专题复习第4课全等三角形与相似三角形(含答案)

1、第第 4 4 课课 全等三角形与相似三角形全等三角形与相似三角形 考点分析考点分析 三角形的全等与相似是解决数学中图形问题的两个重要的工具，也是初中数学的重点 内容，因此也是中考的重要考查内容。主要考查以下几方面的内容：1会运用三角形全 等、相似的性质与判定进行有关的计算和推理。2能运用三角形全等与相似的知识解决 相关的实际问题。3能探索解决一些与三角形全等、相似有关的综合性题型。 典型例题典型例题 例 1（2006金华市）如图，ABC与ABD中，AD与BC相交于O点，1=2,请 你添加一个条件(不再添加其它线段，不再标注或使用其他字母)，使AC=BD,并给出证明. 你添加的条件是: 证明:

2、【解题分析】可以添加的条件有：ADBC； OCOD；CD；CAODBC 等. 以添加条件 ADBC 为例证明： AB=AB，12，BCAD， ABCBAD AC=BD 【每题一得】条件或结论的探究性题型或者是组合命题型题型越来越多地出现在各地 的中考题中，这样的题型体现了较高的灵活性和开放性，比较全面地考察了全等相关的知 识。 【同类变式】 （2006贺州市）如图，AB，CD相交于E，现给出如下三个论断： A C；AD CB；AE CE 请你选择其中两个论断为条件，另外一个论断为结论，构造一个命题 （1）在构成的所有命题中，真命题有个 （2）在构成的真命题中，请你选择一个加以证明 你选择的真命

3、题是： D A E C _ _（用序号表示） _ B 例例 2 2 (2007 南京)如图,在梯形ABCD中，ADBC，AB DC AD 6， ，且ABC 60o，点E，F分别在线段AD，DC上（点E与点A，D不重合） BEF 120，设AE x，DF y 求y与x的函数表达式； 当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？ o 【解题分析】由AEB ABE 180o120o 60o和 AEB DEF 180o120o 60o得ABE DEF 从而可得 ABEDEFy与x的函数表达式是y 1 2x x 6 o 【每题一得】抓住运动变化过程中的不变量是解决运动变化问题的关键. 【同类变式】(2007

4、 长沙)如图，ABCD中，AB 4，BC 3，BAD 120， ，作EF AB于F，FE，DC的延长线交于点G，E为BC上一动点（不与B重合） 设BE x，DEF的面积为S （1）求证：BEF CEG； （2）求用x表示S的函数表达式，并写出x的取值范围；F （3）当E运动到何处时，S有最大值，最大值为多少？ B Y A D E C G 例例 3 3（2007 浙江义鸟） 如图1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形 纸片（如图 2） ，量得他们的斜边长为10cm，较小锐角为 30，再将这两张三角纸片摆成 如图 3 的形状，但点 B、C、F、D 在同一条直线上，且点 C 与点 F 重

5、合（在图 3 至图 6 中统一用 F 表示） 图 1图 2图 3图 4图 5图 6 小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决。 将图 3 中的ABF 沿 BD 向右平移到图 4 的位置，使点 B 与点 F 重合，请你求出 平移的距离； 将图 3 中的ABF 绕点 F 顺时针方向旋转 30到图 5 的位置，A1F 交 DE 于点 G， 请你求出线段 FG 的长度； 将图 3 中的ABF 沿直线 AF 翻折到图 6 的位置，AB1交 DE 于点 H，请证明：AH DH. 【解题分析】图形平移的距离就是线段BC 的长 又在 RtABC 中，斜边长为 10cm，BAC=30，

6、BC=5cm， 平移的距离为 5cm 解 RtEFD 即可 证明AHEDHB 1 【每题一得】掌握图形的平移、旋转、翻折等图形变换规律是解决此类问题的关键。 【同类变式】 （2007 济宁）如图，先把一矩形 ABCD 纸片对折，设折痕为MN，再把 B 点叠在折痕线上，得到ABE。过 B 点折纸片使 D 点叠在直线 AD 上，得折痕 PQ。 求证：PBEQAB； 你认为PBE 和BAE 相似吗？如果相似给出证明，如补相似请说明理由； 如果直线 EB 折叠纸片，点 A 是否能叠在直线 EC 上？为什么？ 当堂反馈当堂反馈 1 （2007 福州）如图 1，点D，E分别在线段AB，AC上，BE，CD相

7、交于点 M A N DA B Q N D BCEPC O，AEAD，要使ABEACD，需添加一个条件是 （只要写一 个条件） (1)(2)(3) 2某学生想利用树影测量校园内的树高，他在某一时刻测得小树高为1.5 米时，其影长 为 1.2 米，当他测量教学楼旁的一棵大树影长时，因为大树靠近教学楼，有一部分影 子在墙上，经过测量，地面部分影长为6.4 米，墙上影长为 1.4 米，那么，这棵大树 高为米. 3 （2007 怀化）如图2：A 1 ，B 1 ，C 1 分别是BC，AC，AB的中点，A 2 ，B2，C2分别是 B 1C1 ，A 1C1 ，A 1B1 的中点L这样延续下去已知ABC的周长是

8、1，A 1B1C1 的周 长是L 1 ，A 2B2C2 的周长是L2L A n B nCn 的周长是Ln，则Ln 4 （2007 年芜湖市）如图 3， 在ABC 中 ADBC，CEAB，垂足分别为 D、E，AD、 CE 交于点 H，已知 EH=EB=3、AE=4，则 CH 的长是 () A 1B 2C 3D4 5 （2007 南充）如图2，已知BEAD，CFAD，且BECF请你判断AD 是ABC 的 中线还是角平分线？请说明你判断的理由 6 (2007 乐山)如图， 在矩形ABCD中，AB 4，AD 10 直角尺的直角顶点P在AD 上滑动时（点P与A，一直角边经过点C，另一直角边AB交于点E我

9、，D不重合） 们知道，结论“RtAEPRtDPC”成立 当CPD 30时，求AE的长； 是否存在这样的点P，使DPC的周长等于AEP周长的2倍？若存在，求出 P o A F B D E C DP的长；若不存在，请说明理由A E B D C 配套练习配套练习 1 （2006陕西省）如图4，ABC 是不等边三角形 DEBC，以D、E 为两个顶点作位置不 同的三角形，使所作三角形与ABC 全等，这样的三角形可以画出 （） A2 个 (4) B E (5) CF B B4 个C6 个 D8 个 AD A y 45cm D O C 7 6 5 4 3 B 2 1 O (6) 20cm 2 (2007 陕

10、西)如图 5,在矩形 ABCD 中,E 为 CD 的中点,连接 AE 并延长交 BC 的延长线于点 F,则图中全等的直角三角形共有( ) A3 对B4 对C5 对 D6 对 3 （2007 潜江仙桃）小华在距离路灯6 米的地方，发现自己在地面上的影长是2 米，如果 小华的身高为 1.6 米，那么路灯离地面的高度是米. 4.（2007 年青岛）如图 6 是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体 AB 的高度为 36cm，那么它在暗盒中所成的像CD 的高度应为 cm. 5 （2007 乐山）如图，在等边ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且BD AE， AD与CE交于点F 求证：A

11、D CE； 求DFC的度数 B D E A 5F C 6 （2006 绍兴） 我们知道， 两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等， 那么在什么情况下，它们会全等？ 阅读与证明： 对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等。 对于这两个三角形均为钝角三角形，可证明它们全等(证明略) 对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也 全等，可证明如下： 已知：ABC、A 1B1C1 均为锐角三角形， AB=A 1B1 ，BC=B 1C1 ，C=C1， 证明：ABCA 1B1C1 .(请你将下列证明 过程补充完整) 证明：分别过点 B、B1，作 BDCA 于 D，B1D1 C1A1于D1，

12、则BDC=B1D1C1=90，BC=B 1C1 ，C=C1 BCDB 1C1D1 BD=B 1D1 归纳与叙述：由(1)可得到一个正确结论，请你写出这个结论。 7 （2007 年滨州）如图，在ABC和DEF中，A D 90o，AB DE 3， AC 2DF 4 判断这两个三角形是否相似？并说明为什么？ 能否分别过A，D在这两个三角形中各作一条辅助线，使ABC分割成的两个三 角形与DEF分割成的两个三角形分别对应相似？证明你的结论 A D B C EF 8 （2007 年连云港市）如图1，点C将线段AB分成两部分，如果 ACBC ，那么称点 ABAC C为线段AB的黄金分割点 某研究小组在进行课

13、题学习时， 由黄金分割点联想到 “黄金分割线” ，类似地给出“黄 金分割线” 的定义： 直线l将一个面积为S的图形分成两部分， 这两部分的面积分别为S1， S 2，如果 S 1 S 2 ，那么称直线l为该图形的黄金分割线 SS 1 （1）研究小组猜想：在ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点（如图2） ，则直 线CD是ABC的黄金分割线你认为对吗？为什么？ （2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？ （3）研究小组在进一步探究中发现： 过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作 直线DFCE，交AC于点F，连接EF（如图 3） ，则直线EF也是ABC的黄金分 割线请你说明理由

14、Y 于点F，显然直线EF是YABCD的黄金分割线请你画一条YABCD的黄金分割线， 使它不经过 Y ABCD各边黄金分割点 （4）如图4，点E是ABCD的边AB的黄金分割点，过点E作EFAD，交DC A 图 1 C F B C DF C B A 图 2 DA 图 3 D E BA E 图 4 答案答案: : 典型例题典型例题 例例 1 1 可以添加的条件有：ADBC；OCOD；CD；CAODBC 等. 以添加条件 ADBC 为例证明： AB=AB，12，BCAD， ABCBAD AC=BD 【同类变式】 （1）2; （2）你选择的真命题是： 证明：在ADE和CBE中， Q A C，AED CE

15、B，AD CB， ADECBE AE CE 选择命题二： 证明：在ADE和CBE中， Q A C，AE CE，AED CEB， ADECBE AD CB 例例 2 2 解： （1）在梯形ABCD中，ADBC， AB DC AD 6，ABC 60o， A D 120o， AEBABE 180o120o 60o Q BEF 120o， AEBDEF 180o120o 60o， ABE DEF ABEDEF AEAB DFDE Q AE x，DF y， x6 y6 x y与x的函数表达式是 11 y gx(6 x) x2 x； 66 （2）y 1 2x x 6 13 (x3)2 62 当x 3时，y

16、有最大值，最大值为 【同类变式】 （1）证明略； （2）由（1）DG为DEF中EF边上的高， o 在RtBFE中，B 60，EF BEsin B 3 2 3 x， 2 o 在RtCEG中，CE 3 x，CG (3 x)cos60 3 x ， 2 DG DC CG S 11 x ， 2 13 2 11 3 EFgDG x x， 288 其中0 x3 （3）Q a 311 0，对称轴x ，当0 x3时，S随x的增大而增大， 82 当x 3，即E与C重合时，S有最大值 S最大3 3 例例 3 3图形平移的距离就是线段BC 的长 又在 RtABC 中，斜边长为 10cm，BAC=30，BC=5cm，

17、平移的距离为 5cm A 1FA30， GFD 60，D=30FGD 90 在 RtEFD 中，ED=10 cm，FD=5 3， FC oo 5 3 cm 2 o AHE 与DHB 1 中，FAB 1 EDF 30 ， FDFA，所以 EFFBFB1，FD FB 1 FA FE，即 AEDB 1 又AHE DHB 1 ，AHEDHB 1 （AAS） ，AH DH 【同类变式】 当堂反馈当堂反馈 1B C，AEB ADC，CEO BDO，AB AC，BD CE（任选一 个即可） 29.4 3 1 n2 4A 5解：AD是ABC的中线 理由如下：在 RtBDE 和 RtCDF 中， BECF，BD

18、ECDF， RtBDERtCDF BDCD 故 AD 是ABC 的中线 6解（1）在RtPCD中，由tanCPD 得PD CD ， PD CD4 4 3 o tanCPDtan30 AP AD PD 104 3， 由AEPDPC知 AEAPAPgPD ，AE 10 3 12 PDCDCD （2）假设存在满足条件的点P，设DP x，则AP 10 x 由AEPDPC知 CD 2， AP 4 2，解得x 8， 10 x 此时AP 2，AE 4符合题意 配套练习配套练习 1B 2B 36.4 4.16 5 （1）证明：Q ABC是等边三角形， BAC B 60o，AB AC 又Q AE BD AECB

19、DA(SAS)， AD CE （2）解由（1）AECBDA，得ACE BAD DFC FAC ACEFAC BAD 60o 6解： （1）又ABA1B1，ADBA1D1B190 ADBA1D1B1 AA1， 又CC1，BCB1C1。 ABCA1B1C1。 (2）若ABC 与A1B1C1均为锐角三角形或均为直角三角形或均为钝角三角形， AB=A1B1，BC=B1Cl，C=Cl则ABCA1B1C1 7解： （1）不相似 在RtBAC中，A90，AB 3，AC 4； 在RtEDF中，D 90，DE 3，DF 2， ABAC 1， 2 DEDF ABAC DEDF RtBAC与RtEDF不相似 （2）能作如图所示的辅助线进行分割 具体作法：作BAM E，交BC于M；作NDE B，交EF于N 由作法和已知条件可知BAM DEN B M C ENF A D BAM E，NDE B， AMC BAM B，FND E NDE， AMC FND FDN 90 NDE， C 90 B， FDN C