 2 2 45sin)45180sin()225360sin(585sin oooooo (2)设集合 A=4，5，6，7，9 ，B=3，4，7，8，9 ，全集=AB，则集合u （AB）中的元素共有 (A) 3 个 （B） 4 个 （C）5 个 （D）6 个 【解析】本小题考查集合的运算，基础题。 （同理 1） 解：，故选故选 A A。也可用摩根。也可用摩根3,4,5,7,8,9AB 4,7,9()3,5,8 U ABCAB 律：律：()()() UUU CABC AC B （3）不等式的解集为 D 1 1 1 x x （A） （B）011xxx x

5、01xx （C） （D）10 xx 0 x x 【解析】本小题考查解含有绝对值的不等式，基础题。 解：，0040)1()1(|1|1|1 1 1 22 xxxxxx x x 故选择 D。 （4）已知 tan=4,cot=,则 tan(a+)=a 1 3 (A) (B) (C) (D) 7 11 7 11 7 13 7 13 【解析】本小题考查同角三角函数间的关系、正切的和角公式，基础题。 解：由题，故选择 B。3tan 11 7 121 34 tantan1 tantan )tan( （5）设双曲线的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的 22 22 00 xy ab ab 1 ， 2 1yx 离心

6、率等于 （A） （B）2 （C） （D）356 【解析】本小题考查双曲线的渐近线方程、直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线的离心率， 基础题。 解：由题双曲线的一条渐近线方程为，代入抛物线方程 22 22 00 xy ab ab 1 ， a bx y 整理得，因渐近线与抛物线相切，所以，即0 2 abxax04 22 ab ，故选择 C。55 22 eac （6）已知函数的反函数为，则( )f x( ) 10g xx2l gx )1()1(gf （A）0 （B）1 （C）2 （D）4 【解析】本小题考查反函数，基础题。 解：由题令得，即，又，所以，故1lg21 x1 x1)1( f1)1( g2)

7、1()1( gf 选择 C。 （7）甲组有 5 名男同学、3 名女同学；乙组有 6 名男同学、2 名女同学，若从甲、乙两组中 各选出 2 名同学，则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有 （A）150 种 （B）180 种 （C）300 种 （D）345 种 【解析】本小题考查分类计算原理、分步计数原理、组合等问题，基础题。 解：由题共有，故选择 D。345 2 6 1 3 1 5 1 2 1 6 2 5 CCCCCC （8）设非零向量、满足，则abccbacba |,| ba, （A）150B）120 （C）60 （D）30 【解析】本小题考查向量的几何运算、考查数形结合的思想，基

8、础题。 解：由向量加法的平行四边形法则，知、可构成菱形的两条相邻边，且、为起点处abab 的对角线长等于菱形的边长，故选择 B。 （9）已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为 111 ABCABC 1 AABC 的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为BCAB 1 CC (A) (B) (C) (D) 3 4 5 4 7 4 3 4 【解析】本小题考查棱柱的性质、异面直线所成的角，基础题。 （同理 7） 解：设的中点为 D，连结D，AD，易知即为异面直线与所成的角,BC 1 A 1 A AB AB 1 CC 由三角余弦定理，易知.故选 D 1 1 3 cocs 4 oscos AD

9、AD A ADDAB A A AB (10) 如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为3cos(2)yx 4 (,0) 3 (A) (B) (C) (D) 6 4 3 2 【解析】本小题考查三角函数的图象性质，基础题。 解: 函数的图像关于点中心对称 cos 2yx3 4 3 ，0 由此易得.故选 A 4 2 32 k 13 () 6 kkZ min | 6 （11）已知二面角为 600 ，动点 P、Q 分别在面内，P 到的距离为，Q 到 , 3 的距离为，则 P、Q 两点之间距离的最小值为2 3 【解析】本小题考查二面角、空间里的距离、最值问题，综合题。 （同理 10） 解:如图分别作

10、,QAA AClC PBB于于于 ，连 PDlD 于,60 ,CQ BDACQPBD 则 ，2 3,3AQBP2ACPD 又 222 122 3PQAQAPAP 当且仅当，即重合时取最小值。故答案选 C。 0AP AP点与点 （12）已知椭圆的右焦点为 F,右准线 ，点，线段 AF 交 C 于点 B。若 2 2 :1 2 x CylAl ,则=3FAFB AF (A) (B) 2 (C) (D) 323 【解析】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义，基础题。 解:过点 B 作于 M,并设右准线 与 X 轴的交点为 N，易知 FN=1.由题意,故BMll3FAFB .又由椭圆的第二定义,

11、得.故选 A 2 | 3 BM 2 22 | 233 BF |2AF 20202020 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（必修文科数学（必修选修选修） 第第卷卷 注意事项：注意事项： 1 1答题前，考生先在答题卡上用直径答题前，考生先在答题卡上用直径 0.50.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填 写清楚，然后贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目写清楚，然后贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目 2 2第第卷共卷共 7 7 页，请用直径页，请用直径 0.50.5 毫米黑色墨水签字

12、笔在答题卡上各题的答题区域内作答，毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答， 在试题卷上作答无效在试题卷上作答无效 3 3本卷共本卷共 1010 小题，共小题，共 9090 分分 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分把答案填在题中横线上分把答案填在题中横线上 （注意：在试题卷上作答无效）（注意：在试题卷上作答无效） （13）的展开式中，的系数与的系数之和等于_. 10 ()xy 73 x y 37 x y 【解析】本小题考查二项展开式通项、基础题。 （同理 13） 解: 因所以有 rrrr r yxCT 10 1

13、01 )1( 373 101010 ()2240CCC （14）设等差数列的前项和为。若，则_. n an n S 9 72S 249 aaa 【解析】本小题考查等差数列的性质、前项和，基础题。 （同理 14）n 解: 是等差数列,由,得 n a 9 72S 59 9,Sa 5 8a 。 2492945645 ()()324aaaaaaaaaa (15)已知为球的半径，过的中点且垂直于的平面截球面得到圆，若圆OAOOAMOAM 的面积为，则球的表面积等于_.M3O 【解析】本小题考查球的截面圆性质、球的表面积，基础题。 解：设球半径为，圆 M 的半径为，则，即由题得，Rr 3 2 r3 2 r

14、3) 2 ( 22 R R 所以。 1644 22 RR （16）若直线被两平行线所截得的线段的长为，m 12 :10:30lxylxy 与22 则的倾斜角可以是m 1530456075 其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号） 【解析】本小题考查直线的斜率、直线的倾斜角、两条平行线间的距离，考查数形结合的思 想。 解：两平行线间的距离为，由图知直线与的夹角为，的倾斜角2 11 |13| dm 1 l o 30 1 l 为，所以直线的倾斜角等于或。故填写或 o 45m 00 754530 o00 153045 o 三解答题：本大题共三解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 707

15、0 分分. .解答应写出文字说明解答应写出文字说明, ,证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤. . (17)(本小题满分 10 分)( (注意注意: :在试题卷上作答无效在试题卷上作答无效) ) 设等差数列的前项和为，公比是正数的等比数列的前项和为， n an n s n bn n T 已知的通项公式. 113333 1,3,17,12, nn ababTSb求a 【解析】本小题考查等差数列与等比数列的通项公式、前项和，基础题。n 解：设的公差为，数列的公比为，由题得 n ad n b0 q 解得 0 12)33(1 1721 2 2 q dqq qd 2 , 2 dq 。 11 221, 1

16、2)1(21 nn n bnnna (18)(本小题满分 12 分)（注意：在试用题卷上作答无效）（注意：在试用题卷上作答无效） 在中，内角 A、b、c 的对边长分别为 a、b、c.已知，且ABC 22 2acb ，求 b.sin4cossinBAC 【解析】本小题考查正弦定理、余弦定理。 解：由余弦定理得，Abcbcacos2 222 ，0,2 22 bbca ，即。bAbcb2cos2 2 2cos2 Acb 由正弦定理及得sin4cossinBAC ， c b C B A 2sin2 sin cos2 ，即。2 2 b b4 b (19)(本小题满分 12 分)（注决：在试题卷上作答无效

17、）（注决：在试题卷上作答无效） 如图，四棱锥中，底面为矩形，底面SABCDABCDSD ，点在侧棱上，。 ABCD2AD 2DCSDMSC ABM =60 （I）证明：是侧棱的中点；MSC 求二面角的大小。 （同理 18） SAMB 【解析】本小题考查空间里的线线关系、二面角，综合题。 （I）解法一：作交于 N，作交于 E，MNSDCDNEABAB 连 ME、NB，则面，,MN ABCDMEAB2NEAD 设，则,MNxNCEBx 在中，。RT MEB60MBE3MEx 在中由RT MNE 222 MENEMN 22 32xx 解得，从而 M 为侧棱的中点 M. 1x 1 2 MNSDSC 解

18、法二:过作的平行线.MCD （II）分析一分析一: :利用三垂线定理求解。在新教材中弱化了三垂线 定理。这两年高考中求二面角也基本上不用三垂线定理的方法求作 二面角。 过作交于,作交于,作MMJCDSDJSHAJAJH 交于,则,面,面HKAMAMKJMCDJM SAD 面,面即为所求二面角的补角.SADMBASH AMBSKH 法二法二：利用二面角的定义。在等边三角形中过点作交于点，ABMBBFAMAMF 则点为 AM 的中点，取 SA 的中点 G，连 GF，易证，则即为所求二面角.FGFAMGFB 解法二、解法二、分别以 DA、DC、DS 为 x、y、z 轴如图建立空间直角坐标系 Dxyz

19、，则 。)2 , 0 , 0(),2 , 0 , 0(),0 , 2 ,2(),0 , 0 ,2(SCBA （）设，则)0 , 0 )(, , 0 ( babaM ，)2, , 0 (), , 2 ,2(),0 , 2 , 0 ( baSMbaBMBA ，由题得)2, 2 , 0( SC S A B C D M z x y ，即 SCSM BMBA / 2 1 ,cos 解之个方程组得即 )2(22 2 1 2)2(2 )2(2 22 ba ba a 1, 1 ba)1 , 1 , 0(M 所以是侧棱的中点。MSC 法 2：设，则MCSM ) 1 2 , 1 2 , 2(), 1 2 , 1

20、2 , 0( MBM 又 o ABMBAB60,),0 , 2 , 0( 故，即 o ABMBABMB60cos| ，解得， 22 ) 1 2 () 1 2 (2 1 4 1 所以是侧棱的中点。MSC （）由（）得，又，)1, 1,2(),1 , 1 , 0( MAM)2 , 0 ,2( AS ，)0 , 2 , 0( AB 设分别是平面、的法向量，则),(),( 22221111 zyxnzyxn SAMMAB 且，即且 0 0 1 1 ASn MAn 0 0 1 2 ABn MAn 022 02 11 111 zx zyx 02 02 2 222 y zyx 分别令得，即2 21 xx2

21、, 0 , 1, 1 2211 zyyz ，)2 , 0 ,2(),1 , 1 ,2( 21 nn 3 6 62 202 ,cos 21 nn 二面角的大小。SAMB 3 6 arccos (20)（本小题满分 12 分） （注意：在试题卷上作答无效）（注意：在试题卷上作答无效） 甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜利，比赛结束。假设 在一局中，甲获胜的概率为 0.6，乙获胜的概率为 0.4，各局比赛结果相互独立。已知前 2 局中，甲、乙各胜 1 局。 （）求再赛 2 局结束这次比赛的概率； （）求甲获得这次比赛胜利的概率。 【解析】本小题考查互斥事件有一个发生的概率

22、、相互独立事件同时发生的概率，综合 题。 解：记“第 局甲获胜”为事件， “第局甲获胜”为事件。i)5 , 4 , 3( iAij)5 , 4 , 3( jBi （）设“再赛 2 局结束这次比赛”为事件 A，则 ，由于各局比赛结果相互独立，故 4343 BBAAA )()()()()()()()( 434343434343 BPBPAPAPBBPAAPBBAAPAP 。52 . 0 4 . 04 . 06 . 06 . 0 （）记“甲获得这次比赛胜利”为事件 B，因前两局中，甲、乙各胜 1 局，故甲获得 这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜 2 局，从而 ，由于各局比赛结果相互独立，故

23、54354343 ABAAABAAB )()( 54354343 ABAAABAAPBP 648 . 0 6 . 04 . 06 . 06 . 06 . 04 . 06 . 06 . 0 )()()()()()()()( )()()( 54354343 54354343 APBPAPAPAPBPAPAP ABAPAABPAAP （21） （本小题满分 12 分） （注意：在试题卷上作答无效）（注意：在试题卷上作答无效） 已知函数. 42 ( )36f xxx （）讨论的单调性；( )f x （）设点 P 在曲线上，若该曲线在点 P 处的切线 通过坐标原点，求 的方( )yf xll 程 【解析

24、】本小题考查导数的应用、函数的单调性，综合题。 解：（）) 2 6 )( 2 6 (464)( 3 xxxxxxf 令得或；0)( xf0 2 6 x 2 6 x 令得或0)( xf 2 6 x 2 6 0 x 因此，在区间和为增函数；在区间和 xf) 0 , 2 6 ( ), 2 6 ( ) 2 6 ,( 为减函数。) 2 6 , 0 ( （）设点，由 过原点知， 的方程为，)(,( 00 xfxPllxxfy)( 0 因此，即，整理得xxfxf)()( 00 0)64(63 0 3 00 2 0 4 0 xxxxx ，解得或。0)2)(1( 2 0 2 0 xx2 0 x2 0 x 所以的

25、方程为或 xy2 xy2 (22)（本小题满分 12 分） （注意：在试题卷上作答无效）（注意：在试题卷上作答无效） 如图，已知抛物线与圆相交于 A、B、C、D 四个 2 :E yx 222 :(4)(0)Mxyrr 点。 （）求 r 的取值范围 （）当四边形 ABCD 的面积最大时，求对角线 AC、BD 的交点 P 的坐标。 解：解：（）将抛物线代入圆的方程，消去，整理 2 :E yx 222 :(4)(0)Mxyrr 2 y 得 （1） 22 7160 xxr 抛物线与圆相交于、四个点的 2 :E yx 222 :(4)(0)MxyrrABCD 充要条件是：方程（1）有两个不相等的正根 即。解这个方程组得 016 07 0)16(449 2 21 21 2 rxx xx r 44 2 5 2 5 r rr或 或 4 2 5 r . 15 (,4) 2 r （II） 设四个交点的坐标分别为、 11 ( ,)A xx 、