数学学业水平考试专题复习模块检测(选修21)

1、模块检测模块检测( (选修选修 2 21)1) (时间：80 分钟满分：100 分) 一、选择题(本大题共 18 小题，每小题 3 分，共 54 分) 1对于原命题：“已知a，b，cR R，若 ab，则 ac2bc2”，以及它的逆命题、否命题、逆 否命题，在这四个命题中，真命题的个数为() A1B2C4D0 答案B 解析原命题与逆否命题同真同假，此题中原命题为假，如c0 时不成立，逆否命题为假； 逆命题为真，所以否命题也为真，故选B. 2设 a a，b b 是向量，命题“若 a ab b，则|a a|b b|”的逆否命题是() A若 a ab b，则|a a|b b| B若 a ab b，则|

2、a a|b b| C若|a a|b b|，则 a ab b D若|a a|b b|，则 a ab b 答案C 3设抛物线的顶点在原点，准线方程为x2，则抛物线的方程是() Ay28x Cy24x 答案A p 解析因为准线方程为 x2，所以 2，所以 p4，所以抛物线的方程为 y28x.故选 A. 2 x2y2 4方程1 表示双曲线的一个充分不必要条件是() m2m3 A3m0 C3m4 答案A 解析由(m2)(m3)0，得30)的离心率为 2，一个焦点与抛物线 y216x 的焦点相同，ab B3m2 D1m3 By28x Dy24x 则双曲线的渐近线方程为() Ay Cy 答案B c 解析由题

3、意得抛物线的焦点坐标为(4,0)，所以 c4，又因为双曲线的离心率 e 2，所 a 以 a2，则 b b c2a22 3，所以双曲线的渐近线方程为y x 3x，故选 B. a 3x 2 3x 3 By 3x 3 Dy x 2 6已知 mR ，“函数 y2xm1 有零点”是“函数 ylogmx 在(0，)上为减函数”的 () A充分不必要条件 C充要条件 答案B 解析当m1时， “y2xm1有零点”， 不能说明“ylogmx在(0， )上为减函数”， 充分性不成立 由“ylogmx 在(0，)上为减函数”，可得 00)的离心率为 2，则 a 等于( ) a3 A2B. 答案D a23 c 2解析

4、由 e ，得 e 2 22，a1. aa 12平面 的一个法向量为 n(1， 3，0)，则 y 轴与平面 所成角的大小为() 5 A.B.C.D. 6346 65 C.D1 22 B4 或4 D2 或 2 答案B 解析取 y 轴的方向向量 y y(0,1,0)， 0 ， 设 y 轴与平面 所成的角为 2 |n ny y|3 则 sin ，即 . |n n|y y|23 y2x2 13已知双曲线 1 的一个焦点与抛物线 x212y 的焦点相同，则此双曲线的渐近线方 5m 程为() Ay Cy 答案C 解析抛物线 x212y 的焦点为(0,3)， y2x2 由双曲线 1 的一个焦点与抛物线 x21

5、2y 的焦点相同，可得3 5m y2x2 即双曲线的方程为 1， 54 可得渐近线方程为 y 5x.故选 C. 2 5m，解得 m4， 5x 5 5x 2 2 5 Byx 5 Dy 5x 1 14 已知椭圆 E 的中心为坐标原点， 离心率为 ， E 的右焦点与抛物线 C： y28x 的焦点重合， 2 A，B 是 C 的准线与 E 的两个交点，则|AB|等于() A3B6C9D12 答案B 解析抛物线 C：y28x 的焦点坐标为(2,0)，准线方程为 x2， 椭圆 E 的右焦点为(2,0)， x2y2 椭圆 E 的焦点在 x 轴上，设方程为 221(ab0)，c2，ab c1 e ，a4，b2a

6、2c212， a2 x2y2 椭圆 E 的方程为 1，将 x2 代入椭圆 E 的方程，解得 A(2,3)，B(2，3)， 1612 |AB|6，故选 B. 15如图，已知P 为矩形 ABCD 所在平面外一点，PA平面 ABCD，点M 在线段 PC 上，点 N 在线段 PD 上，且 PM2MC，PNND.若MNxAByADzAP，则xyz 的值为() 124 A1BCD 333 答案C 12 解析MNPNPMPDPC 23 1 2 (ADAP) (PAAC) 23 1122 ADAPAP(ABAD) 2233 211 ABADAP. 366 2112 xyz . 3663 16若抛物线 x2my

7、 上一点 M(x0，3)到焦点的距离为 5，则实数 m 的值为() A8B4C8D4 答案A m 解析抛物线的准线方程为 y ， 4 m 所以 (3)5，即 m8，故选 A. 4 x2y2 17已知双曲线 221(a0，b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，抛物线 y22px(p0)的焦ab 点与双曲线的右焦点 F2重合，P 为抛物线和双曲线的一个交点，且PF1F2 ，则双曲线的 4 离心率为() A2 2B2C. 2D1 2 答案D 解析如图，作 PH 垂直于抛物线的准线于点H， 则PF1F2F1PH， 4 由抛物线的定义知|PH|PF2|， 不妨设|PH|PF2|1， 则|PF1| 2，

8、在PF1F2中， 由余弦定理可得|F1F2|1，即 2c1. 因为点 P 也在双曲线上， 所以有 2a|PF1|PF2| 21. c1 因此双曲线的离心率 e 21，故选 D. a 21 18 设抛物线 y26x 的焦点为 F， 准线为 l， P 为抛物线上一点， PAl， 垂足为 A， 如果APF 为正三角形，那么|PF|等于() A4 3B6 3C6D12 答案C 3 解析由题意得抛物线的焦点为F 2，0， 3 准线 l 的方程为 x ， 2 设抛物线的准线与 x 轴的交点为 B， 3 ，0，则点 B 的坐标为 2 因为APF 为等边三角形，PAl， 所以BAF30，所以|PF|FA|2|

9、BF|236，故选 C. 二、填空题(本大题共 4 小题，每空 3 分，共 15 分) 17 19已知抛物线 C：x22py(p0)上一点 A(m,4)到其焦点的距离为，则 p_. 4 1 答案 2 p 0， ， 解析由题意可知，该抛物线的焦点为 2 p 准线为 y ， 2 p171 所以 4 ，故 p . 242 20 设双曲线 C 的焦点在 x 轴上， 渐近线方程为 y 在双曲线 C 上，则双曲线 C 的方程为_ 6x2y2 答案 1 284 x2y2 解析设双曲线方程为 221(a0，b0)，ab b2 则由已知得 ， a2 c 则离心率 e a b 2 6 1 a 2 . 2x， 则其

10、离心率为_； 若点(4,2) 2 将点(4,2)代入双曲线方程， 164b2 得 2 21，结合 ，可求得 a28，b24， aba2 x2y2 所以双曲线方程为 1. 84 x2y2 21 过双曲线 C： 221(a0， b0)的一个焦点作圆 x2y2a2 的两条切线， 切点分别为 A， ab B.若AOB120(O 是坐标原点)，则双曲线 C 的离心率为_ 答案2 解析如图，设双曲线的一个焦点为F， 则在AOF 中，|OA|a，|OF|c，FOA60. c c2a，e 2. a 22.如图， 在三棱锥 SABC 中， ABC 是边长为 2 的正三角形， SASBSC4， 平面 DEFH 分

11、别与三棱锥 SABC 的四条棱 AB， BC， SC， SA 交于 D， E， F， H， 若直线 SB平面 DEFH， 直线 AC平面 DEFH，则平面 DEFH 与平面 SAC 所成二面角(锐角)的余弦值为_ 答案 7 15 30 解析取 AC 的中点 G，连接 SG，BG 分别交 HF，DE 于 M，N，连接 MN. 易知 SGAC，BGAC， 又 SGBGG，SG，BG平面 SGB， 故 AC平面 SGB. 因为 AC平面 DEFH，AC平面 SAC， 平面 SAC平面 DEFHHF，则 ACHF， 所以 HF平面 SGB， 所以 HFMN，HFMG，NMG 即为平面 DEFH 与平面

12、 SAC 所成二面角的平面角 同理，由 SB平面 DEFH 可知，SBDH， 又易知 MNDH，所以 MNSB， 所以NMGBSG. 易知 SG 15，BG 3， SB2SG2GB2 7 15 所以 cosBSG . 2SBSG30 7 15 故所求二面角的余弦值为 . 30 三、解答题(本大题共 3 小题，共 31 分) 1 23(10 分)若曲线 C 上的动点 M 到定点 F(2,0)和它到定直线 x 的距离之比是 2. 2 (1)求曲线 C 的方程； (2)若直线 l：xy20 与曲线 C 相交于 A，B 两点，求FAB 的面积 解(1)设 M(x，y)，由题意得 x22y22， x1

13、2 y2 化简可得 x 1. 3 2 (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， y x2 3 1， 联立得 2x24x70， yx2， 1656720， 7 x1x22，x1x2 ， 2 |AB|1k2x1x224x1x26， 4 2 2， 2 2 点 F 到直线 AB 的距离 d 1 S FAB 62 26 2. 2 24(10 分)如图所示，已知点M(a，3)是抛物线 y24x 上一定点，直线AM，BM 的斜率互为 相反数，且与抛物线另交于A，B 两个不同的点 (1)求点 M 到其准线的距离； (2)求证：直线 AB 的斜率为定值 (1)解因为 M(a,3)是抛物线 y24x 上一定

14、点， 9 所以 324a，a . 4 因为抛物线 y24x 的准线方程为 x1， 913 所以点 M 到其准线的距离为 (1) . 44 (2)证明由题意知直线 MA，MB 的斜率存在且不为0， 9 x ， 设直线 MA 的方程为 y3k 4 9 x ， y3k 412 4 联立得 y2 y 90， kk 24x， y 12 164816 2 4 k 9 k2 k 360， k 44 因为 yA3，所以 yA3， kk 因为直线 AM，BM 的斜率互为相反数， 9 x ， 所以直线 MB 的方程为 y3k 4 4 同理可得 yB3， k yByAyByA 4 所以 kAB 2 2 xBxA y

15、ByA yByA 44 2 ，满足 0， 443 3 3 k k 4 2 所以直线 AB 的斜率为定值 . 3 25 (11 分)在正三角形 ABC 中， E， F， P 分别是 AB， AC， BC 边上的点， 满足 AEEBCFFA CPPB12， 将AEF 沿 EF 折起到A1EF 的位置， 使二面角 A1EFB 成直二面角， 连接 A1B，A1P(如图所示) (1)求证：A1E平面 BEP； (2)求二面角 FA1PB 的余弦值 (1)证明设正三角形 ABC 的边长为 3a， 则由题意可知 AEa，AF2a，BAC60， 由余弦定理可得 EF2AF2AE22AFAEcosBAC3a2， 即 EF 3a，AE2EF2AF2，则 ABEF. 在折起后的立体几何中，A1EEF，BEEF， 所以二面角 A1EFB 的平面角为A1EB， 则A1EB90，即 A1EBE， 又 BEEFE，BE，EF平面 BEP， 所以 A1E平面 BEP. (2)解以 E 为坐标原点，EB，EF，EA1所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐 标系，如图所示 则 E(0,0,0)，F(0， 3a,0)，B(2a,0,0)，A1(0,0，a)，P(a， 3a,0)， A1P(a， 3a，a)， A1F(0， 3a，a)， BP(a，