数学1勾股定理(第2课时)教案(人教新课标八年级下)

1、18181 1勾股定理（二）勾股定理（二） 教学时间 第二课时 三维目标三维目标 一、知识与技能一、知识与技能 1掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法 2运用勾股定理解决一些实际问题 二、过程与方法二、过程与方法 1经历用拼图的方法验证勾股定理，培养学生的创新能力和解决实际问题的能力 2在拼图的过程中，鼓励学生大胆联想，培养学生数形结合的意识 三、情感态度与价值观三、情感态度与价值观 1利用拼图的方法验证勾股定理， 是我国古代数学家的一大贡献， 借助此过程对学生 进行爱国主义的教育 2经历拼图的过程，并从中获得学习数学的快乐，提高学习数学的兴趣 教学重点教学重点 经历用不同的拼图方法验

2、证勾股定理的过程， 体验解决同一问题方法的多样性， 进一步 体会勾股定理的文化价值 教学难点教学难点 经历用不同的拼图方法证明勾股定理 教具准备教具准备 每个学生准备一张硬纸板;多媒体课件演示 教学过程教学过程 一、创设问题情境，引入新课一、创设问题情境，引入新课 活动活动 1 1 问题：我们曾学习过整式的运算，其中平方差公式（ a+b） （a-b）=a2-b2；完全平方公式 （ab）2=a22ab+b2是非常重要的内容谁还能记得当时这两个公式是如何推出的？ 设计意图： 回忆前面的知识， 由此得出用拼图的方法推证数学结论非常直观， 上节课已经通过数格 子的方法大胆猜想出了一个命题：在直角三角形

3、中，两条直角边的平方和等于斜边的平 方但我们不能对所有的直角三角形一一验证， 因此需从理论上加以推证， 学生也许会从此 活动中得到启示，采用类似拼图的方法证明 师生行为： 学生动手活动，分组操作，然后在组内交流 教师深入小组参与活动，倾听学生的交流，并帮助、 指导学生完成任务，得出两个公式 的几何意义 在活动 1 中教师应重点关注： 学生能否积极主动地参与活动； 学生能否想到用拼图的方法，通过计算拼图的面积而得出两个公式的几何意义； 学生能否从这两个公式的几何意义联想到直角三角形的三边关系是否也可以类似证 明 生：这两个公式都可以用多项式乘以多项式的乘法法则推导，如下： （a+b） （a-b）

4、=a2-ab+ab-b2=a2-b2， 所以（a+b） （a-b）=a2-b2； （a+b）2=（a+b） （a+b）=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2； （a-b）2=（a-b） （a-b）=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2； 所以（ab）2=a22ab+b2 生：还可以用拼图的方法说明上面的公式成立例如： (1)(2) 图（1）中，阴影部分的面积为 a2-b2，用剪刀将（1）中的长和宽分别为（a-b）和 b 的长方形剪下来拼接成图（2）的形式便可得图（2）中阴影部分的面积为（a+b） （a-b） 而这两部分面积是相等的，因此（a+b） （a-b）=a2-b2成立 生：

5、（a+b）2=a2+2ab+b2也可以用拼图的方法，通过计算面积证明，如图: (3) 我们用两个边长分别为 a 和 b 的正方形，两个长和宽分别 a 和 b的长方形拼成一个边 长为（a+b）的正方形，因此这个正方形的面积为（ a+b）2，也可以表示为a2+2ab+b2，所以 可得（a+b）2=a2+2ab+b2 师：你能类似的方法证明上一节猜想出的命题吗？ 二、探索研究二、探索研究 活动活动 2 2 我们已用数格子的方法发现了直角三角形三边关系，拼一拼，完成下列问题： （1）在一张纸上画 4 个与图（4）全等的直角三角形，并把它们剪下来 (4)(5) （2）用这4 个直角三角形拼一拼，摆一摆，

6、看能否得到一个含有以斜边 c为边长的正 方形，你能利用拼图的方法，面积之间的关系说明上节课关于直角三角形三边关系的猜想 吗？ （3）有人利用图（4）这 4 个直角三角形拼出了图（5） ，你能用两种方法表示大正方 形的面积吗？ 大正方形的面积可以表示为：_，又可以表示为_ 对比两种表示方法，你得到直角三角形的三边关系了吗？ 设计意图： 让学生通过拼图计算面积的方法证明直角三角形的三边关系， 培养学生的动手操作能力 和创新意识 师生行为： 学生在独立思考的基础上，以小组为单位交流自己拼图的结果 教师深入小组参与活动，倾听学生的交流，并帮助、 指导学生完成任务，用计算面积的 方法比较得出直角三角形的

7、三边关系 在本次活动中，教师应关注： 能否通过拼图计算面积的方法得到直角三角形的三边关系 学生能否积极主动地参与拼图活动 生：我也拼出了图（5） ，而且图（5）用两种方法表示大正方形的面积分别为 （a+b）2或 4 化简得：a2+b2=c2 由于图（4）的直角三角形是任意的，因此 a2+b2=c2，即直角三角形两直角边的平方和 等于斜边的平方 生：我拼出了和这个同学不一样的图，如图（ 6）大正方形的边长是c，小正方形的边 长为 a-b，利用这个图形也可以说明勾股定理因为大正方形的面积也有两种表示方法， 既可以表示为 c2，又可以表示为 11 ab+c2，由此可得（a+b）2=4ab+c2 22

8、 1 ab4+（b-a）2对比两种表示方法可得 2 c2= 1 ab4+（b-a）2化简得 c2=a2+b2， 2 同样得到了直角三角形的三边关系 (6) 师：这样就通过推理证实了命题1 的正确性，我们把经过证明被确定为正确的命题叫 做定理命题 1 与直角三角形的边有关，我国把它称为勾股定理 我国古代的学者们对勾股定理的研究有许多重要成就， 不仅在很久以前独立地发现了勾 股定理， 而且使用了许多巧妙的方法证明了它为了弘扬我国古人赵爽的证法， 大家从中一定 会领略到我国古代数学家的智慧 活动活动 3 3 图（6）这个图案和 3 世纪我国汉代的赵爽在注解周髀算经 时给出的图案一模一样， 人们称它为

9、“赵爽弦图”，赵爽利用弦图证明命题 1（即勾股定理）的基本思路如下，如图 （7） 把边长为 a，b 的两个正方形连在一起，它的面积为 a2+b2，另一方面这个图形由四个全 等的直角三角形和一个正方形组成 把图（7）中左、右两个三角形移到图 （9）所示的位置， 就会形成一个 c 为边长的正方形 因为图（7）与图（ 9）都是由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，所以它们的面 积相等 因此 a2+b2=c2 上面的证法是我国有资料记载的对勾股定理的最早证法 “赵爽弦图”表现了我国古人对 数学的钻研精神和聪明才智它是我国古代数学的骄傲正因如此，这个图案被选为 2002 年在北京召开的国际数学家大会的

10、会徽 设计意图： 了解我国古代数学成就， 为我国数学未来的发展立志作出贡献， 培养学生的爱国主义精 神 师生行为： 在教师的引导下进一步体会我国古代数学家证明勾股定理的聪明、智慧 师：在所有的几何定理中， 勾股定理的证明方法也许是最多的在西方，一般认为这个 定理是由毕达哥拉斯发现的，所以人们称这个定理为毕达哥拉斯定理 1940 年，国外有人收集了勾股定理的365 种证法，编了一本书其实， 勾股定理的证 法不止这些，作者之所以选用了365 种，也许他是默默地想让人注意，勾股定理的证明简 直到了每天一种的地步 生：老师， 我在查资料时，还发现勾股定理的证明还和美国的一个总统有关系，是这样 吗？ 师

11、：是的1876 年 4 月 1 日，美国俄亥俄州共和党议员加菲尔德，颇有兴趣地在新 英格兰教育日志上发表了提出的一个勾股定理的证明 据他说，这是一种思维体操，并且 还调皮地声称，他的这个证明是得到两党议员“一致赞同的”由于 1881 年加菲尔德当上了 美国第二十届总统，这样，他曾提出的那个证明也就成了数学史上的一段佳话 生：能给我们介绍一下这位总统的证明方法吗？ 师：可以，如下图所示，这就是这位总统用两个全等的直角三角形拼出的图形，和第 一个同学用全等的四个直角三角形拼出来的图形对比一下，有联系 生：总统拼出 的图形恰好是第一个同学拼出的大正方形的一半 师：同学们不妨自己从上图中推导出勾股定理

12、 生：上面的图形整体上拼成一个直有梯形 所以它的面积有两种表示方法， 既可以表示 为 11 （a+b）（a+b） ，又可以表示为ab2+c2对此两种表示方法可得 22 11 （a+b）（a+b）=ab2+c2化简，可得 a2+b2=c2 22 师：很好同学们如果感兴趣的话，不妨自己也去寻找几种证明勾股定理的方法 活动活动 4 4 议一议： 观察上图，用数格子的方法判断图中两个三角形的三边关系是否满足a2+b2=c2 设计意图： 前面已经讨论了直角三角形三边满足的关系， 那么锐角三角形或钝角三角形三边是否也 满足这一关系呢？学生通过数格子的方法可以得出： 如果一个三角形不是直角三角形， 那么 它

13、的三边 a，b，c 不满足 a2+b2=c2通过这个结论，学生将对直角三角形的三边的关系有进 一步的认识 师生行为： 学生分小组讨论交流，得出结论： 教师提出问题后，组织讨论，启发，引导 此活动教师应重点关注： 能否积极参与数学活动； 能否进一步体会到直角三角形非常重要的三边关系 师：上图中的 ABC 和 ABC是什么三角形？ 生： ABC， ABC在小方格纸上， 不难看出 ABC 中， BCA90； ABC中， ABC， BCA， BAC都是锐角，所以 ABC是钝角三角形， ABC是锐角三角形 师： ABC 的三边上“长”出三个正方形，谁为帮我数一个每个正方形含有几个小格子 生：以 b 为边

14、长的正方形含有9 个小格子，所以这个正方形的面积b2=9个单位面积； 以 a 为边长的正方形中含有 8 个小格子，所以这个正方形的面积 a2=8 个单位面积，以 c 为 边长的正方形中含有 29 个小格子，所以这个正方形的面积c2=29 个单位面积 a2+b2=9+7=16 个单位面积，c2=29 个单位面积，所以在钝角三角形ABC 中 a2+b2c2 师：锐角三角形 ABC中，如何呢？ 生：以 a 为边长的正方形含 5 个小格子，所以 a2=5 个单位面积；以 b 为边长的正方形 含有 8 个小格子，所以b2=8 个单位面积；以c 为边长的正方形含 9 个小格子，所以a2=9 个 单位面积

15、由此我们可以算出 a2+b2=5+8=13 个单位面积 在锐角三角形 ABC中， a2+b2c2 师：通过对上面两个图形的讨论可进一步认识到只有在直角三角形中，a，b，c 三边 才有 a2+b2=c2（其中 a、b 是直角边，c 为斜边）这样的关系 生： 老师， 我发现在钝角三角形ABC中， 虽然a2+b2c2， 但它们之间也有一种关系a2+b2c2，它们恒成立吗？ 师：这位同学很善于思考，的确如此，同学们课后不妨验证一下，你一定会收获不小 三、课时小结三、课时小结 活动活动 5 5 你对本节内容有哪些认识？会构造直角三角形， 并理解构造原理， 深刻理解勾股定理的 意义 设计意图： 这种形式的

16、小结，激发了学生的主动参与意识， 调动了学生的学习兴趣， 为每一位学生 都创造了在数学学习活动中获得成功的体验机会， 并为程度不同的学生提供了充分展示自己 的机会，尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要， 从而使小结活动不流于形式而具有 实效性，为学生提供更好的空间以梳理自己在本节课中的收获 小结活动既要注重引导学生体会勾股定理独特的证明方法又要从能力， 情感态度方面关 注学生对课堂的整体感受 师生行为： 由学生小组讨论小结 在活动 5 中，教师应重点关注： （1）不同层次的学生对本节知识的认同程序； （2）学生要从我国古人对数学的钻研精神和聪明才智中得 到启示，树立学好数学的 信心 板书设

17、计板书设计 181勾股定理（二） 1用拼图法验证勾股定理 （1） 由上图得（a+b）2= 即 a2+b2=c2； （2） 1 ab4+c2 2 由上图可得 c2= 即 a2+b2=c2 2介绍“赵爽弦图” 活动与探究活动与探究 如右图，木长二丈， 它的一周是 3 尺，生长在木下的葛藤缠木七周，上端恰好与木刘， 问葛藤长多少？ 过程：从表面上看，这道题与勾股定理无关系 但是如果你用一张直角三角形的纸片约 一支圆柱形铅笔上缠绕，就会发现；这里的葛藤之长相当于直角三角形的斜边 结果：根据题意，可得一条直角边（即高）长2 丈即 20 尺，另一条直角边（即底边） 长 73=21（尺） ，因此葛藤长设为x

18、 尺，则有x2=202+212=841=292，所以x=29尺，即葛藤长 为 29 尺 备课资料备课资料 一一、 原本一书中勾股定理的证明原本一书中勾股定理的证明 我们知道， 勾股定理的证明方法有五百余种 现存的最古老的证明， 载于欧几里得的 原 本一书中，它随原本在世界广泛流传而流传，成为二千年来几何学教科书中通用 证法 如图，在 Rt ABC 各边上向外作正方形 ABED，BCGK，CAFH连结 CD，FB 因为 AF=AC，AB=AD， FAB= CAD=90+ CAB，所以 FAB CAD， 作 CL AD因为 S FAB= 1 ab4+（b-a）2 2 1 FAFH （FH 为 FAB的 AF 边上的高） 2 而 S 正方形CAFH=FAFH所以 S正方形CAFH=2S FAB 又因为