弹性力学(徐芝纶版)

1、,Elastic Mechanics,弹性力学（第四版）,云南农业大学 建筑工程学院,刘文治Tel：1598715327 E-mail：wenzhiliu,第 四 版,Elastic Mechanics,弹性力学简明教程,徐芝纶,作者简介,1911 06.20 - 1999 08.26，工程力学家。江苏江都人。 1934年毕业于清华大学，1936年获美国麻省理工学院硕士学位，1937年获哈佛大学硕士学位。,Elastic Mechanics,河海大学教授，1952年参与组建华东水利学院（现河海大学）并先后任教务长、副院长，是国内最早引进有限单元法解决水利问题的专家。第三届全国人大代表，第五、六

2、、七届全国政协委员。著有工程力学方面论文10余篇，并结合教学工作编写及翻译工程力学方面的教科书10余部，为我国工科院校广泛采用，对工科基础理论教育起了较大作用。其中弹性力学问题的有限单元法是国内最早引进有限单元法的专著，对工程问题的解决起了重要作用。1980当选为中国科学院院士(学部委员)。中国力学学会第一、第二届理事，江苏省力学学会第一届副事长和第二、第三届理事长，以及第四届名誉理事长。,Elastic Mechanics,第一章 绪论,Elastic Mechanics,第一章 绪论,1-1 弹性力学的内容,第一节 弹性力学的内容,研究弹性体由于受外力、边界约束或温度改变等原因而发生的应力

3、、形变和位移。,弹性力学（ elasticity ）,研究弹性体的力学，有材料力学、结构力学、弹性力学。它们的研究对象分别如下：,Elastic Mechanics,材料力学-研究杆件（如梁、柱和轴）的拉压、弯曲、剪切、 扭转和组合变形等问题。(构件),弹性力学-研究各种形状的弹性体，如杆件、平面体、空间 体、板壳、薄壁结构等问题。,结构力学-在材料力学基础上研究杆系结构（如 桁架、刚架等）。,第一章 绪论,第一节 弹性力学的内容,Elastic Mechanics,第一章 绪论,第一节 弹性力学的内容,Elastic Mechanics,第一章 绪论,第一节 弹性力学的内容,Elastic

4、Mechanics,第一章 绪论,第一节 弹性力学的内容,Elastic Mechanics,第一章 绪论,第一节 弹性力学的内容,Elastic Mechanics,在区域V内严格考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，建立三套方程; 在边界s上考虑受力或约束条件，建立边界条件; 并在边界条件下求解上述方程，得出较精确的解答。,弹力研究方法,在研究方法上，弹力和材力也有区别：,第一章 绪论,第一节 弹性力学的内容,Elastic Mechanics,第一章 绪论,第一节 弹性力学的内容,Elastic Mechanics,材力 也考虑这几方面的条件，但不是十分严格的：常常引用近似的计算假设（如

5、平面截面假设）来简化问题，并在许多方面进行了近似的处理。,因此材料力学建立的是近似理论，得出的是近似的解答。从其精度来看，材料力学解法只能适用于杆件形状的结构。,第一章 绪论,第一节 弹性力学的内容,Elastic Mechanics,弹性力学是其他固体力学分支学科的基础；,弹性力学是工程结构分析的重要手段。尤其对于安全性和经济性要求很高的近代大型工程结构，须用弹力方法进行分析。,弹性力学在力学学科和工程学科中,具有重要的地位：,第一章 绪论,第一节 弹性力学的内容,Elastic Mechanics,工科学生学习弹力的目的：,（4）为进一步学习其他固体力学分支学科打下基础。,（3）能用弹力近

6、似解法（变分法、差分法和有限单元法）解决工程实际问题；,（2）能阅读和应用弹力文献；,（1）理解和掌握弹力的基本理论；,第一章 绪论,第一节 弹性力学的内容,Elastic Mechanics,参考教材：,弹性力学简明教程（第三版）徐芝纶 ； 弹性理论, 高等教育出版社,(1990).铁摩辛柯 古地尔著, 徐芝纶译； 弹性力学教程（王敏中、王炜、武际可）（北京大学出版社, 2002年）； 弹性理论基础（陆明万、罗学富）（清华大学出版社，1990年）。,第一章 绪论,第一节 弹性力学的内容,Elastic Mechanics,思考题,弹性力学和材料力学相比，其研究对象有什么区别？,2. 弹性力学

7、和材料力学相比，其研究方法有什么区别？,3. 试考虑在土木、水利工程中有哪些非杆件和杆系的结构？,第一章 绪论,第一节 弹性力学的内容,Elastic Mechanics,第一章 绪论,第二节 弹性力学中的几个基本概念,其他物体对研究对象（弹性体）的作用力。,外力,12 弹性力学中的几个基本概念,外力,面力,体力,Elastic Mechanics,定义：作用于物体体积内的力。,体力,表示：以单位体积内所受的力来量度， （重力， 惯性力）,量纲：,符号：坐标正向为正。,(或N/mm3、kN/m3),第一章 绪论,第二节 弹性力学中的几个基本概念,Elastic Mechanics,定义：作用于

8、物体表面上的力。,面力,表示：以单位面积所受的力来量度，,符号：坐标正向为正 。,量纲：,(N/mm2、kN/m2、Pa、kPa),第一章 绪论,第二节 弹性力学中的几个基本概念,Elastic Mechanics,例：表示出下图中正的体力和面力,第一章 绪论,第二节 弹性力学中的几个基本概念,O(z),x,y,O(z),x,y,Elastic Mechanics,假想切开物体，截面两边互相作用的力（合力和合力矩)，称为内力。,内力,第一章 绪论,第二节 弹性力学中的几个基本概念,Elastic Mechanics,量纲： 表示： 垂直于 轴的面上沿 向正应力， 垂直于 轴的面上沿 向切应力。

9、 符号：应力成对出现，坐标面上的应力以正面正向，负面负 向为正；正面负向，负面正向为负。,截面上某一点处，单位截面面积上的内力值。,应力,第一章 绪论,第二节 弹性力学中的几个基本概念,Elastic Mechanics,例：正的应力,切应力的互等性：,第一章 绪论,第二节 弹性力学中的几个基本概念,Elastic Mechanics,在正面上，两者正方向一致，在负面上，两者正方向相反。,应力与面力,第一章 绪论,第二节 弹性力学中的几个基本概念,O(z),x,y,xy,xy,x,x,Elastic Mechanics,弹力与材力 相比，正应力正负号相同，切应力正负号不同,弹性力学,材料力学,

10、第一章 绪论,第二节 弹性力学中的几个基本概念,Elastic Mechanics,由微分体的平衡条件M =0得：,在弹力中，xy与yx不仅数值相同，符号也相同。,在材力中， xy与yx数值相同，符号相反。,因此，弹力与材力中的符号规定不完全相同。,切应力互等定理：,第一章 绪论,第二节 弹性力学中的几个基本概念,Elastic Mechanics,- 物体形状的改变。,形变,伸长为正，缩短为负,以直角变小时为正，变大为负,第一章 绪论,第二节 弹性力学中的几个基本概念,Elastic Mechanics,位移 位置的移动，用u，v，w表示，量纲为 L。以坐标正向为正。,变形前p(x，y)，变

11、形后p(x+u，y+v),第一章 绪论,第二节 弹性力学中的几个基本概念,Elastic Mechanics,思考题,试画出正负 y 面上正的应力和正的面力的方向。,在dx dy 1的六面体上，试问x面和y面上切应力的合力是否相等？,第一章 绪论,第二节 弹性力学中的几个基本概念,Elastic Mechanics,第一章 绪论,第三节 弹性力学中的基本假定,由微分体的平衡条件，建立平衡微分方程；,由应力与形变之间的物理关系，建立物理方程；,弹性力学的研究方法，在体积V 内：,由微分线段上形变与位移的几何关系，建立几何方程；,13 弹性力学中基本假定,Elastic Mechanics,在给定

12、约束的边界Su上，建立位移边界条件。,在给定面力的边界S上，建立应力边界条件;,在边界S面上:,然后在边界条件下求解上述方程，得出应力、形变和位移。,第一章 绪论,第三节 弹性力学中的基本假定,Elastic Mechanics,（1）连续性假定物体是连续的。 因此，各物理量可用连续函数表示。,弹性力学中的五个基本假定。,关于材料性质的假定及其在建立弹性力学理论中的作用：,第一章 绪论,第三节 弹性力学中的基本假定,Elastic Mechanics,（2）完全弹性 假定物体是：,因此，应力与应变关系可用胡克定律表示（物理线性）。,a.完全弹性外力取消，变形恢复，无残余变形。 b.线性弹性应力

13、与应变成正比。,第一章 绪论,第三节 弹性力学中的基本假定,Elastic Mechanics,（3）均匀性假定物体由同种材料组成。,因此， E、 等与位置(x，y，z)无关。,（4）各向同性假定物体各向同性。,因此， E、等与方向无关。,符合（1）-（4）假定的称为理想弹性体。,由（3）,（4）知E、等为常数。,第一章 绪论,第三节 弹性力学中的基本假定,Elastic Mechanics,（5）小变形假定假定位移和形变为微小量。,变形状态假定：,例：梁的 103 1, 1弧度（57.3）。,a.位移物体尺寸,例：梁的挠度v 梁高h。,第一章 绪论,第三节 弹性力学中的基本假定,b.， （，

14、）2 （，）3，可略去（，）2以上的项,使几何方程成为线性方程。,第一章 绪论,第三节 弹性力学中的基本假定,Elastic Mechanics,弹性力学基本假定，确定了弹性力学的研究范围:,理想弹性体的小变形问题。,2、听课与复习,3、习题与练习,第一章 绪论,第三节 弹性力学中的基本假定,Elastic Mechanics,第二章 平面问题的基本理论,第一节 平面应力问题和平面应变问题,第二章 平面问题的基本理论,Elastic Mechanics,第二章 平面问题的基本理论,Elastic Mechanics,第二章 平面问题的基本理论,第一节 平面应力问题和平面应变问题,第一节 平面应

15、力问题和平面应变问题,弹性力学平面问题共有应力、应变和位移8个未知函数，且均为 。,弹性力学空间问题共有应力、应变和位移15个未知函 数，且均为 ；,Elastic Mechanics,（4）约束作用于板边，平行于板的中面，沿板厚不变。,（3）面力作用于板边，平行于板的中面，沿板厚不变；,（2）体力作用于体内，平行于板的中面，沿板厚不变；,条件是：,第一种：平面应力问题,（1）等厚度的薄板；,第二章 平面问题的基本理论,第一节 平面应力问题和平面应变问题,Elastic Mechanics,第二章 平面问题的基本理论,第一节 平面应力问题和平面应变问题,Elastic Mechanics,坐标

16、系如图选择。,第二章 平面问题的基本理论,第一节 平面应力问题和平面应变问题,Elastic Mechanics,简化为平面应力问题：,故只有平面应力 存在。,由于薄板很薄，应力是连续变化的，又无z向外力，可认为：,（1）两板面上无面力和约束作用，故,第二章 平面问题的基本理论,第一节 平面应力问题和平面应变问题,Elastic Mechanics,所以归纳为平面应力问题： a.应力中只有平面应力 存在； b.且仅为 。,（2）由于板为等厚度，外力、约束沿z向不变，故 应力 仅为 。,第二章 平面问题的基本理论,第一节 平面应力问题和平面应变问题,Elastic Mechanics,如：,计算

17、简图：,深梁,计算简图：,F,弧形闸门闸墩,第二章 平面问题的基本理论,第一节 平面应力问题和平面应变问题,Elastic Mechanics,因表面无任何面力，,A,B,例题1：试分析AB薄层中的应力状态。,故接近平面应力问题。,故表面上，有：,在近表面很薄一层内：,第二章 平面问题的基本理论,第一节 平面应力问题和平面应变问题,Elastic Mechanics,（2）体力作用于体内，平行于横截面，沿柱体长度方向不变；,第二种：平面应变问题,条件是：,（1）很长的常截面柱体；,（3）面力作用于柱面，平行于横截面，沿柱体长度方向不变；,（4）约束作用于柱面，平行于横截面，沿柱体长度方向不变。

18、,第二章 平面问题的基本理论,第一节 平面应力问题和平面应变问题,Elastic Mechanics,坐标系选择如图：,对称面,第二章 平面问题的基本理论,第一节 平面应力问题和平面应变问题,Elastic Mechanics,（1）截面、外力、约束沿z 向不变，外力、约束平行xy面，柱体非常长。故任何z 面（截面）均为对称面。,简化为平面应变问题：,第二章 平面问题的基本理论,第一节 平面应力问题和平面应变问题,Elastic Mechanics,（2）由于截面形状、体力、面力及约束沿z向均不变，故应力、应变和位移均为 f（x，y）。,注意：由于Z方向的位移被阻止，所以z一般不等于0。,第二

19、章 平面问题的基本理论,第一节 平面应力问题和平面应变问题,Elastic Mechanics,所以归纳为平面应变问题： a.应变中只有平面应变分量 存在； b.且仅为 f（x，y）。,第二章 平面问题的基本理论,第一节 平面应力问题和平面应变问题,Elastic Mechanics,例如：,隧道,挡土墙,o,y,x,y,o,x,第二章 平面问题的基本理论,第一节 平面应力问题和平面应变问题,Elastic Mechanics,第二章 平面问题的基本理论,第一节 平面应力问题和平面应变问题,Elastic Mechanics,且仅为 。,故只有 ，,本题中：,ox,y,z,例题2：试分析薄板中

20、的应变状态。,故为平面应变问题。,第二章 平面问题的基本理论,第一节 平面应力问题和平面应变问题,Elastic Mechanics,第二章 平面问题的基本理论,第一节 平面应力问题和平面应变问题,Elastic Mechanics,22 平衡微分方程,平衡微分方程表示物体内任一点的微分体的平衡条件。,在任一点（x，y）取出一微小的平行六面体dxdy1,作用于微分体上的力：,体力： 。,应力：作用于各边上，并表示出正面上由坐标增量引起的应力增量。,第二章 平面问题的基本理论,第二节 平衡微分方程,Elastic Mechanics,应用的基本假定：,连续性假定应力用连续函数 来表示。,小变形假

21、定用变形前的尺寸 代替变形后的尺寸。,第二章 平面问题的基本理论,第二节 平衡微分方程,Elastic Mechanics,列出平衡条件：,合力 = 应力面积，体力体积； 以正向物理量来表示。 平面问题中可列出3个平衡条件。,第二章 平面问题的基本理论,第二节 平衡微分方程,Elastic Mechanics,其中一阶微量抵消， 并除以dxdy得：,Fy=0，同理可得：,第二章 平面问题的基本理论,第二节 平衡微分方程,Elastic Mechanics,当dx，dy 0时，得切应力互等定理,MC =0，得,第二章 平面问题的基本理论,第二节 平衡微分方程,Elastic Mechanics,

22、对平面应力和平面应变问题都适用的平衡方程：,可用张量形式简记为：,（2-2）,第二章 平面问题的基本理论,第二节 平衡微分方程,Elastic Mechanics, 适用的条件连续性，小变形；,对平衡微分方程的说明：, 代表A中所有点的平衡条件，因为（x，y）A；, 应力不能直接求出；, 对两类平面问题的方程相同。,第二章 平面问题的基本理论,第二节 平衡微分方程,Elastic Mechanics,理论力学考虑整体V的平衡（只决定整体的运动状态）。,比较:,材料力学考虑有限体V的平衡（近似）。,弹性力学考虑微分体dV的平衡（精确）。,所以弹力的平衡条件是严格的，并且是精确的。,当dV均平衡时

23、，保证V ， V平衡；反之则不然。,第二章 平面问题的基本理论,第二节 平衡微分方程,Elastic Mechanics,理力（ V ）,材力（ ）,弹力（ ）,h,V,dx,dy,dx,第二章 平面问题的基本理论,第二节 平衡微分方程,Elastic Mechanics,思考题,1.试检查，同一方程中的各项，其量纲必然相同（可用来检验方程的正确性）。 2.将条件MC =0,改为对某一角点的M=0 ，将得出什么结果？ 3.微分体边上的应力若考虑为不均匀分布，将得出什么结果？,第二章 平面问题的基本理论,第二节 平衡微分方程,Elastic Mechanics,第二章 平面问题的基本理论,第二节

24、 平衡微分方程,Elastic Mechanics,第二章 平面问题的基本理论,第三节 平面问题中一点的应力状态,已知坐标面上应力x，y，xy求斜面上的应力。,问题的提出：,23 平面问题中一点的应力状态,Elastic Mechanics,求解：取出一个三角形微分体（包含x面，y面，n面）， l=cos(n,x), m=cos(n,y)。 边长AB=ds,PB=lds,PA=mds,斜面应力表示：p= (px，py)，p= (n，n),第二章 平面问题的基本理论,第三节 平面问题中一点的应力状态,Elastic Mechanics,由平衡条件Fx=0 及Fy=0 ，并略去高阶分量体力项，得,

25、(1)求 (px，py),(2-3),其中：l=cos(n,x), m=cos(n,y) 斜截面的方向余弦。,第二章 平面问题的基本理论,第三节 平面问题中一点的应力状态,Elastic Mechanics,(2)求 (n，n),将p =(px，py)向法向，切向投影，得,（2-4）,（2-5）,第二章 平面问题的基本理论,第三节 平面问题中一点的应力状态,Elastic Mechanics,设某一斜面为主面，则只有 由此建立方程，求出:,(3)求主应力,(2-6),容易看出:,(2-7),第二章 平面问题的基本理论,第三节 平面问题中一点的应力状态,Elastic Mechanics,将x，

26、y放在1，2方向，列出任一斜面上应力公式，可以得出（设12 ）,(4)求最大，最小应力,说明：以上均应用弹力符号规定导出。,(d),第二章 平面问题的基本理论,第三节 平面问题中一点的应力状态,Elastic Mechanics,第二章 平面问题的基本理论,第四节 几何方程 刚体位移,几何方程表示任一点的微分线段上形变与位移之间的关系。,24 几何方程 刚体位移,通过点P(x,y)作两正坐标向的微分线段,Elastic Mechanics,变形前位置：P，A，B 变形后位置： P ，A ，B 各点的位置如图。,第二章 平面问题的基本理论,第四节 几何方程 刚体位移,Elastic Mechan

27、ics,应用基本假定：连续性；小变形。,当很小时，,第二章 平面问题的基本理论,第四节 几何方程 刚体位移,Elastic Mechanics,由位移求形变：,PA 线应变,转角,PB 线应变,转角,同理，,第二章 平面问题的基本理论,第四节 几何方程 刚体位移,Elastic Mechanics, 适用于区域内任何点，因为（x,y） A；,对几何方程的说明：,所以平面问题的几何方程为：, 适用条件：a.连续性；b.小变形。, 应用小变形假定，略去了高阶小量 线性的几何方程；,第二章 平面问题的基本理论,第四节 几何方程 刚体位移,Elastic Mechanics, 几何方程是变形后物体连续

28、性条件的反映和必然结果。, 形变和位移之间的关系：位移确定 形变完全确定：,从物理概念看，各点的位置确定，则微分线段上的形变确定 。,从数学推导看，位移函数确定，则其导数（形变）确定 。,第二章 平面问题的基本理论,第四节 几何方程 刚体位移,Elastic Mechanics,从物理概念看，确定，物体还可作刚体位移。,从数学推导看， ，确定，求位移是积分运算，出现待定函数。,形变确定，位移不完全确定：,第二章 平面问题的基本理论,第四节 几何方程 刚体位移,Elastic Mechanics,由 ,两边对y积分，,由 ,两边对x积分，,例：若 ,求位移：,代入第三式,第二章 平面问题的基本理

29、论,第四节 几何方程 刚体位移,Elastic Mechanics,分开变量，,因为几何方程第三式对任意的（x，y）均应满足。当（x，y）变化时，式(b)的左，右均应=常数，由此解出f1，f2。可得,第二章 平面问题的基本理论,第四节 几何方程 刚体位移,Elastic Mechanics,物理意义：,表示物体绕原点的刚体转动。,u0，v0表示 x，y向的刚体平移，,第二章 平面问题的基本理论,第四节 几何方程 刚体位移,Elastic Mechanics,结论,形变确定，则与形变有关的位移可以确定，而与形变无关的刚体位移 则未定。 须通过边界上的约束条件来确定 。,第二章 平面问题的基本理论

30、,第四节 几何方程 刚体位移,Elastic Mechanics,思考题,1.试证明微分体绕z轴的平均转动分量是,2.当应变为常量时， 试求出对应的位移分量。,第二章 平面问题的基本理论,第四节 几何方程 刚体位移,Elastic Mechanics,第二章 平面问题的基本理论,第五节 物理方程,物理方程表示（微分体上）应力和形变之间的物理关系。,广义胡克定律：,25 物理方程,（2-10）,Elastic Mechanics,物理方程的说明：, 正应力只与线应变有关；切应力只与切应变有关。, 是线性的代数方程；, 是总结实验规律得出的；, 适用条件理想弹性体；,第二章 平面问题的基本理论,第

31、五节 物理方程,Elastic Mechanics,物理方程的两种形式： 应变用应力表示，用于按应力求解； 应力用应变（再用位移表示）表示，用于按位移求解。,第二章 平面问题的基本理论,第五节 物理方程,Elastic Mechanics,平面应力问题的物理方程：,代入 ，得：,在z方向,第二章 平面问题的基本理论,第五节 物理方程,Elastic Mechanics,平面应变问题的物理方程：,在z方向，,代入,得,第二章 平面问题的基本理论,第五节 物理方程,Elastic Mechanics,平面应力物理方程平面应变物理方程：,变换关系：,平面应变物理方程平面应力物理方程：,第二章 平面问

32、题的基本理论,第五节 物理方程,Elastic Mechanics,思考题,1.试证：由主应力可以求出主应变，且两者方向一致。 2.试证：3个主应力均为压应力，有时可以产生拉裂现象。 3.试证：在自重作用下，圆环（平面应力问题）比圆筒（平面应变问题）的变形大。,第二章 平面问题的基本理论,第五节 物理方程,Elastic Mechanics,第二章 平面问题的基本理论,第六节 边界条件,位移边界条件 设在Su部分边界上给定位移分量u(s) 和v(s),则有,（在Su上)。（a）,边界条件 表示在边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系。,26 边界条件,Elastic Mechanics, 若

33、为简单的固定边， 则有,位移边界条件的说明：,（在Su上）。（b）, 它是在边界上物体保持连续性的条件，或位移保持连续性的条件。, 它是函数方程，要求在Su上每一点S，位移与对应的约束位移相等。,第二章 平面问题的基本理论,第六节 边界条件,Elastic Mechanics,在23 中，通过三角形微分体的平衡条件，导出坐标面应力与斜面应力的关系式，,应力边界条件设在S上给定了面力分量,（在A中）。（c）,第二章 平面问题的基本理论,第六节 边界条件,Elastic Mechanics,将此三角形移到边界上，并使斜面与边界面重合，则得应力边界条件:,第二章 平面问题的基本理论,第六节 边界条件

34、,Elastic Mechanics, 它是边界上微分体的静力平衡条件；,应力边界条件的说明：, 式（c）在A中每一点均成立，而式（d）只能在边界S上成立；, 它是函数方程，要求在边界上每一点s上均满足，这是精确的条件；,第二章 平面问题的基本理论,第六节 边界条件,Elastic Mechanics, 所有边界均应满足，无面力的边界 （自由边） 也必须满足。, 式（d）中， 按应力符号规定， 按面力符号规定；, 位移,应力边界条件均为每个边界两个，分别表示x，y向的条件；,第二章 平面问题的基本理论,第六节 边界条件,Elastic Mechanics,若x=a为正x 面，l = 1, m

35、= 0, 则式(d)成为,当边界面为坐标面时，,第二章 平面问题的基本理论,第六节 边界条件,Elastic Mechanics,若x=-b为负x 面，l = -1, m = 0 , 则式(d)成为,第二章 平面问题的基本理论,第六节 边界条件,Elastic Mechanics,应力边界条件的两种表达式：, 在同一边界面上，应力分量应等于对应的面力分量（数值相等，方向一致）。即在同一边界面上,应力数值应等于面力数值(给定),应力方向应同面力方向(给定)。, 在边界点取出微分体，考虑其平衡条件，得式（d）或（e），（f ）；,第二章 平面问题的基本理论,第六节 边界条件,Elastic Mec

36、hanics,在斜面上， 在坐标面上，由于应力与面力的符号规定不同，故式（e），（f ）有区别。,例如：,第二章 平面问题的基本理论,第六节 边界条件,Elastic Mechanics,例1 列出边界条件：,第二章 平面问题的基本理论,第六节 边界条件,Elastic Mechanics,第二章 平面问题的基本理论,第六节 边界条件,Elastic Mechanics,例2 列出边界条件：,显然，边界条件要求在 上， 也成抛物线分布。,第二章 平面问题的基本理论,第六节 边界条件,Elastic Mechanics, 部分边界上为位移边界条件，另一部分边界上为应力边界条件；,混合边界条件：,

37、 同一边界上，一个为位移边界条件，另一个为应力边界条件。,第二章 平面问题的基本理论,第六节 边界条件,Elastic Mechanics,例3 列出x=a的边界条件：,第二章 平面问题的基本理论,第六节 边界条件,Elastic Mechanics,思考题,第二章 平面问题的基本理论,第六节 边界条件,Elastic Mechanics,1.若在斜边界面上，受有常量的法向分布压力q作用，试列出应力边界条件，(思考题图中（a）)。 2.证明在无面力作用的0A边上，y不等于零（思考题图中(b)）。 3.证明在凸角A点附近，当无面力作用时，其应力为零（思考题图中 (c)）。,第二章 平面问题的基本

38、理论,第六节 边界条件,Elastic Mechanics,4.试导出在无面力作用时，AB边界上的 之间的关系。（思考题图中（d）。 5.试比较平面应力问题和平面应变问题的基本方程和边界条件的异同，并进一步说明它们的解答的异同。,第二章 平面问题的基本理论,第六节 边界条件,Elastic Mechanics,第二章 平面问题的基本理论,第七节 圣维南原理及其应用,弹性力学问题是微分方程的边值问题。应力，形变，位移等未知函数必须满足A内的方程和S上的边界条件。主要的困难在于难以满足边界条件。,27 圣维南原理及其应用,圣维南原理可用于简化小边界上的应力边界条件。,Elastic Mechani

39、cs,如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对同一点的主矩也相同），那么，近处的应力分量将有显著的改变，但远处所受的影响可以不计。,圣维南原理：,第二章 平面问题的基本理论,第七节 圣维南原理及其应用,Elastic Mechanics,1.圣维南原理只能应用于一小部分边界（小边界，次要边界或局部边界）；,圣维南原理的说明：,4.远处 指“近处”之外。,3.近处 指面力变换范围的一，二倍的局部区域；,2.静力等效 指两者主矢量相同，对同一点主矩也相同；,第二章 平面问题的基本理论,第七节 圣维南原理及其应用,Elastic Mechanics,圣维南原理

40、表明，在小边界上进行面力的静力等效变换后，只影响近处（局部区域）的应力，对绝大部分弹性体区域的应力没有明显影响。,圣维南原理推广：如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系（主矢量及主矩都等于零），那么，这个面力就只会使近处产生显著的应力，而远处的应力可以不计。,第二章 平面问题的基本理论,第七节 圣维南原理及其应用,Elastic Mechanics,例1 比较下列问题的应力解答：,第二章 平面问题的基本理论,第七节 圣维南原理及其应用,Elastic Mechanics,例2 比较下列问题的应力解答：,第二章 平面问题的基本理论,第七节 圣维南原理及其应用,Elastic Mechanic

41、s,圣维南原理的应用： 1.推广解答的应用； 2.简化小边界上的边界条件。,第二章 平面问题的基本理论,第七节 圣维南原理及其应用,Elastic Mechanics,圣维南原理在小边界上的应用：, 精确的应力边界条件,如图，考虑 小边界，,第二章 平面问题的基本理论,第七节 圣维南原理及其应用,Elastic Mechanics,上式是函数方程，要求在边界上任一点，应力与面力数 值相等，方向一致，往往难以满足。,(a),在边界x= l上，,第二章 平面问题的基本理论,第七节 圣维南原理及其应用,Elastic Mechanics,在小边界x=l上，用下列条件代替式(a)的条件： 在同一边界

42、x=l 上， 应力的主矢量 = 面力的主矢量（给定) 应力的主矩(M) = 面力的主矩（给定）,数值相等, 方向一致.,(b),圣维南原理的应用积分的应力边界条件,第二章 平面问题的基本理论,第七节 圣维南原理及其应用,Elastic Mechanics,具体列出3个积分的条件：,（1）,（2）,（3）,（1）、（3）式中：当应力的方向与面力 的方向一致时取“+”号，反之取“-”号。,（2）式中：应力取正方向，微分单元体取在矩心沿正半轴一侧，矩臂为正，若应力的力矩与面力的力矩对同一转动轴（或矩心）的转向一致，取“+”号，反之取“-”号。,第二章 平面问题的基本理论,第七节 圣维南原理及其应用,

43、Elastic Mechanics,即： 应力的主矢量，主矩的数值=面力的主矢量，主矩的数值； 应力的主矢量，主矩的方向=面力的主矢量，主矩的方向。,式中应力主矢量，主矩的正方向,正负号的确定： 应力的主矢量的正方向，即应力的正方向， 应力的主矩的正方向，即（正应力） （正的矩臂）的方向。,第二章 平面问题的基本理论,第七节 圣维南原理及其应用,Elastic Mechanics,讨论：,1.如果只给出面力的主矢量，主矩如图，则式(c)右边直接代入面力的主矢量，主矩； 2.在负 x 面，x=-l，由于应力，面力的符号规定不同，应在式(c)中右端取负号； 3.积分的应力边界条件(b)或(c)虽是

44、近似的，但只用于小边界，不影响整体解答的精度。,第二章 平面问题的基本理论,第七节 圣维南原理及其应用,Elastic Mechanics,比较：,精确的应力边界条件,积分的应力边界条件,第二章 平面问题的基本理论,第七节 圣维南原理及其应用,Elastic Mechanics,例1 试列出图中的边界条件。,解: (a)在主要边界y= h/2应精确满足下列边界条件：,第二章 平面问题的基本理论,第七节 圣维南原理及其应用,Elastic Mechanics,在小边界x = 0应用圣维南原理，列出三个积分的近似边界条件，当板厚 =1 时，,第二章 平面问题的基本理论,第七节 圣维南原理及其应用,

45、Elastic Mechanics,在小边界x = l，当平衡微分方程和其它各边界条件都已满足的条件下，3个积分的边界条件必然满足，可以不必校核。,第二章 平面问题的基本理论,第七节 圣维南原理及其应用,Elastic Mechanics,(b) 在主要边界x= 0, b，应精确满足下列边界条件：,第二章 平面问题的基本理论,第七节 圣维南原理及其应用,Elastic Mechanics,在小边界y = 0，列出3个积分的边界条件：,注意：在列力矩的条件时两边均是对原点o的力矩来计算的。对于y = h的小边界可以不必校核。,第二章 平面问题的基本理论,第七节 圣维南原理及其应用,Elastic

46、 Mechanics,例2 列出下图所示的两个问题中OA边上的三个积分的应力边界条件，并比较两者的面力是否静力等效？,第二章 平面问题的基本理论,第七节 圣维南原理及其应用,Elastic Mechanics,思考题,1、为什么在大边界（主要边界）上，不能应用圣维南原理？ 2、试列出负x面上积分的应力边界条件， 设有各种面力作用，或面力的主矢量和主矩作用。,第二章 平面问题的基本理论,第七节 圣维南原理及其应用,Elastic Mechanics,第二章 平面问题的基本理论,第八节 按位移求解平面问题, 平面应力问题与平面应变问题，除物理方程的弹性系数须变换外，其余完全相同。因此，两者的解答相

47、似,只须将E、进行变换。以下讨论平面应力问题。,1.平面问题的基本方程及边界条件,28 按位移求解平面问题,Elastic Mechanics,平面域A内的基本方程:,（在A内）, 平面应力问题,平衡微分方程,第二章 平面问题的基本理论,第八节 按位移求解平面问题,Elastic Mechanics,几何方程,物理方程,（在A内）,（在A内）,第二章 平面问题的基本理论,第八节 按位移求解平面问题,Elastic Mechanics,（在Su上）,（在S上）,S上边界条件:,8个未知函数 必须满足上述方程和边界条件。,应力边界条件,位移边界条件,第二章 平面问题的基本理论,第八节 按位移求解平

48、面问题,Elastic Mechanics,按位移求解（位移法）取u，v为基本未知函数，从方程和边界条件中消去形变和应力，导出只含u，v的方程和边界条件，从而求出u，v ；再求形变和应力。,2.解法消元法,按应力求解（应力法）取x、 y、xy为基本未知函数，从方程和边界条件中消去位移和形变，导出只含应力的方程和边界条件，从而求出应力；再求形变和位移。,这是弹力问题的两种基本解法。,第二章 平面问题的基本理论,第八节 按位移求解平面问题,Elastic Mechanics,3. 按位移求解, 将其他未知函数用u，v表示： 形变用u，v表示 几何方程; 应力先用形变来表示（物理方程），再代入几何方

49、程，用u，v表示:, 取u，v为基本未知函数；,第二章 平面问题的基本理论,第八节 按位移求解平面问题,Elastic Mechanics,应力用位移u，v表示：,第二章 平面问题的基本理论,第八节 按位移求解平面问题,Elastic Mechanics, 在A中导出求u，v的基本方程将式(a)代入平衡微分方程，,(b),上式是用u，v表示的平衡微分方程。,第二章 平面问题的基本理论,第八节 按位移求解平面问题,Elastic Mechanics, 在S上的边界条件,位移边界条件,（在Su上） (c),应力边界条件将式(a)代入应力边界条件，,（在S上） (d),第二章 平面问题的基本理论,第

50、八节 按位移求解平面问题,Elastic Mechanics,按位移求解时，u，v必须满足A内的方程(b)和边界条件(c)，(d)。,归纳：,式(b)，(c)，(d) 是求解u，v的条件;也是校核u，v是否正确的全部条件。,第二章 平面问题的基本理论,第八节 按位移求解平面问题,Elastic Mechanics,按位移求解（位移法）的优缺点：,求函数式解答困难，但在近似解法（变分法，差分法，有限单元法）中有着广泛的应用。,适用性广可适用于任何边界条件。,第二章 平面问题的基本理论,第八节 按位移求解平面问题,Elastic Mechanics,例1 考虑两端固定的一维杆件。图(a)，只受重力

51、作用，fx=0，fy=g。试用位移法求解。,解：为了简化，设=0，位移u=0，v=v（y），按位移求解，位移应满足式(b),(c),(d)。 代入式(b),第一式自然满足，第二式成为,第二章 平面问题的基本理论,第八节 按位移求解平面问题,Elastic Mechanics,均属于位移边界条件，,得,得,解出,第二章 平面问题的基本理论,第八节 按位移求解平面问题,Elastic Mechanics,在 处，,代入v，并求出形变和应力，,第二章 平面问题的基本理论,第八节 按位移求解平面问题,Elastic Mechanics,例2 厚度=1悬臂梁，受一端的集中力F的作用。已求得其位移的解答是

52、 试检查此组位移是否是图示问题的解答。,第二章 平面问题的基本理论,第八节 按位移求解平面问题,Elastic Mechanics,第二章 平面问题的基本理论,第八节 按位移求解平面问题,Elastic Mechanics,解：,(1) 区域内用位移表示的平衡微分方程(书中式218）;,此组位移解答若为图示问题的解答，则应满足下列条件:,（2）应力边界条件（书中式219），在所有受面力的边界S上。其中在小边界上可以应用圣维南原理，用3个积分的边界条件来代替。,第二章 平面问题的基本理论,第八节 按位移求解平面问题,Elastic Mechanics,（3）位移边界条件（书中式214）。本题在x

53、 = l的小边界上，已考虑利用圣维南原理，使3个积分的应力边界条件已经满足。,因此，只需校核下列三个刚体的约束条件： A点（ x = l及y = 0），,读者可校核这组位移是否满足上述条件，如满足，则是该问题之解。,第二章 平面问题的基本理论,第八节 按位移求解平面问题,Elastic Mechanics,第二章 平面问题的基本理论,第九节 按位移求解平面问题,（1）取x、y、xy为基本未知函数；,29 按应力求解平面问题 相容方程,1.按应力求解平面应力问题,（2）其他未知函数用应力来表示:,Elastic Mechanics,位移用形变应力表示，须通过积分，不仅表达式较复杂，而且包含积分带

54、来的未知项，因此位移边界条件用应力分量来表示时既复杂又难以求解。故在按应力求解时，只考虑全部为应力边界条件的问题，即 。,形变用应力表示（物理方程）。, 在A内求解应力的方程,平衡微分方程 （2个）。 (a),第二章 平面问题的基本理论,第九节 按位移求解平面问题,Elastic Mechanics,(b),从几何方程中消去位移u，v，得相容方程（形变协调条件）：,补充方程从几何方程，物理方程中消去位移和形变得出 :,第二章 平面问题的基本理论,第九节 按位移求解平面问题,Elastic Mechanics,代入物理方程，消去形变，并应用平衡微分方程进行简化，便得用应力表示的相容方程 ：,其中

55、,(4) 应力边界条件假定全部边界上均为应力边界条件(S=S,Su=0) 。,拉普拉斯（Lapace）算子,第二章 平面问题的基本理论,第九节 按位移求解平面问题,Elastic Mechanics,（1）A内的平衡微分方程； （2）A内的相容方程； （3）边界S=S上的应力边界条件； （4）对于多连体，还须满足位移的单值条件 （见第四章）。,归纳：,（1）-（4）也是校核应力分量是否正确的全部条件。,按应力求解平面应力问题 ，应力x、y、xy必须满足下列条件：,第二章 平面问题的基本理论,第九节 按位移求解平面问题,Elastic Mechanics,2.形变协调条件（相容方程）的物理意义,

56、形变协调对应的位移存在位移必然连续； 形变不协调对应的位移不存在不是物体实际存在的形变微分体变形后不保持连续。, 形变协调条件是与形变对应的位移存在且连续的必要条件。, 形变协调条件是位移连续性的必然结果。连续体位移连续几何方程形变协调条件。,第二章 平面问题的基本理论,第九节 按位移求解平面问题,Elastic Mechanics,例3 试考虑下列平面问题的应变分量是否可能存在,第二章 平面问题的基本理论,第九节 按位移求解平面问题,Elastic Mechanics,解：应变分量存在的必要条件是满足形变相容条件，即 （a）相容； （b）须满足B = 0, 2A=C ； （c）不相容。除非C

57、 = 0。,第二章 平面问题的基本理论,第九节 按位移求解平面问题,Elastic Mechanics,1.试比较按位移求解的方法和按应力求解的方法，并与结构力学中的位移法和力法作比较。 2. 是否可能成为弹性体中的形变？ 3. 是否可能为弹性体中的应力？,思考题,第二章 平面问题的基本理论,第九节 按位移求解平面问题,Elastic Mechanics,第二章 平面问题的基本理论,第十节 常体力情况下的简化 应力函数, 相容方程 (A) (a),1.常体力情况下按应力求解的条件,(A) (b), 平衡微分方程,210 常体力情况下的简化 应力函数,Elastic Mechanics, 应力边

58、界条件,(S) (c), 多连体中的位移单值条件。 (d),第二章 平面问题的基本理论,第十节 常体力情况下的简化 应力函数,Elastic Mechanics,在 - 条件下求解x、y、xy的全部条件(a)，(b)，(c)中均不包含弹性常数，故x、y、xy与弹性常数无关。,2.在常体力,单连体,全部为应力边界条件（ ）下的应力x、y、xy特征：,第二章 平面问题的基本理论,第十节 常体力情况下的简化 应力函数,Elastic Mechanics,结论：,不同材料的应力(x、y、xy)的理论解相同，用试验方法求应力时，也可以用不同的材料来代替。,两类平面问题的应力解x、y、xy相同，试验时可用平面应力