高考数学(文)二轮专题突破：专题五 第1讲 直线与圆

1、第第 1 1 讲讲直线与圆直线与圆 【高考考情解读】本讲考查重点是直线间的平行和垂直的条件、 与距离有关的问题直线 与圆的位置关系(特别是弦长问题)，此类问题难度属于中等，一般以填空题的形式出现，有 时也会出现解答题，多考查其几何图形的性质或方程知识 1 直线方程的五种形式 (1)点斜式：yy1k(xx1)(直线过点 P1(x1，y1)，且斜率为 k，不包括 y 轴和平行于 y 轴的直线) (2)斜截式：ykxb(b 为直线 l 在 y 轴上的截距，且斜率为 k，不包括 y 轴和平行于 y 轴的直线) yy1xx1 (3)两点式：(直线过点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且 x1x2

2、，y1y2，不包括 y2y1x2x1 坐标轴和平行于坐标轴的直线) xy (4)截距式： 1(a、b 分别为直线的横、纵截距，且 a0，b0，不包括坐标轴、 ab 平行于坐标轴和过原点的直线) (5)一般式：AxByC0(其中 A，B 不同时为 0) 2 直线的两种位置关系 当不重合的两条直线 l1和 l2的斜率存在时： (1)两直线平行 l1l2k1k2. (2)两直线垂直 l1l2k1k21. 提醒当一条直线的斜率为 0，另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直，此种情形 易忽略 3 三种距离公式 (1)A(x1，y1)，B(x2，y2)两点间的距离：AB x2x12y2y12. |Ax0B

3、y0C| (2)点到直线的距离：d(其中点 P(x0，y0)，直线方程为：AxByC0) A2B2 (3)两平行线间的距离：d AxByC20) 提醒应用两平行线间距离公式时，注意两平行线方程中x，y 的系数应对应相等 4 圆的方程的两种形式 (1)圆的标准方程：(xa)2(yb)2r2. (2)圆的一般方程：x2y2DxEyF0(D2E24F0) 5 直线与圆、圆与圆的位置关系 (1)直线与圆的位置关系：相交、相切、相离，代数判断法与几何判断法 (2)圆与圆的位置关系：相交、相切、相离，代数判断法与几何判断法. |C2C1| A2B2(其中两平行线方程分别为 l1：AxByC10.l2： 考

4、点一直线的方程及应用 1 例 (1)过点(5,2)，且在 y 轴上的截距是 在 x 轴上的截距的 2 倍的直线方程是_ (2)若直线l1： xay60与l2： (a2)x3y2a0平行， 则l1与l2间的距离为_ 8 2 答案(1)2xy120 或 2x5y0(2) 3 xy 解析(1)当直线过原点时方程为2x5y0， 不过原点时， 可设出其截距式为 1， a2a 再由过点(5,2)即可解出 2xy120. (2)由 l1l2， 知 3a(a2)且 2a6(a2)，2a218， 求得 a1， 2 所以 l1： xy60， l2： xy0， 两条平行直线 l1与 l2间的距离为 d 3 8 2.

5、 3 62 3 1212 (1)要注意几种直线方程的局限性点 斜式、 两点式、 斜截式要求直线不能与x 轴垂直 而截距式方程不能表示过原点的直线， 也不能表示垂直于坐标轴的直线 (2)求解与两条直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两条直线平行或垂直的充要 条件，即“斜率相等”或“互为负倒数”若出现斜率不存在的情况， 可考虑用数形结 合的方法去研究 (1)直线 l1：kx(1k)y30 和 l2：(k 1)x(2k3)y20 互相垂直，则 k_. (2)过点 (1,0)且倾斜 角是直 线 x 2y1 0 的倾 斜角的两 倍的直线方 程是 _ 答案(1)3 或 1(2)4x3y40 解析(1)l

6、1l2，k(k1)(1k)(2k3)0， 解得 k13，k21.k3 或 1. (2)设直线 x2y10 的倾斜角为 ，则所求直线的倾斜角为2. 1 由已知得 tan ， 2 1 22 42tan 则 tan 2 ， 1tan2 112 3 2 4 所以所求直线方程为 y0 (x1)， 3 即 4x3y40. 考点二圆的方程及应用 例 2(1)已知圆 C 过点(1,0)，且圆心在 x 轴的正半轴上直线 l：yx1 被圆 C 所截得的弦长为 2 2，则过圆心且与直线 l 垂 直的直线的方程为_ (2)已知 A(2,0)，B(0,2)，实数 k 是常数，M，N 是圆 x2y2kx0 上两个不同点，

7、P 是圆 x2y2kx0 上的动点，如果M，N 关于直线 xy10 对称，则PAB 面积的 最大值是_ 答案(1)xy30(2)3 2 解析(1)设圆心坐标为(x0,0)(x00)，由于圆过点(1,0)，则半径 r|x01|.圆心到直线 l |x01|x01| 2 的距离为 d .由弦长为 2 2可知 (x01)22，整理得(x01)24. 2 2 x012，x03 或 x01(舍去) 因此圆心为(3,0)，由此可求得过圆心且与直线yx1 垂直的直线方程为 y(x3)， 即 xy30. kk (2)依题意得圆 x2y2kx0 的圆心( ，0)位于直线 xy10 上，于是有 1 22 0，即 k

8、2，因此圆心坐标是(1,0)，半径是 1.由题意可得 AB2 2，直线 AB 的方程 是 |102| 3 2xy 1，即 xy20，圆心(1,0)到直线 AB 的距离等于，点 P 2 22 2 3 22 3 21 1， PAB面积的最大值为 2 2 3 2. 222 到直线AB的距离的最大值是 圆的标准方程直接表示出了圆心和半 径，而圆的一般方程则表示出了曲线与二元二次方程的关系， 在求解圆的方程时，要根 据所给条件选取适当的方程形式解决与圆有关的问题一般有两种方法：(1)几何法， 通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程； (2) 代数法，即用待定系数法先设出圆

9、的方程，再由条件求得各系数 (1)已知圆 C： x2(y3)24， 过点 A( 1,0)的直线l与圆C相交于P、 Q两点， 若PQ2 3， 则直线l的方程为_ (2)已知圆 C 的圆心与抛物线 y24x 的焦点关于直线 yx 对称，直线 4x3y20 与 圆 C 相交于 A，B 两点，且 AB6，则圆 C 的方程为_ 答案(1)x1 或 4x3y40(2)x2(y1)210 解析(1)当直线 l 与 x 轴垂直时，易知 x1 符合题意； 当直线 l 与 x 轴不垂直时，设直线 l 的方程为 yk(x1)，线段 PQ 的中点为 M，由于 PQ2 3，易得 CM1. |3k| 44 又 CM1，解

10、得 k ，此时直线 l 的方程为 y (x1)故所求直线 l 的方 33 k21 程为 x1 或 4x3y40. (2)设所求圆的半径是 r，依题意得，抛物线 y24x 的焦点坐标是(1,0)，则圆 C 的圆心 |40312| AB 坐标是(0,1)， 圆心到直线 4x3y20 的距离 d1， 则 r2d2( )2 2 4232 10，故圆 C 的方程是 x2(y1)210. 考点三直线与圆、圆与圆的位置关系 例 3 中，点 A(0,3)，直线 l：y 2x4.设圆 C 的半径为 1，圆心在 l 上 (2013江苏)如图， 在平面直角坐标系 xOy (1)若圆心 C 也在直线 yx1 上，过点

11、 A 作圆 C 的切线，求切线的 方程； (2)若圆 C 上存在点 M，使 MA2MO，求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围 解(1)由题设，圆心 C 是直线 y2x4 和 yx1 的交点，解得点 C(3,2)， 于是切线的斜率必存在 设过 A(0,3)的圆 C 的切线方程为 ykx3， 由题意， |3k1| k21 3 1，解得 k0 或 ， 4 故所求切线方程为 y3 或 3x4y120. (2)因为圆心在直线 y2x4 上，所以圆 C 的方程为 (xa)2y2(a2)21. 设点 M(x，y)，因为MA2MO，所以x2y322x2y2，化简得x2y22y3 0，即 x2(y1)24，所以

12、点 M 在以 D(0，1)为圆心，2 为半径的圆上 由题意，点 M(x，y)在圆 C 上，所以圆 C 与圆 D 有公共点，则 21CD21， 即 1a22a323. 由 5a212a80，得 aR ； 由 5a212a0，得 0a12. 5 12 0， . 所以点 C 的横坐标 a 的取值范围为 5 (1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系 时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径， 减少运算量研究直线与 圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离和半径的比较实现， 两个圆的位置关系判断依 据两个圆心距离与半径差与和的比较 (2)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等

13、于半径”建 立切线斜率的等式， 所以求切线方程时主要选择点斜式 通过过圆外一点的圆的切线条 数可以判断此点和圆的位置关系 过圆外一点求解切线长转化为圆心到圆外点距离利用 勾股定理处理 (1)(2013江西改编)过点( 2，0)引直线 l 与曲线 y 1x2相交于 A、B 两点，O 为坐标原点，当AOB 的面积取最大值时， 直线 l 的斜率等于_ (2)(2013重庆改编)已知圆 C1：(x2)2(y3)21，圆C2：(x3)2(y4)29，M，N 分别是圆 C1，C2上的动点，P 为 x 轴上的动点，则 PMPN 的最小值为_ (3)(2013山东改编)过点 P(3,1)作圆(x1)2y21

14、的两条切线，切点分别为 A，B，则直 线 AB 的方程为_，PAB 的外接圆方程为_ 答案(1) 315 (2)5 24(3)2xy30(x2)2(y )2 324 1 解析(1)SAOB OAOBsinAOB 2 11 sinAOB . 22 当AOB 时，S AOB 面积最大 2 此时 O 到 AB 的距离 d 2. 2 设 AB 方程为 yk(x 2)(k0)上有且只有两个点到直线xy20 的距离为 1，则实数r 的取值 范围是_ 答案( 21， 21) 解析注意到与直线 xy20 平行且距离为 1 的直线方程分别是 xy2 20、 xy2 20，要使圆上有且只有两个点到直线 xy20

15、的距离为 1，需满足在 两条直线 xy2 20、 xy2 20 中， 一条与该圆相交且另一条与该圆相离， | 22|2 2| 所以 r ，即 21r 21. 22 2 过点 O(0,0)作直线与圆 C：(x4 5)2(y8)2169 相交，在弦长均为整数的所有直线 中，等可能地任取一条直线，则弦长不超过14 的概率为_ 答案 9 32 解析已知圆 C 的半径为 13，C(4 5，8)， CO4 52821213， O 点在圆 C 的内部，且圆心到直线的距离d0,12， 直线截圆所得的弦长 AB2r2d210,26，其中最短和最长的弦各有一条，长为 11 到 25 的整数的弦各有两条，共有32

16、条，其中弦长不超过 14 的有 189(条)， 9 所求概率 P. 32 (推荐时间：70 分钟) 一、填空题 1“a0”是“直线l1： (a1)xa2y30与直线l2： 2xay2a10平行”的_ 条件 答案充要 解析当 a0 时，l1：x30，l2：2x10， 此时 l1l2，所以“a0”是“直线 l1与 l2平行”的充分条件 当 l1l2时，a(a1)2a20，解得 a0 或 a1. 当 a1 时，l1：2xy30，l2：2xy30， 此时，l1与 l2重合，所以 a1 不满足题意，即 a0. 所以“a0”是“直线 l1l2”的必要条件 2 已知两条直线 a1xb1y10 和 a2xb2

17、y10 都过点 A(1,2)，则过两点 P1(a1，b1)， P2(a2，b2)的直线方程为_ 答案x2y10 解析因为两条直线经过点 A(1,2)， 所以 a12b110，a22b210， 由于 P1(a1，b1)，P2(a2，b2)都适合方程 x2y10， 故所求直线方程为 x2y10. 3 (2013广东改编)垂直于直线 yx1 且与圆 x2y21 相切于第一象限的直线方程是 _ 答案xy 20 解析与直线 yx1 垂直的直线设为：xyb0. 则 |b| r1，所以|b| 2，又相切于第一象限， 2 所以 b 2. 4 已知圆 C 关于 y 轴对称，经过点(1,0)且被 x 轴分成两段弧

18、长比为 12，则圆 C 的方程 为_ 34 答案x2(y)2 33 2 解析由已知圆心在 y 轴上，且被 x 轴所分劣弧所对圆心角为 ，设圆心(0，a)，半径 3 为 r， 则 rsin1，rcos|a|， 33 解得 r 243 ，即 r2 ，|a|， 33 3 334 即 a，故圆 C 的方程为 x2(y )2. 333 5 设 P 为直线 3x4y30 上的动点，过点 P 作圆 C：x2y22x2y10 的两条切 线，切点分别为 A，B，则四边形 PACB 的面积的最小值为_ 答案3 解析依题意，圆C：(x1)2(y1)21 的圆心是点 C(1,1)，半径是1，易知PC 的最 小值等于圆

19、心 C(1,1)到直线 3x4y30 的距离，即 1 于 2S PAC2( PAAC)PAACPA 2 是221 3. 102，而四边形PACB 的面积等 5 PC21，因此四边形 PACB 的面积的最小值 6 两个圆 C1：x2y22axa240(aR R)与 C2：x2y22by1b20(bR R)恰有三条 公切线，则 ab 的最小值为_ 答案3 2 解析两个圆恰有三条公切线，则两圆外切，两圆的标准方程为圆C1：(xa)2y24， 圆 C2：x2(yb)21， 所以 C1C2 即 a2b29. aba2b2 由( )2 得(ab)218，所以3 2ab3 2，当且仅当 “ab”时取 22

20、“” 7 已知直线 l1与圆 x2y22y0 相切，且与直线 l2：3x4y60 平行，则直线 l1的方 程是_ 答案3x4y10 或 3x4y90 解析依题意，设所求直线l1的方程是 3x4yb0，则由直线l1与圆 x2(y1)21 |b4| 相切，可得圆心(0，1)到直线 3x4yb0 的距离为 1，即有1，解得b1 5 或 b9.因此，直线 l1的方程是 3x4y10 或 3x4y90. a2b2213， 8 (2013山东)过点(3,1)作圆(x2)2(y2)24 的弦，其中最短弦的长为_ 答案2 2 解析由题意知，当弦的中点与圆心的连线与弦垂直时弦长最短，此 时，点(3,1)为弦的中

21、点，如图所示 AB2BE2 2422 2. BC2CE2 9 若直线 l：axby10 始终平分圆 M：x2y24x2y10 的周长，则(a2)2(b 2)2的最小值为_ 答案5 解析由题意知，圆心坐标为(2，1)， 2ab10， a22b22表示点(a，b)与(2,2)的距离， a22b22的最小值为|421| 5， 41 (a2)2(b2)2的最小值为 5. 10(2013湖北)已知圆 O：x2y25，直线 l：xcos ysin 1(00， 12 直线 l 的方程为 5x12y240. 综上所述，直线 l 的方程为 x0 或 5x12y240. 13已知点 P 是圆 F1：(x 3)2y216 上任意一