山西省太原市第五中学2020届高三数学第二次模拟考试试题 理（含解析）（通用）

1、太原五中2020学年度第二学期阶段性检测高 三 数 学(理)一、选择题（每小题5分,共60分,每小题只有一个正确答案）1. 已知全集，则A. B. C. D. （0,1）【答案】C【解析】 由题意得，集合， 所以，所以，故选C.2. 如果复数，则A. 的共轭复数为 B. 的实部为1C. D. 的虚部为【答案】D【解析】 ,因此的共轭复数为 ,实部为,虚部为,模为,选D.点睛：对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为b、模为a2+b2、对应点为、共轭为abi.3. 假设有两个分类变量X和Y的22列联表： X Y y1 y2 总计

2、 x1 a 10 a+10 x2 c 30 c+30 总计 60 40 100对同一样本，以下数据能说明X与Y有关系的可能性最大的一组为A. a=45，c=15 B. a=40，c=20 C. a=35，c=25 D. a=30，c=30【答案】A结合选项计算可得A选项符合题意.本题选择A选项.4. 正项等比数列中的是函数的极值点，则A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C【解析】由函数的解析式可得：f(x)=x28x+6，正项等比数列an中的a1,a4033是函数f(x)的极值点，a1a4033=6， ， .本题选择C选项.点睛：熟练掌握等比数列的一些性质可提高解题速度，历年高考对等比数列

3、的性质考查较多，主要是考查“等积性”，题目“小而巧”且背景不断更新解题时要善于类比并且要能正确区分等差、等比数列的性质，不要把两者的性质搞混5. 已知是坐标原点，点，若点为平面区域上一个动点，则的最大值为A. 3 B. 2 C. 1 D. 0【答案】B【解析】由题意可得：OA=1,1,OM=x,y,OMON=x+y ，绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得目标函数在点B0,2 处取得最大值z=x+y=2 .本题选择B选项.6. 我们可以用随机模拟的方法估计的值，如图程序框图表示其基本步骤（函数是产生随机数的函数，它能随机产生0，1内的任何一个实数）若输出的结果为521，则由此可估

4、计的近似值为A. 3.119 B. 3.126 C. 3.132 D. 3.151【答案】B【解析】 发生的概率为 ，当输出结果为 时，i=1001,m=521 ， 发生的概率为P=52110011=5211000 ，所以6=5211000 ，即 故选B.7. 过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于两点，且AF=2BF，则直线的斜率为A. 22 B. 23 C. 22或22 D. 23或-23【答案】C【解析】由题意，知F(1,0)，则设直线的的方程为x=my+1，代入抛物线消去x，得y24my4=0设，则y1+y2=4m ，y1y2=4 因为|AF|=2|BF|，所以y1=2y2 联立解

5、得m=24，所以直线的斜率为22，故选C8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. 5 B. C. D. 173【答案】D【解析】几何体如下图，几何体为底面为直角梯形的直四棱柱，截去阴影表示的三棱锥，所以体积为V=12(2+1)221312112=173 ,故选D.9. 小明跟父母、爷爷奶奶一同参加中国诗词大会的现场录制，5人坐成一排若小明的父母至少有一人与他相邻，则不同坐法的总数为A. 60 B. 72 C. 84 D. 96【答案】C【解析】 根据题意，可分三种情况讨论： 若小明的父母只有一人与小明相邻且父母不相邻时， 先在其父母中选一人与小明相邻，有C21=2种情况， 将小明

6、与选出的家长看出一个整体，考虑其顺序A22=2种情况， 当父母不相邻时，需要将爷爷奶奶进行全排列，将整体与另一个家长安排在空位中，有种安排方法，此时有2212=48种不同坐法；若小明的父母的只有一人与小明相邻且父母相邻时，将父母及小明看成一个整体，小明在一端，有种情况，考虑父母之间的顺序，有种情况，则这个整体内部有 种情况，将这个整体与爷爷奶奶进行全排列，有A33=6种情况，此时有226=24种不同坐法；小明的父母都小明相邻，即小明在中间，父母在两边，将3人看成一个整体，考虑父母的顺序，有A22=2种情况，将这个整体与爷爷奶奶进行全排列，有A33=6种情况，此时，共有种不同坐法；综上所述，共有

7、48+24+12=84种不同的坐法，故选C.点睛：本题考查了排列、组合的综合应用问题，关键是根据题意，认真审题，进行不重不漏的分类讨论，本题的解答中，分三种情况：小明的父母中只有一个人与小明相邻且父母不相邻；小明的父母有一个人与小明相邻且父母相邻；小明的父母都与小明相邻，分别求解每一种情况的排法，即可得到答案。10. 将函数fx=2sin2x+6的图像向左平移12个单位，再向上平移1个单位，得到的图像若gx1gx2=9，且x1,x22,2，则2x1x2的最大值为A. B. 356 C. 256 D. 174【答案】A【解析】函数的图像向左平移12个单位,可得y=2sin(2x+3) 的图象，再

8、向上平移1个单位,得到y=2sin(2x+3)+1 的图象。若g(x1)g(x2)=9,且x1,x22,2，则g(x1)=g(x2)=3，则 ，即x=12+k，kZ ，由x1,x22,2,得：x1,x22312,1112,112,1312 ，当 时,2x1x2取最大值4912 ，本题选择A选项.11. 已知双曲线：x2a2y2b2=1(a0,b0)的焦距为2c，直线l: y=kx-kc若k=3，则l与的左、右两支各有一个交点；若k=15，则l与的右支有两个不同的交点，则的离心率的取值范围为A. (1,2) B. (1,4) C. (2,4) D. 【答案】C【解析】由题意可知：直线l:y=k(

9、xc)过焦点F(c,0).双曲线的渐近线方程y=bax ，可得双曲线的渐近线斜率3ba15 ，e=ca=1+b2a2 ，由3b2a215,41+b2a216 ，2e2，如在区间上存在个不同的数x1，x2，x3，xn，使得比值fx1x1=fx2x2=fxnxn成立，则的取值集合是A. 2，3，4，5 B. 2，3 C. 2，3，5 D. 2，3，4【答案】B【解析】因为f(xn)xn的几何意义为点(xn,f(xn)与原点的连线的斜率，所以f(x1)x1=f(x2)x2=f(xn)xn的几何意义为点(xn,f(xn)与原点的连线有相同的斜率，函数f(x)=1-|x-1|(x2)ex-2(-x2+8

10、x-12)(x2)的图象,在区间(1，+)上，与的交点个数有1个，2个或者3个，故n=2或，即的取值集合是2，3，故选：B.点睛：本题考查两函数的交点问题，通过分析信息得到的图象,在区间(1，+)上，与y=kx的交点个数.确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理也可构造新函数然后利用导数来求解.注意利用数形结合的数学思想方法.填空题（每小题5

11、分,共20分）13. 已知a=12,32，与的夹角为，则a2b=_【答案】13【解析】由平面向量的数量积：ab=abcos60=1212=1 ，则： .点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用14. 已知的展开式中各项系数的和为32，则展开式中的系数为_（用数字作答）【答案】120【解析】 由题意得，令x=y=1，则(2x2+xy)n=2n=32，解得n=5， 即(2x2+xy)5=(2x2+x)+y5展开式的通项为Tr+1=C5r(2x2+x)5ryr， 令r=2，则T3=C53(

12、2x2+x)3y2， 又二项式(2x2+x)3的展开式中x5项为C31(2x2)2x1=12x5，所以(2x2+xy)n展开式中x5y2的系数为C5312=120.点睛：本题主要二项展开式的通项的应用，本题解答的关键在于把三项式转化为二项式(2x2+x)+y5，再利用二项式(2x2+x)3的展开式的通项，找到x5的系数，其中合理转化为二项式问题时解答的难点.15. 鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、 前后完全对称从外表上看，六根等长的正四棱柱体分成三组，经榫卯

13、起来，如图，若正四棱柱体的高为，底面正方形的边长为，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为_（容器壁的厚度忽略不计）【答案】【解析】表面积最小的球形容器可以看成长、宽、高分别为1、2、6的长方体的外接球。设其半径为R,R2=32+(22+122)2=414 ，所以该球形容器的表面积的最小值为4R2=41 。【点睛】将表面积最小的球形容器，看成其中两个正四棱柱的外接球，求其半径，进而求体积。16. 对于正整数n，设xn是关于的方程nx3+2xn=0的实数根，记an=n+1xnn2，其中表示不超过实数的最大整数，则11007a2+a3+a2015=_.【答案】2020【解析

14、】令f(x)=nx3+2xn，则f(x)=3nx2+20，函数f(x)单调递增，且：f(0)=n0，故方程nx3+2x-n=0存在唯一的实数根x0(0,1)，且：，据此可得：nn+1xn1,n(n+1)xnb0)的左、右焦点分别为F1(1,0)，F2(1,0)，点A(1,22)在椭圆C上（）求椭圆的标准方程；（）是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆有两个不同交点、N时，能在直线y=53上找到一点，在椭圆C上找到一点，满足PM=NQ？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由【答案】（）x22+y2=1；() 见解析【解析】试题分析：（1）由焦点坐标可得，再根据a2+b2=c2及点A(22,

15、32)在椭圆C上，可得a2=2,b2=1，进而可得椭圆的方程；（2）设直线的方程为y=2x+t，与椭圆方程联立可得9x2+8tx+2t22=0，与判别式为正可得3t3，再根据平行四边形性质及韦达定理可得点的纵坐标范围是73y41)A(22,32)在椭圆上，12a2+34(a2-1)=1(a21)解得故椭圆C的方程为x22+y2=1（2）假设存在这样的直线 设直线的方程为y=2x+t，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，P(x3,53)，Q(x4,y4)，的中点为D(x0,y0)，由y=2x+t,x22+y2=1,得9x2+8tx+2t2-2=0，所以x1+x2=-8t9，且=(8t)2-36

16、(2t2-2)0，则-3t3，y1+y2=2(x1+x2)+2t=2t9 y0=y1+y22=t9由PM=NQ知四边形PMQN为平行四边形，而为线段的中点，因此，D也是线段的中点，所以y0=53+y42=t9，可得y4=2t-159，又-3t3，所以-73y4-1，因此点Q不在椭圆上所以这样的直线l不存在【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆的标准方程、韦达定理以及解析几何中的存在性问题，属于难题.解决存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在，注意：当条件和结论不唯一时要分类讨论；当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；当条件和结论

17、都不知，按常规方法题很难时采取另外的途径.21. 已知函数.（）求过点且与曲线相切的直线方程；（）设，其中为非零实数，若有两个极值点，且，求证：.【答案】（）xey+1=0；（）见解析.【解析】试题分析：()由导函数研究函数的切线，求得函数在点1,0 处的切线斜率为，据此可得切线方程为x-ey+1=0；()利用题意构造函数hx=afx+gx=alnx+1+12x2x ，结合(I)的结论和导函数与原函数的关系即可证得结论.试题解析：（）设切点为，则切线的斜率为点在上，解得切线的斜率为，切线方程为（）当时，即时，在上单调递增；当时，由得，故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；当时，由得，在上

18、单调递减，在上单调递增.当时，有两个极值点，即，由得，由，即证明即证明构造函数，在上单调递增，又，所以在时恒成立，即成立.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=2+cosy=2+sin（为参数），直线C2的方程为y=3x，以为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，（1）求曲线C1和直线C2的极坐标方程；（2）若直线C2与曲线C1交于两点，求1|OA|+1|OB|.【答案】（1）；（2）23+27.【解析】【试题分析】（1）依据题设条件运用直角坐标与极坐标之间的关系求解；（2）运用极坐标方程及极坐标的几何意义分析求解：（1）曲线C1的普通方程为(x-2)2+(y-2)2=1，则C1的极坐标方程为2-4cos-4sin+7=0，由于直线C2过原点，且倾斜角为3，故其极