高考数学二轮专题突破(文科)专题二第2讲

1、第第 2 2 讲讲三角变换与解三角形三角变换与解三角形 【高考考情解读】1.从近几年的考情来看，对于三角恒等变换，高考命题以公式的基本运 用、计算为主，其中与角所在范围、三角函数的性质、三角形等知识结合为命题的热点；解 三角形与其他知识以及生活中的实际问题联系紧密， 有利于考查考生的各种能力， 因而成了 高考命题的一大热点.2.分析近年考情可知，命题模式一般为 12 题，其中，选择(填空)题 多为低档题，解答题则一般为与其他知识(尤其是三角函数、向量)交汇的综合题或实际应用 题，难度中等 1 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin()sin cos cos sin . (2)cos()

2、cos cos sin sin . tan tan (3)tan(). 1tan tan 2 二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 22sin cos . (2)cos 2cos2sin22cos2112sin2. 2tan (3)tan 2. 1tan2 3 三角恒等式的证明方法 (1)从等式的一边推导变形到另一边，一般是化繁为简 (2)等式的两边同时变形为同一个式子 (3)将式子变形后再证明 4 正弦定理 abc 2R(2R 为ABC 外接圆的直径) sin Asin Bsin C 变形：a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C. abc sin A，sin B，sin

3、C. 2R2R2R abcsin Asin Bsin C. 5 余弦定理 a2b2c22bccos A，b2a2c22accos B， c2a2b22abcos C. b2c2a2a2c2b2 推论：cos A，cos B， 2bc2ac a2b2c2 cos C. 2ab 变形：b2c2a22bccos A，a2c2b22accos B， a2b2c22abcos C. 6 面积公式 111 S ABC bcsin A acsin B absin C. 222 7 解三角形 (1)已知两角及一边，利用正弦定理求解 (2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一 (

4、3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解 (4)已知三边，利用余弦定理求解. 考点一三角变换 x ，xR . 例 1(2013广东)已知函数 f(x) 2cos 12 的值； (1)求 f 6 33 ，2，求 f2 . (2)若 cos ， 325 2cos 解(1)f 6612 2cos 1. 2cos 4 4 2 2cos2 2cos2 (2)f 33124 cos 2sin 2， 334 ，2，sin ，又 cos ， 2 55 247 sin 22sin cos ，cos 22cos21， 2525 72417 2 cos 2sin 2 .f 3252525 当已知条件中的角与所求角不同

5、时，需要通过“拆”、“配”等方法实现角 的转化，一般是寻求它们的和、差、倍、半关系，再通过三角变换得出所要求的结果 化简常用技巧： 常值代换：特别是“1”的代换，1sin2cos2tan 45等； 项的分拆与角的配凑：如sin22cos2(sin2cos2)cos2，() 等； 降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次； 弦、切互化：一般是切化弦 (1)(2013四川)设 sin 2sin ， 2，则 tan 2 的值是_ 4 ，则 sin2的值为_ (2)(2012江苏)设 为锐角，若 cos 1265 17 2 答案(1) 3(2) 50 解析(1)sin 2sin ，sin (

6、2cos 1)0， 又 2，sin 0,2cos 10 13 即 cos ，sin ，tan 3， 22 2 3 2tan tan 2 3. 1tan21 32 4 ， (2) 为锐角且 cos 6 5 3 .sin 6 5 2 sin2 6 sin 12 4 cos cos 2 sin sin 2 66 44 2 cos2cos21 2sin 66 2 6 342 421 2 2 552 5 12 2 7 217 2 . 255050 考点二正、余弦定理 例 2(2013课标全国)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 abcos C csin B. (1)求 B； (2

7、)若 b2，求ABC 面积的最大值 解(1)由已知及正弦定理得 sin Asin Bcos Csin Csin B， 又 A(BC)， 故 sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C 由和 C(0，)得 sin Bcos B. 又 B(0，)，所以 B . 4 12 (2)ABC 的面积 S acsin Bac. 24 由已知及余弦定理得 4a2c22accos . 4 又 a2c22ac，故 ac 4 ， 2 2 当且仅当 ac 时，等号成立 因此ABC 面积的最大值为 21. 三角形问题的求解一般是从两个角度， 即从“角”或从“边”进行转化突破， 实现“边”或“角”的

8、统一，问题便可突破 几种常见变形： (1)abcsin Asin Bsin C； (2)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C，其中 R 为ABC 外接圆的半径； (3)sin(AB)sin C，cos(AB)cos C. 设ABC 的内角 A，B，C 所对的边长分别为 a，b，c，且(2b 3c)cos A 3acos C. (1)求角 A 的大小； (2)若角 B ，BC 边上的中线 AM 的长为 7，求ABC 的面积 6 解(1)(2b 3c)cos A 3acos C， (2sin B 3sin C)cos A 3sin Acos C. 即 2sin Bcos A 3si

9、n Acos C 3sin Ccos A. 2sin Bcos A 3sin B. sin B0，cos A 0A，A . 6 2 (2)由(1)知 AB ，所以 ACBC，C， 63 1 设 ACx，则 MC x.又 AM 7， 2 在AMC 中，由余弦定理得 AC2MC22ACMCcos CAM2， x 2 x 即 x22x cos 120( 7)2，解得 x2， 2 2 12 故 S ABC x2sin 3. 23 考点三正、余弦定理的实际应用 例 3(2013江苏)如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至 C 处有 两种路径一种是从 A 沿直线步行到 C，另一种是先从 A 沿索道 乘缆

10、车到 B，然后从 B 沿直线步行到 C.现有甲、乙两位游客从 A 处下山，甲沿 AC 匀速 步行，速度为 50 m/min.在甲出发 2 min 后，乙从 A 乘缆车到 B，在 B 处停留 1 min 后， 再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min， 山路AC长为1 260 m， 123 经测量 cos A，cos C . 135 (1)求索道 AB 的长； (2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ (3)为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟，乙步行的速度应控制在什么范 围内？ 123 解(1)在ABC 中，因为 cos A ，cos C

11、 ， 135 54 所以 sin A，sin C . 135 从而 sin Bsin(AC)sin(AC) sin Acos Ccos Asin C 3， 2 5312463 . 13513565 ABAC 由正弦定理，得 sin Csin B AC1 2604 ABsin C 1 040(m) sin B635 65 所以索道 AB 的长为 1 040 m. (2)假设乙出发 t 分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(10050t)m，乙距离 A 处 130t m， 所以由余弦定理得 12 d2(10050t)2(130t)22130t(10050t)13 200(37t270t50

12、)， 1 040 由于 0t，即 0t8， 130 35 故当 t min 时，甲、乙两游客距离最短 37 BCAC (3)由正弦定理 ， sin Asin B AC1 2605 得 BC sin A 500(m) sin B6313 65 乙从 B 出发时，甲已走了50(281)550(m)，还需走 710 m 才能到达 C. 5007101 250625 设乙步行的速度为 v m/min，由题意得3 v 3，解得v ， 504314 所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3 min，乙步行的速度应控制在 1 250，625(单位：m/min)范围内 1443 应用解三角形知识解决实际

13、问题一般分为下列四步： (1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词术语，如 坡度、仰角、俯角、视角、方位角等； (2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出； (3)将所求的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有 关知识正确求解； (4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案 在南沙某海岛上一观察哨A 上午 11 时测得一轮船在海 岛北偏东 60的 C 处，12 时 20 分测得船在海岛北偏西60的 B 处， 12 时 40 分轮船到达位于海岛正西方且距海岛5 km 的 E 港口，如 果轮船始终匀速直线前进，问船

14、速为多少？ 解由题意，得轮船从C 到 B 用时 80 分钟，从 B 到 E 用时 20 分钟 又船始终匀速前进，所以BC4EB. 设 EBx，则 BC4x. 由已知，得BAE30，EAC150. 在AEC 中，由正弦定理，得 ECAE ， sinEACsin C AEsinEAC5sin 1501 所以 sin C . EC5x2x 在ABC 中，由正弦定理，得 BCAB ， sin 120sin C 1 4x2x 4 3BCsin C AB . sin 1203 3 2 在ABE 中，由余弦定理，得 BE2AB2AE22ABAEcos 30 164 3331 252 5 ， 3323 故 B

15、E 31. 3 31 3BE 所以船速 v 93(km/h) t1 3 所以该船的速度为 93 km/h. 1 求解恒等变换的基本思路 一角二名三结构，即用化归转化思想“去异求同”的过程，具体分析如下： (1)首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变换形式，角的变换是三角函数变 换的核心 (2)其次看函数名称之间的关系，通常“切化弦” (3)再次观察代数式的结构特点 2 解三角形的两个关键点 (1)正、 余弦定理是实现三角形中边角互化的依据， 注意定理的灵活变形， 如 a2Rsin A， a sin A(其中 2R 为三角形外接圆的直径)，a2b2c22abcos C 等，灵活根据条件求

16、2R 解三角形中的边与角 (2)三角形的有关性质在解三角形问题中起着重要的作用，如利用“三角形的内角和等 AB C 于 ”和诱导公式可得到 sin(AB)sin C，sincos等，利用“大边对大角” 22 可以解决解三角形中的增解问题等 1 在ABC 中，已知 tan tan A1； tan B ABsin C，给出以下四个结论： 2 1sin Asin B 2； sin2Acos2B1； cos2Acos2Bsin2C. 其中一定正确的是 A 答案D AB 解析依题意，tan 2 AB sin 2 () BCD AB cos 2 ABAB 2sincos 22 AB 22cos 2 1co

17、sAB sinAB sin C sin C. 1cosAB sin C0，1cos(AB)1，cos(AB)0. 0AB，AB ， 2 即ABC 是以角 C 为直角的直角三角形 tan A 对于，由1，得 tan Atan B， tan B 即 AB，不一定成立，故不正确； 对于，AB ， 2 sin Asin Bsin Acos A 2sin(A )， 4 1sin Asin B 2，故正确； 对于，AB ， 2 sin2Acos2Bsin2Asin2A2sin2A， 其值不确定，故不正确； 对于，AB ， 2 cos2Acos2Bcos2Asin2A1sin2C，故正确 xxx 2 已知函

18、数 f(x) 3sincos cos2. 444 2 (1)若 f(x)1，求 cos 3 x的值； 1 (2)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且满足 acos C cb，求 f(B)的 2 取值范围 xxx 解(1)f(x) 3sincos cos2 444 x13x1x1 sin cos sin 262. 22222 x1 由 f(x)1，可得 sin 262. 2 x cos( x)cos( x) cos 3 33 x1 2sin2( )1 . 262 a2b2c2 11 (2)由 acos C cb，得 a cb， 22ab2 b2c2a2 1 即 b2c2a2

19、bc，所以 cos A . 2bc2 2 因为 A(0，)，所以 A ，BC， 33 2 B 所以 0B，所以 ， 36 26 2 B1 3 所以 f(B)sin 2621，2. (推荐时间：60 分钟) 一、选择题 1 设 、 都是锐角，且 cos 2 5 A. 25 53 ，sin() ，则 cos 等于 55 () 2 5 B. 5 D. 55 或 525 2 52 5 C.或 255 答案A 解析根据 、 都是锐角，且 cos 2 5 得 sin ， 542 34 又sin() ，cos() . 55 又 cos cos() 5，sin 2cos21， 5 cos()cos sin()

20、sin 2 5，故选 A. 25 () 74 sin 3，则 sin 的值是 2 已知 cos 665 2 3 A 5 答案C 4 sin 3，解析cos 6 5 334 cos sin 3， 225 2 3 B. 5 4 C5 4 D.5 413 3cos sin 3， 225 44 3，sin ， 3sin 6 5 6 5 74 sin .sin 665 3 (2013辽宁)在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 asin Bcos Ccsin Bcos 1 A b，且 ab，则B 等于 2 A.6 答案A ac1 解析由条件得 sin Bcos C sin Bcos

21、 A ， bb2 1 依正弦定理，得 sin Acos Csin Ccos A ， 2 11 sin(AC) ，从而 sin B ， 22 又 ab，且 B(0，)，因此 B . 6 AB 4 锐角三角形 ABC 中，若 C2B，则的范围是 AC A(0,2)B( 2，2) D( 3，2) () B.3 () 2 C. 3 5 D. 6 C( 2， 3) 答案C 解析设ABC 三内角 A、B、C 所对的边长分别为 a、b、c， ABcsin Csin 2B 则有 2cos B. ACbsin Bsin B 又C2B ，B . 24 又 A(BC)3B ，即 B ， 664 23 cos B ，

22、 22cos B 3. 22 2 3 1 5 已知ABC 中，角A、B、C 的对边分别是 a、b、c，且 tan B 222，BCBA ，2a b c 则 tan B 等于 A. 3 2 () B. 31 D2 3C2 答案D 11 解析由题意得，BCBA|BC|BA|cos Baccos B ，即 cos B， 22ac a2c2b2 1 由余弦定理，得 cos B a2c2b21， 2ac2ac 2 3 所以 tan B 2 2 3，故选 D. 22ab c 6 (2013重庆)4cos 50tan 40等于 A. 2 答案C 4sin 40cos 40sin 40 解析4cos 50ta

23、n 40 cos 40 2sin 80sin 402sin5030sin 40 cos 40cos 40 3sin 50cos 50sin 40 3sin 50 3. cos 40cos 40 二、填空题 7 (2013福建)如图，在ABC 中，已知点 D 在 BC 边上，ADAC， 2 2 sinBAC，AB3 2，AD3，则 BD 的长为_ 3 B. 2 3 2 () C. 3D2 21 答案3 解析sinBACsin( BAD)cosBAD， 2 2 2 cosBAD. 3 BD2AB2AD22ABADcosBAD 2 2 (3 2)23223 23， 3 即 BD23，BD 3. 8

24、(2013安徽)设ABC 的内角 A，B，C 所对边的长分别为 a，b，c.若 bc2a,3sin A 5sin B，则角 C_. 答案 2 3 解析由已知条件和正弦定理得：3a5b，且 bc2a， 5b7b 则 a，c2ab 33 a2b2c2 12 cos C ，又 0C，因此角 C . 2ab23 12sin sin 2 ，且 0，则 9 已知 tan_. 4 22 cos4 2 5 答案 5 tan 1 11 解析由 tan4 ， 得 tan . 3 1tan 2 10 又 0，可得 sin . 210 2sin2sin 22sin sin cos 故 2 cos sin cos 4

25、2 2 5 2 2sin . 5 4 10在ABC 中，C60，AB 3，AB 边上的高为 ，则 ACBC_. 3 答案11 2 解析依题意，利用三角形面积相等有： 11 ABh ACBC sin 60， 22 141 3 ACBCsin 60， 232 8 ACBC . 3 AC2BC2AB2 利用余弦定理可知 cos 60， 2ACBC AC2BC23 cos 60 ， 8 23 17 解得：AC2BC2 . 3 又因(ACBC)2AC2BC22ACBC 1716 11， 33 ACBC 11. 三、解答题 11已知函数 f(x)sin(2x )2cos2x1(xR R) 6 (1)求 f

26、(x)的单调递增区间； 1 (2)在ABC 中，三内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 f(A) ，2abc，bc 2 18，求 a 的值 解(1)f(x)sin(2x )2cos2x1 6 31 sin 2x cos 2xcos 2x 22 31 2x . sin 2x cos 2xsin 622 令 2k 2x 2k (kZ Z)， 262 得 k xk (kZ Z)， 36 即 f(x)的单调递增区间为k ，k (kZ Z) 36 11 (2)由 f(A) ，得 sin(2A ) . 262 5 2A 2 ，2A . 66666 A . 3 由余弦定理得 a2b2c22bccos A(bc)23bc. 又 2abc，bc18， a24a2318，即 a218，a3 2. AB 12(2013四川)在ABC 中，角A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且2cos2cos Bs