不等关系与不等式PPT

1、,3.1,不等关系与不等式,主要内容,3.比较代数式大小的方法,2.不等式的性质及其证明,4.不等式的应用实例,1. 不等关系,1. 不等关系,观察,最低限速60km,最低限速50km/h,v50km/h,最高限速120km,小汽车限速范围60kmv120km/h,问题1,设点A与平面M的距离为d，B为平面M上的任意一点，则,d|AB|,A,M,B,d,问题2,某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本. 据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入不低于20万元呢？,分析：若杂志的定价为x元，则销售的总收

2、入 为 万元. 那么不等关系“销售 的总收入不低于20万元”可以表示为不等式,问题3,某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种.按照生产的要求，600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍。怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？,分析：假设截得500mm钢管x根，截得600mm的钢管y根. 由题意，应有以下的不等关系： （1）截得两种钢管的总长度不能超过4000mm； （2）600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍； （3）截得两种钢管的数量都不能为负.,要同时满足上述三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：,2.不等式的性质及其证明,事实上，实数与数

3、轴上的点是一一对应的. 在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大,譬如图中，设点A 表示实数a，点B 表示实数b,点A 在点B 右边，那么ab,回忆两个实数的大小是如何确定的？,从上面的性质可知，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了，这也是我们研究不等关系的一个出发点.,基本事实,作差比较法,1.不等式的性质,性质1,如果ab,那么bb,证明：由于ab, 可得a-b0,所以 -（a-b）0,即b-ac, 那么ac.,证明：由于ab, 得a-b0；又bc，得b-c0;,所以a-c=(a-b)+(b-c)0,即a-c0,所以 ac.,说明：此性质可称为不等式的传递性

4、。,性质3,如果ab, 那么a+cb+c,证明：由于ab, 得a-b0；,所以（a+c）-（b+c）=a-b0,即(a+c)-(b+c)0,所以 a+cb+c.,说明：此性质可称为不等式的加法性质也叫平移性，即不等式的两边同时加上同一个常数，不等号的方向不变.,性质4,如果ab, c0,那么acbc;,证明：由于ab, 得a-b0；,ac-bc=c(a-b)0,所以 acbc.,说明：此性质可称为不等式的乘法性质，也叫伸缩性：即不等式的两边同时乘上同一个正数，不等号方向不变，不等式的两边同时乘上同一个负数，不等号的方向改变.,如果ab, c0,那么ac0时,ac-bc=c(a-b)0,所以 a

5、cd,那么a+cb+d;,证明：由于ab, 得a-b0又cd,得c-d0；,说明：此性质可称为不等式的叠加性：两个同向不等式相加，所得不等式与原不等式同向.,所以(a+c)-（b+d）=(a-b)+(c-d)0,所以 a+cb0, cd0,那么acbd;,证明：由于ab, 得a-b0,又cd,得c-d0,ac-bd=ac-ad+ad-bd =a(c-d)+d(a-b),说明：此性质可称为不等式的叠乘性：两边都是正数的同向不等式相乘，所得不等式与原不等式同向.,所以 ac-bd0,即 acbd.,由题意知a0,d0, 且c-d0,a-b0,性质7,如果ab0, 那么anbn(nN,n2);,证明

6、：由于ab0, 根据性质6，自乘得；,aabb,即 a2b2.,说明：此性质可称为不等式的乘方的性质：当不等式的两边都是正数时，不等式两边同时乘方所得的不等式和原不等式同向.,继续用性质6，可得 a3b3.,显然 a2b20,继续下去可得anbn(nN,n2);,性质8,如果ab0, 那么 (nN,n2);,证明：用反证法证明，假设结论不成立则；,说明：此性质可称为不等式的开方的性质：当不等式的两边都是正数时，不等式两边同时开方所得的不等式和原不等式同向.,则得a=b，与已知ab矛盾,若,若,则由性质7,两边n次幂得ab矛盾.,证明命题的方法简介,在数学学科中，根据是否由论据直接过渡到论题，我

7、们把证明命题的方法分为直接证明和间接证明.,直接证明就是由论据按照推理规则直接推出论题的证明. 其特点是：从论题出发，为论题的真实性直接提供证明理由.直接证明是最常见的证明方法.,间接证明就是通过确定其他命题的虚假来确定论题真实性的证明，就是说，用这种证明方法证明的论题不是由论据按照推理规则直接推得，而是通过间接的方法得到证明的. 间接证明分为反证法和选言证法.,直接证明是相对于间接证明说的，综合法和分析法是两种常见的直接证明.,综合法: 一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法（或顺推证法、由因导果法）.,分

8、析法: 一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明方法叫做分析法.,反证法是属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，即肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得. 法国数学家阿达玛(Hadamard)对反证法的实质作过概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”.具体地讲，反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛，矛盾的原因是假设不成立，所

9、以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明.,反证法简介,反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定推理否定”.即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是“否定之否定”。应用反证法证明的主要三步是：否定结论 推导出矛盾 结论成立.,反证法的证题模式,反证法证明命题的一般步骤：,第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；,第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；,第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立.,用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；,如

10、果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种反证法又叫“穷举法”,归谬法和穷举法,反证法的类型,在数学解题中经常使用反证法，牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”。一般来讲，反证法常用来证明的题型有：,2. 具体、简单的命题；或者直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆.,1. 命题的结论以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“无限”形式出现的命题；或者否定结论更明显.,反证法的适用范围,不等式的常见证明方法,直接证法 1）比较法（作差、或作商） 2） 综合法 3） 分析法 4） 其它换元法、

11、放缩法等,2. 间接证法 反证法,例1.,如果ab0, cb0, 得a-b0,ab0, 又cb 与,同时成立的充要条件,解答： ab0，求证：a3+b3a2b+ab2,即a3+b3a2b+ab2.,证明一：比较法（作差）,（a3+b3）-（a2b+ab2）=（a3- a2b）+（b3-ab2）,=a2(a-b)+b2(b-a),a0，b0，,( a-b)2(a+b)0.,故（a3+b3）-（a2b+ab2）0,a+b0，而( a-b)20.,=( a-b)2(a+b).,=(a-b)(a2-b2),故a3+b3a2b+ab2.,证明二：比较法（作商）,a2+b22ab，,又a0，b0，所以ab

12、0，,所以有a3+b3a2b+ab2.,证明三：分析法,欲证a3+b3a2b+ab2，,只需证明(a+b)(a2+b2-ab)ab(a+b).,由于a0，b0，,所以a+b0，,故只要证明a2+b2-abab即可。,即证明a2+b22ab.,而a2+b22ab 显然是成立的,即a3+b3a2b+ab2.,证明四：综合法,a2+b22ab，,a2+b2-abab.,又a0，b0，,a+b0，,故(a+b)(a2+b2-ab)ab(a+b).,3.比较代数式大小的方法,例3.比较 与 的大小,分析：此题属于两个代数式比较大小，可以作差，判断差值正负，从而得出两个代数式的大小.,当 时， ，所以,当

13、 时， ，所以,2.比较代数式大小的方法,解：作差比较,因为a0， 所以-a20,解：,所以,比较 与 的大小,练习2,1).如果ab0，则下列不等式中不成立的是（ ） （A） （B） （C）ab （D）a2b2 2).a、b是任意实数，且ab，则 （ ） （A） a2b2 （B） （C）lg（a-b）0 （D） ,B,D,练习3,3.a、b、c、d是任意实数，且ab，cd，则下列结论正确的是 （ ） （A）a+cb+d （B）a-cb-d （C）acbd （D）,A,4.不等式的应用实例,例5.某夏令营有48人，出发前要从A、B两种型号的帐篷中选择一种.A型号的帐篷比B型号的少5顶.若只选A型号的，每顶帐篷住4人，则帐篷不够；每顶帐篷住5人，则有一定帐篷没有住满.若只选B型号的，每顶帐篷住3人，则帐篷不够；每顶帐篷住4人，则有帐篷多余.设A型号的帐篷有x顶，用不等式将题目中的不等关系表示出来.,解：设A型号帐篷有x个，则B型号帐篷有（x+5)个，则有如下不等关系：,练习：旅行社为了吸引更多的游客加入， 各自推出了独特的营销策略，实行团体优惠是司空见惯的.甲、乙两家旅行社对家庭旅行者的优惠条件是： 甲旅行社称凡全家旅游，其中一人交全费的，其余的人