全国中考数学百卷压轴题分类解析汇编专题 代数综合问题

1、专题专题 1010：代数综合问题：代数综合问题 1.1. （20122012 广东佛山广东佛山 1010 分）分）规律是数学研究的重要内容之一 初中数学中研究的规律主要有一些特定的规则、符号(数)及其运算规律、图形的数值特征和位置关系 特征等方面 请你解决以下与数的表示和运算相关的问题： (1)写出奇数 a 用整数 n 表示的式子； (2)写出有理数 b 用整数 m 和整数 n 表示的式子； (3)函数的研究中，应关注y 随 x 变化而变化的数值规律(课本里研究函数图象的特征实际上也是为了说明函 数的数值规律) 下面对函数 y=x 的某种数值变化规律进行初步研究： 由表看出，当 x 的取值从

2、0 开始每增加 1 个单位时，y 的值依次增加 1，3，5. 请回答： xi yi yi+1yi 0 0 1 1 1 3 2 4 5 3 9 7 4 16 9 5 25 11 . . . 2 1 个单位时，y 的值变化规律是什么？ 2 1 当 x 的取值从 0 开始每增加个单位时，y 的值变化规律是什么？ n 当 x 的取值从 0 开始每增加 【答案】【答案】解： （1）n 是任意整数，则表示任意一个奇数的式子是：2n+1。 （2）有理数 b= m 。（n0） n 1 个单位时，列表如下： 2 3 12 2 9 14 4 579 444 （3）当 x 的取值从 0 开始每增加 xi yi0 0

3、 yi+1yi 1 4 1 2 1 4 3 4 5 2 25 4 11 4 . . . 11352i1 个单位时，y 的值依次增加、。 24444 1 当 x 的取值从 0 开始每增加个单位时，列表如下： n 12345 xi0. nnnnn 1491625 yi0. 22222 nnnnn 1357911 yi+1yi. 222222 nnnnnn 故当 x 的取值从 0 开始每增加 故当 x 的取值从 0 开始每增加 1352i 11 个单位时，y 的值依次增加 2 、 2 、 2 2 。 nnnnn 【考点】【考点】分类归纳（数字的变化类） ，二次函数的性质，实数。 【分析】【分析】 （

4、1）n 是任意整数，偶数是能被 2 整除的数，则偶数可以表示为 2n，因为偶数与奇数相差 1，所以奇 数可以表示为 2n+1。 （2）根据有理数是整数与分数的统称，而所有的整数都可以写成整数的形式，据此可以得到答案。 （3）根据图表计算出相应的数值后即可看出y 随着 x 的变化而变化的规律。 2.2. （20122012 广东梅州广东梅州 1010 分）分） （1）已知一元二次方程x +px+q=0（p 4q0）的两根为x1、x2；求证：x1+x2=p， x1x2=q （2）已知抛物线 y=x +px+q 与 x 轴交于 A、B 两点，且过点（1，1） ，设线段 AB 的长为 d，当 p 为何

5、值时， d 取得最小值，并求出最小值 【答案】【答案】 （1）证明：a=1，b=p，c=q，p 4q0， x1 x2 =p，x1x2=q。 （2）解：把（1，1）代入 y=x +px+q 得 pq=2，即 q=p2。 设抛物线 y=x +px+q 与 x 轴交于 A、B 的坐标分别为（x1，0） 、 （x2，0） 。 d=|x1x2|， d =（x1x2） =（x1+x2） 4 x1x2=p 4q=p 4p+8=（p2） +4。 当 p=2 时，d的最小值是 4。 【考点】【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，抛物线与x 轴的交点，曲线上点的坐标与方程的关系， 二次函数的最值。 【分

6、析】【分析】 （1）根据一元二次方程根与系数的关系可直接证得。 【教材中没有元二次方程根与系数的关系可先根据求根公式得出x1、x2的值，再求出两根的和与 积即可】 （2）把点（1，1）代入抛物线的解析式，再由d=|x1x2|可得 d 关于 p 的函数关系式，应用二次函 数的最值原理即可得出结论。 3.3. （20122012 广东湛江广东湛江 1212 分）分）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：解一元二次不等式x 40 解：x 4=（x+2） （x2） x 40 可化为 （x+2） （x2）0 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得 解不等式组，得 x2， 2 2 2

7、2 2 222222 2 2 2 2 2 22 b a c a 解不等式组，得 x2， （x+2） （x2）0 的解集为 x2 或 x2， 即一元二次不等式 x 40 的解集为 x2 或 x2 （1）一元二次不等式 x 160 的解集为； （2）分式不等式的解集为； 2 2 2 （3）解一元二次不等式2x 3x0 【答案】【答案】解：（1）x4 或 x4。 （2）x3 或 x1。 （3）2x 3x=x（2x3） 2x 3x0 可化为 x（2x3）0 由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”，得 2 2 x 0 x 0 。或 2x 30 3 ，解不等式组，无解。 2 3 2 不等式 2x 3x0

8、 的解集为 0x。 2 解不等式组，得 0x 【考点】【考点】有理数的乘法法则，一元一次不等式组的应用。 【分析】【分析】 （1）将一元二次不等式的左边因式分解后根据有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”化为两个一 元一次不等式组求解即可。 （2）根据有理数的除法法则“两数相除，同号得正”，可以得到其分子、分母同号，从而转化为两个 一元一次不等式组求解即可。 （3）将一元二次不等式的左边因式分解后，有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”，化为两个一 元一次不等式组求解即可。 4.4. （20122012 贵州黔西南贵州黔西南 1414 分）分）问题：已知方程x2+x 1=0，求一个一元二次方程

9、，使它的根分别是已知方程根 的 2 倍。 解：设所求方程的根为 y，则 y=2x，所以x= y 2 y y y 把x=代入已知方程，得 +1=0 222 化简，得：y2+2y 4=0 故所求方程为y2+2y 4=0 这种利用方程根的代换求新方程的方法， 我们称为“换根法”。 请阅读材料提供的“换根法”求新方程 （要求： 把所求方程化成一般形式） （1）已知方程x2+x 2=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为： ； 2 （2）已知关于x 的一元二次方程ax2+bx+c=0a 0有两个不等于零的实数根，求一个一元二方程，使它的根 分别是已知方程的倒数。 【答案】

10、【答案】解： （1）y y2=0。 （2）设所求方程的根为 y，则y 2 11 （x0） ，于是x （y0） 。 yx 2 1 11 把x 代入方程ax2+bx+c=0，得a +b+c=0， yy y 去分母，得 a+by+cy =0。 若 c=0，有ax2+bx=0，可得有一个解为 x=0，与已知不符，不符合题意。 c0。 所求方程为 cy +by+a=0（c0） 。 【考点】【考点】一元二次方程的应用。 【分析】【分析】 （1）设所求方程的根为 y，则 y=x 所以 x=y。 把 x=y 代入已知方程，得 y y2=0。 （2）根据所给的材料，设所求方程的根为y，再表示出 x，代入原方程，

11、整理即得出所求的方程。 5.5. （ （20122012 江苏南京江苏南京 9 9 分）分）“？”的思考 下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批阅。 题目：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1，在温室内，沿前侧内墙保留3m 的空地，其他三侧内墙各保留 1m 的通道，当温室的长与宽各为多少时，矩形蔬菜种植区域的面积是 288m2？ 解：设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为 2xm， 根据题意，得 x2x=288 解这个方程，得 x1=-12（不合题意，舍去） ，x2=12 所以温室的长为 212+3+1=28（m） ，宽为 12+1+1=14（m） 答：当温室的长为 28

12、m，宽为 14m 时，矩形蔬菜种植区域的面积是288m2 2 2 2 ？ 我的结果也正确我的结果也正确 小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答中划了一条横线，并打开了一个“？” 结果为何正确呢？结果为何正确呢？ （1）请指出小明解答中存在的问题，并补充缺少的过程： 变化一下会怎样变化一下会怎样 （2） 如图， 矩形 ABCD在矩形ABCD 的内部， ABAB， ADAD， 且 AD： AB=2： 1， 设 AB 与 AB、 BC 与 BC、CD 与 CD、DA 与 DA之间的距离分别为a、b、c、d，要使矩形 ABCD矩形ABCD， a、b、c、d 应满足什么条件？请说明理由 d

13、A AD c D B B a C b C 【答案】【答案】解： （1）小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1 的理由。 在“设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为 2xm”前补充以下过程： 设温室的宽为 ym，则长为 2ym。 则矩形蔬菜种植区域的宽为（y11）m，长为（2y31）m。 2y312y4 2 ，矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1。 y11y2 （2）a+c b+d =2。理由如下： 要使矩形 ABCD矩形ABCD，就要 ADa c2ADAD ，即 ABb d1ABAB 即 2ABa c ABb d 2 ，即 a+c b+d =2。 1 【考点】【考点】一元二次方程的应用

14、（几何问题） ，相似多边形的性质，比例的性质。 【分析】【分析】 （1）根据题意可得小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1 的理由，所以由已知条件求 出矩形蔬菜种植区域的长与宽的关系即可。 （2）由使矩形ABCD矩形ABCD，利用相似多边形的性质，可得 例的性质。 6.6. （20122012 江苏盐城江苏盐城 1212 分）分） ADAD ，然后利用比 ABAB 知识迁移：知识迁移： 当a 0且x 0时，因为( x a 2 aa )0,所以x2 a 0,从而x2 a(当 xxx a x a时取等号).记函数y x(a 0,x 0),由上述结论可知：当x a时,该函数有最小值为2 a

15、. x 直接应用：直接应用：已知函数y1 x(x 0)与函数y2 为_. 1 (x 0), 则当x _时,y 1 y 2 取得最小值 x 2 变形应用：变形应用：已知函数y1 x1(x 1)与函数y 2 (x 1) 4(x 1),求 y 2的最小值,并指出取得该 y 1 最小值时相应的x的值. 实际应用：实际应用：已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分：一是固定费用,共360元；二是燃油费,每 千米为1.6元；三是折旧费,它与路程的平方成正比,比例系数为0.001.设该汽车一次运输的路程为x千米, 求当x为多少时,该汽车平均每千米的运输成本最低？最低是多少元？ 【答案】【答案】解：直接应用：

16、直接应用：1；2 。 y 2 (x1)244 变形应用：变形应用： (x1)(x 1)， y 1 x1x1 y 2有最小值为2 4 4。 y 1 当x 14，即x 1时取得该最小值。 实际应用：实际应用：设该汽车平均每千米的运输成本为y元，则 0.001x21.6x360360360000 y 0.001x1.6 0.001(x)1.6， xxx 当x 360000 600(千米)时, 该汽车平均每千米的运输成本y最低， 最低成本为0.0012 360000 1.6 2.8元。 【考点】【考点】二次函数的应用，几何不等式。 【分析】【分析】直接运用：可以直接套用题意所给的结论，即可得出结果：

17、a (a 0,x 0),由上述结论可知：当x a时,该函数有最小值为2 a， x 1 函数y1 x(x 0)与函数y2(x 0)，则当x 1 1时，y1 y2取得最小值为 x 函数y x 2 1 2。 变形运用：先得出 y 2的表达式，然后将x1看做一个整体，再运用所给结论即可。 y 1 实际运用：设该汽车平均每千米的运输成本为y元，则可表示出平均每千米的运输成本，利用所 给的结论即可得出答案。 2 7.7. （20122012 四川内江四川内江 1212 分）分）如果方程x px q 0的两个根是x 1 ,x 2 ，那么x 1 x 2 p,x 1.x2 q,请根据 以上结论，解决下列问题：

18、（1）已知关于x的方程x mx n 0,(n 0),求出一个一元二次方程， 使它的两个根分别是已知方程两根的 倒数； （2）已知a、b满足a 15a 5 0, b 15 b 5 0,求 22 2 ab 的值； ba （3）已知a、b、c满足a b c 0, abc 16求正数c的最小值。 【答案】【答案】解： （1）设关于x的方程x mxn 0,(n 0)的两根为x 1 ,x 2 ，则有： 2 x 1 x 2 m,x 1.x2 n，且由已知所求方程的两根为 11 , x 1 x 2 11x 1x2 m1111 。， x 1 x 2 x 1 x 2 nx 1 x 2 x 1 x 2 n 2 所求

19、方程为x 2 m1 x 0，即nx2mx1 0(n 0)。 nn 2 （2）a、b满足a 15a 5 0,b 15b5 0， a、b是方程x 15x5 0的两根。ab 15,ab 5。 2 aba2b2 ab 2ab ab 152 2 2 47。 baababab5 （3）abc 0,abc 16且c 0ab c,ab a、b是一元二次方程x cx 2 22 16 。 c 16 0c 0的两个根， c 代简，得 cx c x16 0c 0 。 22 又此方程必有实数根，此方程的 0，即 c 又c 0c 4 0。 c 4。 正数c的最小值为 4。 33 2 2 4c16 0，cc343 0。 【

20、考点】【考点】一元二次方程根与系数的关系和根的判别式，代数式化简。 【分析】【分析】 （1）设方程x mxn 0,(n 0)的两根为x 1 ,x 2 ，得出 2 11m111 ，再根据这个， x 1 x 2 nx 1 x 2 n 一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数，即可求出答案。 2 （2）根据a、b满足a 15a 5 0,b 15b5 0，得出a、b是一元二次方程x 15x5 0的两 22 个根，由ab 15,ab 5，即可求出 ab 的值。 ba 16 22 ，a、b是一元二次方程cx c x16 0的 c （3） 根据abc 0,abc 16， 得出ab c,ab 两个根，再根

21、据 0，即可求出 c 的最小值。 8.8. （20122012 山东济宁山东济宁 8 8 分）分）有四张形状、大小和质地相同的卡片A、B、C、D，正面分别写有一个正多边形（所 有正多边形的边长相等） ，把四张卡片洗匀后正面朝下放在桌面上，从中随机抽取一张（不放回） ，接着再随机 抽取一张 （1）请你用画树形图或列表的方法列举出可能出现的所有结果； （2）如果在（1）中各种结果被选中的可能性相同，求两次抽取的正多边形能构成平面镶嵌的概率； （3）若两种正多边形构成平面镶嵌，p、q 表示这两种正多边形的个数，x、y 表示对应正多边形的每个内角的 度数，则有方程 px+qy=360，求每种平面镶嵌中

22、 p、q 的值 【答案】【答案】解： （1）画树形图如下： 所有出现的结果共有 12 种。 （2）两次抽取的正多边形能构成平面镶嵌的情况有4 种：AB，AD，BA，DA， P（两次抽取的正多边形能构成平面镶嵌）= 41 。 123 （3）当正三角形和正方形构成平面镶嵌时，则有60p+90q=360，即 2p+3q=12。 p、q 是正整数，p=3，q=2。 当正三角形和六边形构成平面镶嵌时，则有60p+120q=360，即 p+2q=6。 p、q 是正整数，p=4，q=1 或 p=2，q=2。 【考点】【考点】列表法和树状图法，概率，多边形内角和定理，平面镶嵌（密铺） 。 【分析】【分析】 （

23、1）列表或画树状图即可得到所有的可能情况。 （2）根据平面镶嵌的定义，能构成平面镶嵌的多边形有正三角形与正方形，正三角形与正六边形，然 后根据概率公式列式计算即可得解。 （3）对两种平面镶嵌的情况，根据方程代入数据整理，再根据p、q 都是整数解答。 9.9. （20122012 浙江湖州浙江湖州 1010 分）分）为进一步建设秀美、宜居的生态环境，某村欲购买甲、乙、丙三种树美化村庄，已 知甲、乙丙三种树的价格之比为2：2：3，甲种树每棵200 元，现计划用210000 元资金，购买这三种树共1000 棵 （1）求乙、丙两种树每棵各多少元？ （2）若购买甲种树的棵树是乙种树的2 倍，恰好用完计划

24、资金，求这三种树各能购买多少棵？ （3）若又增加了 10120 元的购树款，在购买总棵树不变的前提下，求丙种树最多可以购买多少棵？ 【答案】【答案】解： （1）已知甲、乙丙三种树的价格之比为2：2：3，甲种树每棵 200 元， 乙种树每棵 200 元，丙种树每棵 3 200=300（元） 。 2 （2）设购买乙种树 x 棵，则购买甲种树 2x 棵，丙种树（10003x）棵 根据题意：2002x200 x300（10003x）=210000， 解得 x=30。 2x=600，10003x=100， 答：能购买甲种树 600 棵，乙种树 300 棵，丙种树 100 棵。 （3）设购买丙种树 y 棵

25、，则甲、乙两种树共（1000y）棵， 根据题意得：200（1000y）300y21000010120， 解得：y201.2。 y 为正整数，y 最大为 201。 答：丙种树最多可以购买201 棵。 【考点】【考点】一元一次方程和一元一次不等式的应用。 【分析】【分析】 （1）利用已知甲、乙丙三种树的价格之比为 2：2：3，甲种树每棵 200 元，即可求出乙、丙两种树每 棵钱数。 （2）设购买乙种树 x 棵，则购买甲种树 2x 棵，丙种树（1000-3x）棵，利用（1）中所求树木价格以及 现计划用 210000 元资金购买这三种树共1000 棵，得出等式方程，求出即可。 （3）设购买丙种树 y

26、棵，则甲、乙两种树共（1000y）棵，根据题意列不等式，求出即可。 10.10. （20122012 内蒙古赤峰内蒙古赤峰 1414 分）分）阅读材料： （1）对于任意两个数a、b的大小比较，有下面的方法： 当a b 0时，一定有a b； 当a b 0时，一定有a b； 当a b 0时，一定有a b 反过来也成立因此，我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法” （2）对于比较两个正数a、b的大小时，我们还可以用它们的平方进行比较： a b (a b)(a b)，a b 0 （a b）与（ab）的符号相同 当a b0 时，ab0，得a b 当a b=0 时，ab=0，得a b 当a b0 时，ab0，得a b 解决下列实际问题： （1）课堂上，老师让同学们制作几种几何体，张丽同学用了3 张 A4 纸，7 张 B5 纸；李明同学用了2 张 A4 纸， 8 张 B5 纸设每张 A4 纸的面积为 x，每张 B5 纸的面积为 y，且 xy，张丽同学的用纸总面积为W1，李明同学 的用纸总面积为 W2回答下列问题： W1=（用 x、y 的式子表示