2020年普通高考数学一轮复习 第25讲 平面向量的概念及运算精品学案（通用）

1、2020年，高考数学系评审了优秀案例第25讲平面向量的概念和运算1.课程标准要求：(1)平面向量的实际背景和基本概念通过力和力分析等例子，我们可以了解向量的实际背景，了解平面向量和向量等式的含义，并了解向量的几何表示；(2)向量的线性运算(1)通过实例，掌握向量的加减运算，并了解其几何意义；(2)通过实例，掌握矢量数乘法运算，了解其几何意义和两个矢量共线性的意义；了解向量的线性运算性质及其几何意义。(3)平面向量的基本定理和坐标表示(1)理解平面向量的基本定理及其意义；掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；坐标将用于表示平面向量的加法、减法和乘法；理解用坐标表示的平面矢量的共线条件。二。命题趋势

2、这个讲座的内容属于平面向量的基本内容。与平面向量的量积相比，问题的数量更少。本章用选择题和填空题来研究基本概念和性质，重点是向量的概念、向量的几何表示、向量的加减、实数与向量的乘积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算等。这种问题不难，分数为59分。预测2020年高考：(1)问题类型可以是一个选择题或一个填空题；(2)知识点可以是由平面图形表示的平面向量、由基向量表示的交点或由向量坐标表示的共线性。三。亮点1.向量的概念向量一个既有大小又有方向的量。向量通常由表示，或者由有向线段的开始和结束的大写字母表示，例如几何表示；坐标符号。向量的大小是向量的模数(长度)，表示为| |。向量不能比较大小

3、，但是向量的模数可以比较大小。零向量长度为0的向量，表示为，其方向是任意的并且平行于任何向量，是零向量=| |=0。因为的方向是任意的，并且被指定为平行于任何向量，所以有必要在向量平行性(共线性)问题中查看是否存在“非零向量”的条件。(注意与0的差异)单位向量该模块是一个单位长度向量，该向量是一个单位向量| |=1。平行向量(共线向量)方向相同或相反的非零向量。任何一组平行矢量都可以移动到同一条直线上，方向相同或相反的矢量称为平行矢量，标为。由于矢量可以任意平移(即自由矢量)，平行矢量总是可以平移到同一条直线上，因此平行矢量也称为共线矢量。数学研究的向量是一个自由向量，只有大小和方向两个元素，

4、起点可以任意选择。现在我们必须区分共线矢量中的“共线”和几何中的“共线”的含义，并且理解平行矢量中的“平行”不同于几何中的“平行”。等向量具有相同长度和方向的相等向量在平移后总是重合的，这表示为。在面积和方向上是相等的。2.向量的运算(1)向量加法求两个向量之和的运算叫做向量加法。设置，然后=。规定：(1)；(2)向量加法满足交换定律和组合定律；向量加法的“三角形法则”和“平行四边形法则”(1)当使用平行四边形法则时，两个已知向量应该共享起点，并且和向量是其起点与已知向量的起点重合的对角线，而差向量是另一条对角线，并且方向是从递减向量到递减向量。(2)三角形法则的特征在于“端到端连接”，从第一

5、个向量的起点到最后一个向量的终点的有向线段代表这些向量的总和；差向量从减去的向量的端点指向子向量的端点反向向量：长度相等方向相反的向量，称为反向向量。记住，零向量的反向量仍然是零向量。有：(一)=；(ii)()=()=；(iii)如果，是相互相反的向量，=，=，=。向量减法向量相加的反向量称为和之间的差。注意：找出两个向量之间差异的运算称为向量减法。作图法：可表示为从(，有一个共同的起点)的终点指向的向量。(3)实数和向量的乘积(1)实数和向量的乘积是向量，其长度和方向规定如下：(一)；(2)当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，方向是任意的。数乘向量满足交换定律、组合定律

6、和分布定律。3.两个向量共线定理：该向量与非零向量共线，并且只有一个实数，因此=。4.平面向量的基本定理如果一个平面上有两个不共线的向量，那么这个平面上的任何向量都只有一对实数：不共线的向量称为一组表示这个平面上所有向量的基。5.平面向量的坐标表示(1)平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，以x轴和y轴方向相同的两个单位向量为基，这是由平面向量的基本定理可知的。这个平面上的任何向量都可以表示为(x，y ),这被称为向量坐标as=(x，y ),因为它一一对应于数对(x，y)。规定：(1)相等的向量具有相同的坐标，并且具有相同坐标的向量是相等的向量；(2)矢量的坐标与代表矢量的有向线段的起点和终点的

7、具体位置无关，而只与它们的相对位置有关。(2)平面向量的坐标运算：(1)如果，那么；(2)如果是，那么；如果=(x，y)，则=(x，y)；如果，那么。四.典型案例分析问题1:平面向量的概念例1。(1)给出以下命题：如果| |=| |，则=；如果A、B、C和D是四个不共线的点，四边形ABCD是平行四边形的一个充要条件；如果=，=，则=；=当且仅当| |=| |和/；如果/，/，则/；正确的序列号在哪里？(2)将其设置为单位向量，(1)如果它是平面上的向量，则=| |；(2)如果它平行于a0，=| |；(3)如果平行于并且|=1，则=。在上述命题中，错误命题的数量是()A.0B.1C.2D.3分析

8、：(1)不正确。两个矢量长度相同，但它们的方向不一定相同；正确；*和，a、b、c和d是四个不共线的点，四边形ABCD是平行四边形；相反，如果四边形ABCD是平行四边形，那么，因此。正确；，有相同的长度和相同的方向；和=，有相同的长度和相同的方向。，长度相等，方向相同，所以=0。不正确；当/与方向相反时，即使| |=| |，=也不能得到，所以| |=| |与/不是=，的一个充要条件，而是一个充要条件。不正确；考虑=这种特殊情况；总而言之，正确命题的序号是 。评论：这个例子主要回顾了向量的基本概念。向量有许多基本概念，所以很容易忘记。因此，在复习时，一方面，我们应该建立一个良好的知识结构，另一方面

9、，我们应该善于与物理和生活中的模型进行类比和联想。(2)向量是一个既有大小又有方向的量，它与| |模相同，但方向不一定相同，所以(1)它是一个伪命题；如果它是平行的，有两种情况有方向：一个是在同一个方向，另一个是在相反的方向，并且在相反的方向=-| |，所以(2)和(3)也是假命题。总而言之，答案是d。点评：向量的概念很多，容易混淆。因此，在学习中，我们应该区分和理解每个概念的本质，并注意区分共线向量、平行向量和同向向量。问题2:平面向量算法例2。(1)如图所示，已知正六边形ABCDEF，o是它的中心。如果=，=，尝试，并表示向量、(2)(06上海李，13)如图所示，在平行四边形ABCD中，下

10、列结论中的误差是()A.=B.+=C.-=D.+=(3)(06广东，4)如图1所示，D是ABC边AB的中点，然后是矢量()A.B.C.D.(1)分析：根据向量加法的平行四边形法则和向量减法的三角形法则，其他向量由向量表示，只要它们是平行四边形或三角形的边。因为六边形ABCDEF是正六边形，它的中心o和顶点a，b和c构成一个平行四边形ABCO。所以，=，=，四个点a，b，o和f也形成一个平行四边形ABOF，所以=2。类似地，在平行四边形BCDO中，=()=2，=-。备注：实际上，七个点A、B、C、D、E、F和O中的任意两点都可以作为起点和终点，并且可以指定任意两个向量都是，任意两点都可以作为起点

11、和终点。(2)C(3)因此，选择了A。例3。让a，b，c，d和o是平面上的任意五个点，并试着简化：，.分析：原始公式=；原始公式=；原始公式=。例4:让未知向量成为已知向量，并求解方程2-(5 3-4)-3=0分析：原始方程可以简化为：(2-3) (-5) (4-3)=0。=.注释：平面向量的乘法类似于代数中的实数和未知数的算法，求解时要考虑向量的性质。问题3:平面向量的坐标和运算例5。在已知情况下，a (2，-1)、B(3，2)、c (-3，1)和BC边缘的高度为AD。分析：让D(x，y)，然后必须所以。例6。如果你知道一个点，试着用向量法找出一条直线和(作为坐标原点)的交点的坐标。分析：如

12、果，那么因为它是和的交点，所以它也在一条直线上。就这样，就这样。得到方程，得到解。因此，直线和的交点的坐标是。问题4:平面向量的性质例7。给定平面上的三个向量，回答以下问题：(1)求出实数m，n；(2)如果，实际数是k；(3)如果满意，就提出要求。分析：(1)从问题的意义出发，去理解它。(2)，；(3)从问题中得到，得到，或从问题中得到。例8。已知的(1)寻求；(2)当它们是实数时，当它们彼此平行时，它们是在同一个方向上还是在相反的方向上？分析：(1)因为因此然后(2)，因为它是平行的，所以它是获得的。此时，矢量与方向相反。备注：以上两个例子重点分析了平面矢量性质在坐标运算中的体现，重点掌握了

13、平面矢量共线性的确定及平面矢量模数的计算方法。问题5:共线矢量定理和平面矢量基本定理例9。在平面直角坐标系中，o是坐标的原点，已知两点a (3，1)和b (-1，3)。如果满足点c，其中，R和 =1，那么点c的轨迹方程是()a3 x 2y-11=0 b .(x-1)2(y-2)2=5C.2x-y=0 D.x 2y-5=0解决方案1:假设。用，因此，第一次淘汰，将得到。然后消除它，所以选择d。解答2:根据平面向量的共线定理，当，当，A，B和C共线。因此，点c的轨迹是直线AB，d可以从两点直线方程得到。备注：精通使用向量加法、减法、实数与向量乘积的坐标算法；两个平行矢量的坐标表示；利用向量的坐标表

14、示，向量的运算是完全代数的，数与形有机结合。例10。(1)已知=1，=，=0，点c在AOB内，且AOC=30，设=m n(m，nR)。A.公元前3世纪ABOM数字(2)如图：OMAB，点p在射线OM、线段OB和AB延长线包围的阴影区域(不包括边界)，实数对(x，y)可以是()A.B.C.D.分析：(1)乙；(2)C .问题6:平面向量合成问题例11。已知向量和之间的对应关系用。(1)证明了对于任何向量和常数m，n总是成立的；(2)设置并找到矢量和的坐标；(3)求向量的坐标(p，q是常数)分析：(1)如果，那么，因此.,(2)从已知=(1，1)，=(0，-1)(3)让=(x，y)，然后，Y=p，

15、x=2p-q，即=(2p-q，p)。例12。验证：对于起点相同的三个非零向量，3-2的终点在同一条直线上。证明：让起点是o，=，=，=3-2，然后=2 (-)，=-，因此，a、b和c共线。也就是说，向量3-2的端点在同一条线上。备注：(1)用向量平行度证明三点共线需要分两步完成：证明向量平行度；解释两个向量有共同点；用向量平行度证明两条线段平行也需要分两步完成：证明向量平行度；两个向量没有共同点。V.思维总结数学教科书是学习数学基础知识和形成基本技能的“蓝图”。能力是在传授知识和学习的过程中培养和发展的。新课程试卷中平面向量的一些问题与教材中的例题相同或相似。虽然这只是几个小问题，但对学习有指导意义，重视教材在教学中的使用应该起到不可估量的作用。因此，在学习阶段，在掌握教材的基础上，应该按照一定的观点和方法将所有的地方性知识组织成一个整体，形成一个知识体系。在这一章中，我们主要建立了数与形的变换与组合的观点。我们使用几代形状，用形状观察数字，用代数运算