新学案新编高三总复习第四章章末优化训练

1、章末优化训练 (本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题5 分，共60 分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的) 1已知 xR R ，i 为虚数单位，若(12i)(xi)43i，则 x 的值等于() A6B2 C2D6 解析：依题意(12i)(xi)x2(12x)i43i，则 x24，解得 x2，故选 C. 答案：C 2在梯形 ABCD 中，ABCD，且|AB|DC|，设ABa a，ADb b，则AC() Aa ab bBa ab b 11 C. a ab bDa a b b 11 解析：ACADDCb bABb ba a.故选

2、C. 答案：C 12i2i 3复数等于() 1i2 55 A.B 22 55 C. iD i 22 12i2i24ii2i2 5i5 【解析】 ，故选 B. 2 1i2 2i2i 答案：B 4在ABC 中，点 P 在 BC 上，且BP2PC，点 Q 是 AC 的中点，若PA(4,3)，PQ (1,5)，则BC() A(2,7)B(6,21) C(2，7)D(6，21) 解析：AQPQPA(3,2)，AC2AQ(6,4) PCPAAC(2,7)，BC3PC(6,21)故选 B. 答案：B 5已知 a a，b b 是非零向量且满足(a a2b b)a a，(b b2a a)b b，则 a a 与

3、b b 的夹角是() A.B. 63 25 C.D. 36 解析：(a a2b b)a a，(a a2b b)a aa a22a ab b0， 即 a a22a ab b. (b b2a a)b b，(b b2a a)b bb b22a ab b0， 即 b b22a ab b.a a2b b22a ab b. a ab ba ab b1 cosa a，b b 2 . |a a|b b|a a2 又a a，b b0，a a，b b . 3 答案：B 6已知 A(1,0)，B(1,0)，点 P 满足PAPB1，则|PAPB|等于() A2 2B. 2 C2D1 解析：设点 P 的坐标为(x，y)

4、，则PAPB(1x，y)(1x，y)x21y21， 整理可得 x2y22，即点 P 的轨迹是以原点 O 为圆心，半径为 2的圆，|PAPB|2PO| 2 2. 答案：A 7在ABC 中，AB2，BC3，ABC60，AD 为 BC 边上的高，O 为 AD 的中点， 若AOABBC，则 () 1 A1B.2 12 C.D. 33 11 1 1 11 解析：ADABBDABBC，即2AOABBC，AOABBC.故 332626 2 .故选 D. 3 答案：D 2 ， ，若 a a 8已知向量a a(cos 2，sin )，b b(1,2sin 1)，b b ，则 tan 44 5 的值为() 12

5、A.B. 37 12 C.D. 73 22 解析：由 a ab b 得：cos 2sin (2sin 1) ， 55 2 又 cos 212sin2，即 12sin22sin2sin ， 5 3 有 sin ， 5 1233 ，则 sin ，所以 ，则 tan ，所以 tan ， 若 4224 7254 故选 C. 答案：C 9下列各式： |a a| a aa a；(a ab b)c ca a(b bc c)；OAOBBA； 在任意四边形 ABCD 中，M 为 AD 的中点，N 为 BC 的中点，则ABDC2MN； a a(cos ，sin )，b b(cos ，sin )，且 a a 与 b

6、 b 不共线，则(a ab b)(a ab b) 其中正确的个数有() A1B2 C3D4 解析：|a a| a aa a正确； (a ab b)c ca a(b bc c)； OAOBBA正确； 如右图所示， MNMDDCCN且MNMAABBN， 两式相加可得 2MNABDC，即命题正确； a a，b b 不共线，且|a a|b b|1， a ab b，a ab b 为菱形的两条对角线，即得(a ab b)(a ab b) 命题正确 答案：D 10点M 是边长为 2 的正方形 ABCD 内或边界上一动点，N 是边 BC 的中点，则ANAM 的最大值是() A2B4 C5D6 解析：以 A 为

7、原点，AB 所在直线为 x 轴，AD 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系， 则 N(2,1)，B(2,0)，D(0,2)，C(2,2) 设点 M 坐标为(x，y)，则AMAN(x，y)(2,1)2xy.当直线 2xy0 平移到点 C 时， Zmax2226.故选 D. 答案：D 11 设 a a(a1， a2)， b b(b1， b2) 定义一种向量积： a ab b(a1， a2)(b1， b2)(a1b1， a2b2) 已 1 2， ，n n ，0，点 P(x，y)在 ysin x 的图象上运动，点Q 在 yf(x)的图象上运知 m m 23 动，满足OQm mOPn n(其中 O 为坐

8、标原点)，则 yf(x)的最大值 A 及最小正周期 T 分别为 () A2，B2,4 11 C. ，4D. ， 22 解析：设 Q(x0，y0)，OQ(x0，y0)，OP(x，y)， 1 2， (x，y) ，0OQm mOPn n，(x 0，y0)23 11 2x， y ，02x， y， 2332 1 x02x ， x2x06， 3 1 y0 yy2y0. 2 1 x0 ， 代入 ysin x 中，得 2y0sin 62 1 所以最大值为 ，周期为 4，选 C. 2 答案：C 12设a a，b b，c c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a a 与 b b 不共线， a ac

9、 c，|a a|c c|，则|b bc c|的值一定等于() A以 a a，b b 为两边的三角形的面积 B以 b b，c c 为两边的三角形的面积 C以 a a，b b 为邻边的平行四边形的面积 D以 b b，c c 为邻边的平行四边形的面积 解析：|b bc c|b b|c c|cos |，如图，a ac c，|b bcos |就是以 a a、b b 为邻边的平行四边形 的高，而|a a|c c|， |b bc c|a a|(|b b|cos |)， |b bc c|表示以 a a、b b 为邻边的平行四边形的面积 答案：C 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分请把

10、正确答案填在题中横线上) 13若平面向量 a a，b b 满足|a ab b|1，a ab b 平行于 y 轴，a a(2，1)，则 b b_. 解析：由 a ab b 平行于 y 轴设 b b(2，y)，因为|a ab b|1，所以(y1)21，故 y0 或 2. 所以 b b(2,0)或 b b(2,2) 答案：(2,0)或(2,2) iz2 14 已知复数 z13i， z2是复数12i 的共轭复数， 则复数 的虚部等于_ z14 解析： 12i 3i1 12i 316i iz2i4 ，其虚部为 . z14 3i 4104205 4 答案： 5 15 如图， 在平面四边形 ABCD 中，

11、若 AC3， BD2， 则(ABDC)(AC BD)_. 解析： (ABDC)(ACBD)(DBDADAAC)(ACBD)(AC BD)(ACBD)AC2BD232225. 答案：5 16(2011济南市质检)在ABC 中，AB 3，BC2，A90，如果不等式|BAtBC |AC|恒成立，则实数 t 的取值范围是_ 解析：由 AB 3，BC2，A90可知B30， 2 则由题意知|BA|2t2|BC|22tBABC|AC|， 1 即 4t26t20，解得 t1 或 t . 2 1 ， 1，) 答案： 2 三、解答题(本大题共 6 小题，共 74 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤

12、) 17(12 分)已知平面向量 a a(1，x)，b b(2x3，x)，xR R . (1)若 a ab b，求 x 的值； (2)若 a ab b，求|a ab b|. 解析：(1)若 a ab b，则 a ab b(1，x)(2x3，x)1(2x3)x(x)0. 整理得 x22x30，解得 x1 或 x3. (2)若 a ab b，则有 1(x)x(2x3)0， 即 x(2x4)0，解得 x0 或 x2. 当 x0 时，a a(1,0)，b b(3,0)， |a ab b|(1,0)(3,0)|(2,0)|22022. 当 x2 时，a a(1，2)，b b(1,2)， |a ab b|

13、(1，2)(1,2)|(2，4)| 22422 5. 18(12 分)已知 A(1,0)，B(0,1)，C(2sin ，cos ) (1)若|AC|BC|，求 tan 的值； (2)若(OA2OB)OC1，其中 O 为坐标原点，求 sin 2 的值 解析：(1)A(1,0)，B(0,1)，C(2sin ，cos )， AC(2sin 1，cos )，BC(2sin ，cos 1) |AC|BC|， 2sin 12cos2 2sin 2cos 12， 1 2sin cos ，tan . 2 (2)OA(1,0)，OB(0,1)，OC(2sin ，cos )， OA2OB(1,2)， (OA2OB

14、)OC1， 1 2sin 2cos 1，sin cos ， 2 13 (sin cos )2 ，sin 2 . 44 13 19(12 分)设在平面上有两个向量a a(cos ，sin )(0360)，b b ， . 22 (1)求证：向量 a ab b 与 a ab b 垂直； (2)当向量 3a ab b 与 a a 3b b 的模相等时，求 的大小 13 解析：(1)证明：因为(a ab b)(a ab b)|a a|2|b b|2(cos2sin2) 440，故 a ab b 与 a ab b 垂直 (2)由| 3a ab b|a a 3b b|，两边平方得 3|a a|22 3a a

15、b b|b b|2|a a|22 3a ab b3|b b|2， 所以 2(|a a|2|b b|2)4 3a ab b0， 而|a a|b b|，所以 a ab b0， 13 则 cos sin 0，即 cos(60)0， 2 2 60k18090， 即 k18030，kZ Z， 又 0360，则 30或 210. 20(12 分)已知 A(1,0)，B(0,2)，C(3,1)，且ABAD5，|AD|210. (1)求 D 点的坐标； (2)用AB，AD表示AC. 解析：(1)设 D(x，y)，则AB(1,2)，AD(x1，y) ABADx12y5， |AD|2(x1)2y210. x2，x

16、2， 联立，解之得或 y3，y1. D 点的坐标为(2,3)或(2,1) (2)当 D 点的坐标为(2,3)时，AB(1,2)， AD(1,3)，AC(2,1)， 设ACmABnAD， 则(2,1)m(1,2)n(1,3) 2mn， m1， 12m3n， n1. ACABAD. 当 D 点的坐标为(2,1)时，设ACpABqAD， 则(2,1)p(1,2)q(3,1)， 2p3q， p1， 12pq. q1， ACABAD. 所以当 D 点的坐标为(2,3)时，ACABAD； 当 D 点的坐标为(2,1)时，ACABAD. 3A3A cos，sin ， 21(12 分)在ABC 中，角 A，B

17、，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 m m 22 AA cos ，sin ，且满足|m mn n| 3. n n 22 (1)求角 A 的大小； (2)若|AC|AB| 3|BC|，试判断ABC 的形状.【解析方法代码 108001058】 解析：(1)由|m mn n| 3，得 m m2n n22m mn n3， 3AA3AA coscos sin sin 3， 即 112 2222 1 cos A ，0A，A . 23 (2)|AC|AB| 3|BC|， bc 3a， sin Bsin C 3sin A， 23 B 3，sin Bsin 3 2 313 即 sin B cos B ，

18、222 32 B ，又0B，sin 6 23 5 B ， 666 2 B 或，故 B 或 ， 63362 当 B 时，C ； 62 当 B ，C .故ABC 是直角三角形 26 22(14 分)已知 O 为坐标原点，向量OA(sin ，1)，OB(cos ，0)，OC(sin ， 2)，点 P 满足ABBP. ， ，讨论函数 f()的单调性，并求其值域； (1)记函数 f()PBCA， 82 (2)若 O，P，C 三点共线，求|OAOB|的值.【解析方法代码 108001059】 解析：(1)AB(cos sin ，1)，设OP(x，y)， 则BP(xcos ，y) 由ABBP得 x2cos sin ，y1， 故OP(2cos sin ，1) PB(sin cos ，1)，CA(2sin ，1)， f()PBCA(sin cos ， 1)(2sin ， 1)2sin22sin cos 1(sin 2cos 2) 2 ， 2sin