山东省2020届高三数学 第三章3.2《空间向量在立体几何中的应用》单元测试18 理 新人教B版选修2-1（通用）

1、山东省新人教b版2020期高三单元测试18选修2-1第三章3.2 空间向量在立体几何中的应用说明：本试卷分为第一卷和第二卷两卷，第一卷74分，第二卷76分，共计150分，解答时间为120分一、选择问题：每个小问题给出的四个选项中，只有一个符合问题的要求。 请把正确答案的符号放在问题后面的括号内(每个小问题5分，共计50分)。如果在正三角柱ABCA1B1C1中AB=BB1，则AB1和C1B所成的角的大小为()A.60B.90C.105D.75图2 .如图所示，ABCDA1B1C1D1是立方体，B1E1=D1F1=，BE1和DF1所成的角的馀弦值为()甲乙图C.D3 .如该图所示，A1B1C1AB

2、C为正交三角柱，873bca=90，点D1、F1分别为A1B1、A1C1的中点，在BC=CA=CC1时，BD1和AF1所成的角的馀弦值为()甲乙C.D4 .正四角锥的高度，底边长的话，和异面直线的距离()A. B.C .D甲组联赛A1德. dc.c乙级联赛B1c1.c1图5 .已知各角长度相等的正三角柱，是侧棱的中点。 到平面的距离()甲乙C.D6 .在长为的立方体中，平面和平面之间的距离()A. B.C . D7 .在三角锥P-ABC处，ABBC、AB=BC=PA、点o、d分别是AC、PC的中点、OP底面ABC、直线OD和平面PBC所成的角的正弦值()A. B. C. D8 .在直三角柱中，

3、底面为等腰三角形，侧棱，d、e为各自的中点，点e向平面ABD的投影为重心g .为与平面ABD形成的角的馀弦值()PS PS PS9 .正三角柱底面的边的长度为3，侧棱，d为CB延长线上的一点，并为二面角的大小()A. B. C . D10 .在正四角柱中，底面边的长度为，侧棱的长度为4，e，f分别为棱AB，CD的中点，为三角锥的体积v ()A. B. C . D二、填补问题：请把答案写在问题的横线上(每个小问题6分，共计24分)。11 .立方体中，的中点，是与异面直线之间的距离12 .在奥萨马的长方体中，分别在、的中点求出从点到截面的距离13 .已知在prism长度为1的立方体ABCD-A1B

4、1C1D1中，e、f分别是B1C1和C1D1的中点，是从点A1到平面DBEF的距离.14 .在已知的臭氧长度为1的立方体ABCD-A1B1C1D1中，e在A1B1的中点，求出直线AE和平面ABC1D1所成的角的正弦值.三、解答问题：解答应写文字的说明、证明过程或运算程序(共76分)。15.(12分钟) prism长度为1的立方体ABCD-A1B1C1D1是已知的，求出了平面A1BC1和平面ABCD的二面角的大小16.(12分钟)在已知角长为1的立方体ABCD-A1B1C1D1中，e、f、m分别是A1C1、A1D、B1A的任意点，是平面A1EF平面B1MC在四角锥PABCD中，底面ABCD为直角

5、梯形，873.bad=90、ADBC、AB=BC=a、AD=2a，而且PA底面ABCD、PD与底面构成30角.(如果AEPD、e不足，则BEPD；(2)求出异面直线AE和CD所成角的馀弦值。18.(12分钟)已知prism长度为1的立方体AC1、e、f分别是B1C1、C1D的中点。(1)求证书： e、f、d、b共面(2)求出从点A1到平面的BDEF的距离(3)求出直线A1D和平面BDEF所成的角。19.(14分钟)已知立方体ABCD-A1B1C1D1的奥巴马长为2，点e为棱AB的中点，求出的如下()D1E和平面BC1D所成的角的大小(ii )二面角D-BC1-C的大小(iii )异面直线B1D

6、1和BC1间的距离图5 :作为通过立方体ABCD-A1B1C1D1、线段BD1上的一点P(P平面ACB1)且与D1B垂直的平面，使D1的三个棱分别与e、f、g相交.(1)寻求证据：确定平面EFG平面A CB1，以及三角形的类型(2)设立方体太阳长为a，则求出EFG的最大面积，此时求出EF和B1C的距离.参考答案。一、一. b； 2.A； 3.A； 4.C；分析：创建如图所示的笛卡尔坐标系后甲组联赛乙级联赛c.c德. do.os图，是.是.指令向量，然后，是.不同面的直线和之间的距离如下所示是.5.A； 分析：正方形、平面、面是平面的法线向量，设定点到平面的距离后=。6.B； 分析：创建如图所示

7、的笛卡尔坐标系甲组联赛乙级联赛c.c德. dA1B1c1.c1d1.d1e图设定平面的法线向量后的双曲正切值7.D；8.B； 解以c为坐标原点，CA以某条直线为轴，CB以某条直线为轴，以某条直线为轴，确立正交坐标系设防然后222222222喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓6系点e向平面ABD的投影是重心g2222222222222222222226522222222喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓地1222222200000航空母舰6由与平面ABD形成的角的馀弦值由于评价规定了直线与平面所成的角、两向量所成的角，所以应该满足使用该法线向量求出的线面角9.A； BC的中点o、连AO .从问题平面平面以o为原点，构筑如图6所示的

8、空间正交坐标系那么2222222222卡卡卡卡卡题意平面ABD，8756； 是平面ABD的法线向量把平面的法线向量2222222222222卡卡卡653即，也可以设置由所以求出的二面角的大小为评价： (1)用法向量方法处理二面角问题时，传统上把求二面角问题时的三步曲寻找证简化为一步曲计算，这一表面似乎表达了学生的空间想象力，但本质上不然，向量法对学生空间想象力的要求更高(2)该方法在处理二面角问题时，可能遇到二面角的具体大小问题。 如本题所提出，计算出二面角，但问题是，二面角的大小为锐角、直角，有时为钝角。 计算前可以基于问题判断二面角的大小，基于计算可以取“等角”或取“补角”。10.C； 以

9、d为坐标原点，制作图10所示的直角坐标系原则，2222222喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓地图10所以把平面方程式代入：点、平面的方程式是：其法线向量是从点到平面的距离求。评价(1)在求出从点到平面的距离时，有时也直接利用从点到平面的距离式来计算.(2)法线向量是距离的面，除了从点到平面的距离、多面体的体积之外，还可以处理异面直线间的距离、线面间的距离、平行平面间的距离等二，11 .分析：如果以立方体的太阳长度为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则将和垂线段上的向量设为，也就是说，与异面直线之间的距离为12 .分析：以原点为原点，创建如图所示的空间直角坐标系甲组联赛eA1德. dc.c乙级联赛B1c1.c

10、1d1.d1f.f图则，将面的法线向量如下所示。，另外，从点到截面的距离=13.1； 解：如图所示建立空间直角坐标系=(1，1，0 )，=(0，1 )，=(1，0，1 )z轴x乙级联赛A1yf.feB1c1.c1d1.d1德. dc.c甲组联赛设平面DBEF的法线向量为=(x，y，z )，则即，x y=0y z=0设x=1，y=-1，z=、为=(1，-1，)，则从A1到平面DBEF的距离ez轴xd1.d1y甲组联赛c1.c1B1A1乙级联赛德. dc.c14 .解：如图所示建立空间直角坐标系，=(0，1，0 )、=(-1，0，1 )、=(0，1 )设平面ABC1D1的法线向量为=(x，y，z

11、)时可以解=(1，0，1 )。如果设直线AE和平面ABC1D1所成的角为三、15. zyxd1.d1A1德. dB1c1.c1c.c乙级联赛甲组联赛解：如图所示创建空间笛卡尔坐标系，=(-1，1，0 )、=(0，1，-1)将平面A1BC1和平面ABCD的法线矢量从解可以得到=(1，1，1 )。容易理解=(0，0，1 )所以，=f.fyemxz轴d1.d1c1.c1B1A1c.c德. d乙级联赛甲组联赛因此，平面A1BC1和平面ABCD的二面角的大小为arccos或-arccos注意：当从用法向量的角度求二面角时，请注意平面的法线向量有两个相反的方向，所取的方向不同出来的角度当然不同，最后必须根

12、据这个二面角的实际情况来决定大小16 .证明：如图所示建立空间直角坐标系=(-1，1，0 )，=(-1，0，-1)=(1，0，1 )、=(0，-1，-1)假设，都不是0。将平面A1EF和平面B1MC的法线向量自由地得到解：=(1，1，-1)自由地得到=(-1，1，-1)，所以=-，2222卡卡卡卡卡卡平面A1EF平面B1MC注意：如果求证明是两个平面垂直的话，也可以求两个平面的法线向量用来证明17.(1)证明：喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓！(2)解：以a为原点，以AB、AD、AP所在的直线为坐标轴，建立空间正交坐标系时，点c、d的坐标分别为(a，a，0 )、(0，2a，0 ) .喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀

13、嚓喀嚓6鉴于此，在RtAED中，将AD=2a、AE=a .过e设为EFAD，在RtAFE中，将AE=a、87873eAF=60、af=、EF=a、8756； 得到e(0，a )。于是，=-a，a，0和的角度设为cos=AE和CD所成的角的馀弦值是评述：在第(2)个小问题中，以向量为工具，利用空间向量坐标和数量积，求双异面直线所成的角是立体几何学中常见的问题和处理手段18 .解： (1)略(2)如图所示，制作空间正交坐标系Dxyzb (1，1，0 )是设定得则命令如果设点A1向平面BDFE的投影为h，连接A1D，则可知A1D是平面BDFE的斜线部.即，从点A1到平面BDFE的距离为1 .A1B1

14、c1.c1d1.d1甲组联赛乙级联赛c.c德. dexyz轴从(3)(2)可以看出，A1H=1，另外A1D=、A1HD是直角等腰三角形19 .解：创建坐标系图后，、，(I )平面BC1D的法线矢量喀喀喀喀喀喀地653THHK和平面BC1D所成的角的大小为(即)。(ii )，分别是平面BC1D、BC1C的法线矢量872222222222222222652(iii)b1d1平面BC1D，8756； b1d1和BC1间的距离如下。20.(证明(1)要用纯几何学的方法证明EFAC、EGB1C、FGAB1，但我们借用向量法将问题代数化，运算简洁，思路简单(1)分析：为了证明平面EFG平面ACB1，根据问题来证明BD1垂直平面ACB1即可证明：为了将d作为坐标原点，确立空间正交坐标系，如图5所示，如果设立方体的太阳长为a，则为A(a，0，0 )、B(a，a，0 )、C(0，a，0 )、d1(0,0，a )、B1(a，a )、E(xE，0，a )、F(0)=(-a，-a，a )，=(0，a，a )，(-xE，yF，0 )，=(-a，a，0 )，=(-a，0，-a )(-a，-a，a)(0，a，a)=0喀喀喀喀喀地同样地。在非共线上与点a相交222222222222喀喀喀喀喀喀平面EFG平面ACB1；再因为平面EFG成为0即(-a，-a，a)(-xE，yF，0)=0