高三数学 8利用向量求点到面、线到面 、面到面的距离试题（通用）_第1页
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文档简介

1、8利用向量求点到面、线到面 、面到面的距离【例1】 已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，AB2，CC12，E为CC1的中点，则点A到平面BED的距离为 ()A.2B.C.D.1【解析】以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图)，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(0,2，).设n(x，y，z)是平面BDE的法向量.则.取y1，则n(1,1，)为平面BDE的一个法向量.又(2,0,0)，点A到平面BDE的距离是d1.【评注】利用向量法求点面的距离，合理建系寻求平面的

2、法向量和斜线的方向向量，利用斜线的方向向量在法向量上的投影的绝对值即为点P到平面的距离d(其中n为的法向量，M为内任一点)【变式1】四棱锥中利用向量法求点到面的距离 在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PAAD4，AB2，以AC为直径的球面交PD于点M，交PC于点N，则点N到平面ACM的距离为 1.【解析】分别以AB、AD、AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，P(0,0,4)，B(2,0,0)，C(2,4,0)，D(0,4,0)，M(0,2,2)，A(2,4,0)，A(0,2,2)，设平面ACM的一个法向量n(x，y，z)，由nA，nA，可得令

3、z1，则n(2，1,1)由已知得，ANNC，在RtPAC中，PA2PNPC，所以PN，则NCPCPN，. 所以所求距离为点P到平面ACM距离的，又点P到平面ACM的距离为|. 所以点N到平面ACM的距离为.【例2】已知斜三棱柱，在底面上的射影恰为的中点，又知（I）求证：平面；（II）求到平面的距离；【解析】/平面到平面的距离到平面的距离（I）如图，取的中点，则，因为，所以，又平面，以为轴建立空间坐标系，则，由，知，又，从而平面；（II）由，得设平面的法向量为，所以，设，则所以点到平面的距离【评注】 当直线与平面平行，那么直线到平面的距离就可以转化为直线上的点到平面的距离，可以利用向量法求解点到

4、面的距离.【变式1】特殊三棱柱中利用向量求线到平面的距离已知斜三棱柱，在底面上的射影恰为的中点，又知则到平面的距离 1. 【解析】如图，取的中点，则，因为，所以，又平面，以为轴建立空间坐标系，则， 由，得设平面的法向量为，所以，设，则所以点到平面的距离,由平行于平面，则到平面的距离.【例3】正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为()A.aBaC.aDa【解析】 以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则平面AB1D1的一个法向量为n(1，1,1)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，(0，a,0)，则两平面间的距离d|a.【评

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