数学中考复习专题解析及测试专题 《数与式》

1、专题一数与式 中考点击中考点击 考点分析： 内容内容 1、平方根，算术平方根、立方根的概念及表示，乘方的意义 2、无理数和实数的概念，近似数和有效数字 3、二次根式的概念及加、减、乘、除运算法则 4、实数的大小比较，实数的混合运算 5、单项式、多项式有整式概念 6、整数指数幂的意义和基本性质，整式的加、减、乘、除运算，乘法公式 7、提公因式法、公式法分解因式 8、分式的概念，分式的基本性质，约分和通分 9、简单的分式加、减、乘、除 要求要求 要求：理解掌握 要求：灵活运用 命题预测：实数是初中数学的基础知识， 也是其他学科的重要工具 因此在近年来各地 的中考试题中一直占有重要的地位 这部分试题

2、大多数十分重视基础知识的考察， 试题的呈 现形式多以贴近生活实际的形式， 试题的难度不大多数来源于教材的习题或稍加变通 题 型主要是填空题、选择题也有计算题，但是，计算题的难度不大，没有繁杂的计算近几年 来， 部分地区还设计了开放性探索题 预计今后的中考对实数的考察难度将依然控制在2006 年的基础上这部分的试题量一般占试题总量的2%6%，分值占总分的 3%5% 代数式的知识在历年全国各地的中考试卷中始终占有一定的地位，并且与实数部分一 样，试题多数为题型小、难度低、思维量少、一捂即得的填空题和选择题，基本上没有难题 和怪题，虽然近年部分省、市出现了一些开放、猜想题、规律探索题、阅读理解题等创

3、新题 型，但是，多数都来源于教材，考生依然会感到得心应手这部分考题一般在6%左右，分 值占 7%左右 综上所述， 预计今年中考对本专题的内容除继承以往的优点外， 还会继续加强源于教材 而又活于教材的题型，考察学生灵活应用知识的能力 促进课堂教学对创新能力的培养， 从 而全面提高素质教育 难题透视难题透视 例 1 根据下表中的规律，从左到右的空格中应依次填写的数字是 000110010111001111 A100，011B011，100C011，101D101，110 【考点要求】本题考查以计算机语言为背景， 用符号来表示数字的问题 利用符号来表 示数字 0 和 1，要求能实现符号与数字的相互转

4、化 【思路点拨】通过观察，不难发现两个并排的短横表示0，而一条长横表示 1，所表示 的数是从上往下看，因而表格中的两个空格中所填的数这011 和 100 【答案】选 B 【方法点拨】部分学生不能够读懂题意，无法做出正确选择，往往会随便猜出一个答 案突破方法： 根据表格中所提供的信息，找出规律，容易发现短横与长横所表示的不同意 义然后对照分析出两个安全空格中所应填写的数字 解题关键：对题目中提供的信息要仔细观察分析，理解其表示的意义 例 2 用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按图1-1 方式铺地板，则第（3）个图形 中有黑色瓷砖块，第n个图形中需要黑色瓷砖块（用含n的代数式表示） （1）（2）

5、 图 1-1 （3） 【考点要求】 本题考查数形结合、 整理信息， 将图形转化为数据， 猜想规律、 探求结论 【思路点拨】根据图形可得出以下数据：第1 个图形，黑色瓷砖4 块；第2 个图形，黑 色瓷砖 7 块；第 3 个图形，黑色瓷砖 10 块不难看出，每幅图形中的黑色瓷砖依次增加 3 块，如果把第一个图形中的黑色瓷砖表示为13，则第2 个图形中的黑色瓷砖可表示为1 32所以第 n 个图形中的黑色瓷砖为1+3n 【答案】黑色瓷砖 10 块，第 n 个图形中的黑色瓷砖为1+3n 【方法点拨】部分学生缺乏一定的图形鉴别能力， 不知如何分析突破方法：抓住其中 的黑色瓷砖数目的变化规律，结合图形，观察

6、其变化规律 例 3 下列运算中，计算结果正确的是（） A.x x xB.x 329 2362n xn2 xn2 336 C. (2x ) 4x D.x x x 【考点要求】本题考查整式运算公式 【思路点拨】 同底数幂的乘法法则是底数， 不变指数相加， 而除法可能转化为乘法进行， 幂的乘方是底数不变，指数相乘A 项结果应等于x，C 项结果应等于4x，而 D 项无法 运算 【答案】选 B 【方法点拨】部分学生对幂运算公式掌握不够熟练，容易前生计算错误突破方法：加 强相关练习，熟悉乘法公式 例 4 我国自行研制的“神舟 6 号飞船”载人飞船于 2005 年 10 月 12 日成功发射，并以每 秒约

7、7.820185 公里的速度，在距地面343 公里的轨道上绕地球一圈只需90 分钟，飞行距离 约 42229000km 请将这一数字用科学记数法表示为_km (要求保留两位有效数字) 【考点要求】本题考查了学生科学记数法以及有效数字的知识 【思路点拨】用科学记数法表示绝对值较大的数时，关键是10 的指数，可归纳为指数 n 等于原数整数部分的位数减一所以这一数字可表示为4.2107 【答案】4.2107 【方法点拨】部分学生在用科学记数法表声学家较大或者较小的数时，对于10 的指数 容易弄错突破方法：掌握规律，记住幂的指数的确定方法 解题关键：科学记数法a10中，a 是整数数位只有一位的数，10

8、 的指数是由小数点 移动的位数决定的，也可以简单的记作用原数的数位减去1 所得到的数值 例 5 分解因式：12aa b= 22 n 56 【考点要求】本题考查多项式的因式分解 【思路点拨】 本题是四项， 应采用分组分解法， 分组分解法主要有两种， 一是二二分组， 另 一 种 是 一 三 分 组 ， 本 题 应 采 用 一 三 分 组 法 进 行 分 解 原 式 (12aa2)b2 (1a)2b2 (1ab)(1ab) 【答案】填(1ab)(1ab) 【规律总结】部分学生含四项的多项式分解感到有一些困难 突破方法：在无法用提公 因式或者直接运用公式进行因式分解时，往往还会进行分组分解 解题关键：

9、分组分解一般是对含四项的多项式而言的， 常见的有两种分组方法： 二二分 组，一三分组，有时还需要对原式的各项进行必要的交换 例 6 有一道题“先化简，再求值：( 题时把“x 3”错抄成了“x x24x1 ，其中x 3 ”小玲做 2 ) 2x2x 4x 4 3” ，但她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么 回事？ 【考点要求】本题考查的是分式的化简求值，同时也考查了学生辨析正误的学习能力 x24x44x 22(x 4) x 4 因 为【 思 路 点 拨 】 把 原 式 化 简 ， 可 得 2x 4 ( 3)2 ( 3)2，所以无论是“x 3”或“x 3” ，代入化简后的式子中，所求得 的值都是

10、相等的因而即使代错数值，结果仍然是正确的 【方法点拨】部分学生不熟悉这种题型，因而不知如何下手，举棋不定突破方法：平 时要注意多加积累，熟悉各种不同形式的问题，同时要能有一定创新思维，能应对新问题 解题关键：解这类问题时，先按常规方法正确求解， 再比较分析为什么会出现值代错了 但结果正确的原因 例 7 已知ab m,ab 4，化简(a2)(b2)的结果是（） A6B2m8C2mD2m 【考点要求】本题考查多项式的求值运算， 不仅考查了学生整式乘法运算， 同时还要求 具备整体思想，这也是数学解题中常用的一种技巧 【思路点拨】 原式按多项式乘法运算后为ab2(ab)4， 再将ab m,ab 4代

11、入，可得2m 【答案】选 D 【方法点拨】部分学生想通过由已知条件求出a、b 的值，然后再代入求值，一种情况 是无法解得结果， 另一种是会用含 m 的式子表示 a、b，但解题过程较繁琐， 且容易出错 突 破方法：运用整体思想解题，能发现原式乘开后可用含ab和ab的式子表示，再将已知 条件代入即可 解题关键：许多类似的求代数式值的问题， 往往不是直接将字母的值代入， 而是利用整 体代入求值 例 8 如图 1-2，时钟的钟面上标有 1，2，312 共计 12 个数，一条直线 把钟面分成了两部分，请你再用一条直线分割钟面，使钟面被分成三个 图 1-2 不同的部分且各部分所包含的几个数的和都相等， 则

12、其中的两个部分所包含的几个数分 别是 【考点要求】本题考查对数字的观察及推理能力 【思路点拨】钟面上的数字之和为 78，依题意，三部分之和相等，则每部分之和只能 为 783=26，而图中钟面上的 1、2、11、12 之和已经为 26，所以所画的这条线只能在图中 这条直线的下方，即过 4 和 5，8 和 9 之间画直线 【答案】3、4、9、10，5、6、7、8 【误区警示】 本题部分学生不知从何处入手， 或者漫无目标的尝试去画， 这样费时较多， 而且容易达到目标突破方法：仔细阅读，认真分析，理清题意可减少尝试分割的次数 111 ，任何一个单位分数都可 234 111111111 以拆分成两个不同

13、的单位分数的和，如， 23634124520 111 （1）根据对上述式子的观察，你会发现，请写出，所表示的数； 5W 例 9 我们把分子为 1 的分数叫做单位分数如 （2）进一步思考，单位分数 11 1 （n 是不小于 2 的正整数） ，请写出，所 ne 表示的式，并加以验证 【考点要求】本题考查学生对新信息的理解与运用 【思路点拨】通过对三组式子的观察， 不难找出规律等式右边的第一个分母是左边的 分母加 1，第二个分母是前两个分母的乘积，如果设左边的分母为n，则右边第一个分母为 （n1） ，第二个分母为n（n1） 所以问题（1）中，表示的数为6，表示的数为30； 问题（2）中，表示的式为n

14、1，表示的式为n(n1) 验证： n1111n1 ，所以上述结论成立 n1n(n1)n(n1)n(n1)n(n1)n 【答案】 （1）表示的数为 6，表示的数为 30； （2）表示的式为n1，表示的 式为n(n1) 【方法点拨】部分学生不能看出题目已知条件中所反映出的规律 突破方法：对比已知 的三个式子，进行比较分析，可以看出每个等式中的各个分子都是1，而分母也特殊关系， 得到这些信息后，完成解题不再困难 解题关键：当题中有一组并列条件时，往往将它们放在一起进行观察、比较、分析，从 中发现重要信息 例 10 阅读下面的材料，回答问题： 点 A、B 在数轴上分别表示实数 a、b，A、B 两点之间

15、的距离表示为AB当 A、B 两 点中有一点在原点时，不妨设点 A 在原点，如图 1-3，AB OB b ab；当 A、B 两点都不在原点时： （1） 如图 1-4， 点 A、 B 都在原点的右边，AB OB OA b a ba ab； O（A） 0 图 1-3 B b O 0 A a 图 1-4 B b 都在原点的左边，（2）如图1-5，点A、B AB OB OA b a b(a) ab ab； （3）如图1-6，点A、B在原点的两边， AB OA OB a b a(b) ab ab B b 图 1-5 B b O 0 图 1-6 综上，数轴上 A、B 两点之间的距离AB ab 回答下列问题：

16、 （1）数轴上表示 2 和 5 的两点之间的距离是；数轴上表示2 和5 的 两点之间的距离是；数轴上表示 1 和3 的两点之间的距离 是 （2） 数轴上表示 x 和1 的两点 A 和 B 之间的距离是 如果AB 2， 那么 x= 【考点要求】本题通过阅读材料，引出数轴上两点A、B 的距离公式AB ab，再 引出相关问题，考查学生阅读材料，获取新的信息和结论，然后应用所得结论，解答新问题 的能力 【思路点拨】依据阅读材料，所获得的结论为 AB ab，结合各问题分别代入求 解（1）25 3, 2(5) 3,1(3) 4；（2）AB x(1) x1； 因为AB 2， 所以x1 2，所以x1 2或x1

17、 2所以x 1或x 3 A a O 0 A a 【答案】 （1）3，3，4； （2）x 1或x 3 【误区警示】部分学生因为题目较长， 阅读能力稍差的同学不易找出正确结论解题 突 破方法：反复阅读材料，从中获取重要结论，帮助解题 难点突破方法总结难点突破方法总结 实数是初中数学基础知识， 中考试题中的实数问题各种题型都会涉及到， 在解决实数问 题时，要注意以下几点： 1.要准确掌握各个概念 概念是组成数学知识的基本元素 实数一章中的概念较多， 基 础性强，对后续学习影响大，不少概念还含有运算性质如相反数、倒数、绝对值、算术平 方根、负整数指数幂、科学记数法等，所以必须要弄清各个概念的区别或者联

18、系， 防止应考 过程中出现混淆 2.要熟练各种运算 明白各种运算法则和运算性质， 要通过一定量的练习使实数的有关 运算形成一定的运算技能 3.在解答有关实数的选择题、 填空题和计算题时， 一般采用直接求解法对于体现创新 意识的探索规律型问题，可采用图示、猜想、归纳、计算验证等各种方法 整式和分式是代数中的重要内容，填空、选择题以基本概念为主，而解答题则以化简、 求值为主一般要注意如下内容： 1.要准确理解和辨析单项式次数、系数、 同类项，分式的通分和约分、最简分式等概念 的内涵特别要关注简单整式和分式的运算 2.运用公式或法则进行计算，首先要判断题目是否具备某一公式或者法则的结构特征， 在此基

19、础上正确选用公式或法则进行计算 3.灵活运用分式的基本性质、 变号法则、因式分解、整体变换等解题技能进行分式的约 分和通分运算 4.充分关注数形结合思想、 整体思想、 分类讨论思想， 在整式和分式变换求值中的应用 5.此外，试题呈现的背景贴近生活， 贴近社会，而不再是拘泥于抽象的纯数学问题，因 而要求学生要学会观察、分析、猜想、验证、表达等基本的解决辨别及解决问题的能力和策 略 拓展演练拓展演练 一、填空题 1 （ 1 2007） （2）2008 2 2 如果数轴上不同的两点 A、B 所表示的数的绝对值相等，那么A、B 两点所表示的数可 以是 （只写出一组即可） 3 若 a，b 互为相反数，c

20、，d 互为倒数，则（ab）cd x21 4 已知分式，当 x时，分式的值为 0 (x 2)(x 1) 5 德国数学家莱布尼兹发现了下面的单位分数三角形（单位分数是分子为1，分母为正整 数的分数） ： 第一行 第二行 1 1 11 22 111 363 1111 第四行 412124 11111 第五行 55202030 第三行 根据前五行的规律，可以知道第六行的数依次是： 6 在方格纸上，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角 形如图，在 44 的方格纸上，以 AB 为边的格点三角形 ABC 的面积为 2 个平方单位，则符合条件的C 点共有个 7.观察按下列顺序排列的等式: 90

21、+1=1 B 91+2=11 92+3=21 93+4=31 94+5=41 猜想:第 n 个等式(n 为正整数)用 n 表示,可以表示成_. 8.若非零实数 a，b 满足4a b 4ab，则 22 A b = a 9 有一大捆粗细均匀的电线，现要确定其长度的值，从中先取出1 米长的电线，称出它的 质量为 a，再称其余的电线总质量为b，则这捆电线的总长度是 10已知二次三项式2x bxc分解因式为2(x3)(x1)， 则 b、 c 的值为 二、选择题 11按一定的规律排列的一列数依次为： 这列数中的第 7 个数是（） A 2 1 1 1111 , ，按此规律排列下去， 2 3 10 15 26

22、 35 1111 BCD 40464550 2 12当 x1 时,化简(x1)的结果为( ) A. x1B. x1C. 1xD. x1 13 如图所示,图(1)是一个水平摆放的小正方体木块,图(2),(3)是由这样的小正方体木块叠 放而成,按照这样的规律继续叠放下去,至第八个叠放的图形中,小正方体木块总数应 是 ( ) A. 66B. 91C. 120D.153 14用同样大小的正方形按下列规律摆放，将重叠部分涂上颜色， 下面的图案中，第 n 个图 案中正方形的个数是（） n=1n=2n=3 AnB4n3C4n1D3n2 15将一张长方形纸片对折，可得到一条折痕，继续对折，对折时每次折痕与上次

23、折痕保持 平行，那么对折 n 次后折痕的条数是（） A2n1B2n1C2n1D2n1 16把多项式 1-x2+2xy-y2分解因式的结果是（） A.(1 x y)(1 x y)B.(1 x y)(1 x y) C.(1 x y)(1 x y)D.(1 x y)(1 x y) 17计算(x y 4xy4xy )(x y)的正确结果是 （） x yx y 22 Ay xBx yCx 4yD4y x 18在一个地球仪的赤道上用铁丝打一个箍，现将铁丝半径增大1 米，需增加 m 米长的铁 丝假设地球赤道上也有一个铁箍，同样半径增大 1 米，需增加 n 米长的铁丝，则 m 与 n 的大小关系是 （） Am

24、nBmnCm=nD不能确定 三、解答题 19观察下列各式及其验证过程: 验证:2 222222 22 =2. 33 2322(232)22(221)2 验证：2=；2 2232 12 133 333333(333)33(321)3 验证:3=3 验证：3=3 83213218888 (1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路,猜想 4 4 的变形结果并进行验证； 15 (2)针对上述各式反映的规律,写出用 n(n 为任意自然数,且 n2)表示的等式,并给出证 明 20阅读下列题目的计算过程： x 32 x211 x x 32(x 1) （A） (x 1)(x 1)(x 1)(x 1) （x3

25、）2（x1）（B） x32x1（C） x1（D） （1）上述计算过程中，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号 （2）错误的原因 （3）本题目正确的结论为 习题答案习题答案 专题一数与式 一、填空题 1.【答案】2（点拨点拨：原式=( ) 1 2 2007 1 ）g22007g2 ( g2)2007g2 2 2 2.【答案】 （答案不唯一） 3.【答案】1（点拨点拨：a，b 互为相反数，所 ab=0，c，d 互为倒数，所 cd=1 ） 4.【答案】1（点拨点拨：由题意x 1 0且(x2)(x1) 0，所以 x=1 ） 5.【答案】 2 111111 、（点拨点拨：每行中相邻两个数相加等于上一行 6306060306 中间的数值 ） 6.【答案】3 个 7.【答案】9(n1)n 10(n1)1 22 8. 【答案】 2 （点拨点拨： 将原式改写为4a 4abb 0， 所以(2ab) 0， 可求出 b=2a ） 2 9.【答案】 b 1（点拨 点拨：先取1 米长的电线，称出它的质量为a，其余电线质量为b，则 a bb 其余电线的长度为米，这捆电线的总长度为（ 1）米 ） aa 10. 【答案】 4， 6 （点拨点拨： 将分解后的因式乘开