辽宁省朝阳市重点高中2020届高三数学第四次模拟考试试题 理（含解析）（通用）

1、辽宁省2020年朝阳市重点高中高三第四次模拟考试理科数学第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法运算，即可求出结果.【详解】.故选B【点睛】本题主要考查复数的除法运算，熟记运算法则即可，属于基础题型.2.已知集合，若，则由实数的所有可能的取值组成的集合为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】分为空集和不为空集两种情况讨论，分别求出的范围，即可得出结果.【详解】因为集合，若为空集，则方程无解，解得；若不为空集，则；由解得

2、，所以或，解得或，综上，由实数的所有可能的取值组成的集合为.故选D【点睛】本题主要考查由集合间的关系求参数的问题，熟记集合间的关系即可，属于基础题型.3.已知函数的两个相邻的对称轴之间的距离为，为了得到函数的图象，只需将的图象（ ）A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】D【解析】【分析】先由函数的两个相邻的对称轴之间的距离为，得到周期，求出，再由平移原则，即可得出结果.【详解】因为函数的两个相邻的对称轴之间的距离为，所以的最小正周期为，因此，所以，因此，为了得到函数图象，只需将的图象向右平移个单位长度.故选D【点睛】本题主要考查

3、三角函数的性质，以及三角函数的平移问题，熟记三角函数的平移原则即可，属于常考题型.4.已知圆的方程为，点在直线上，则圆心到点的最小距离为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先由圆的方程，得到圆心坐标，根据点到直线距离公式，求出圆心到直线的距离，即可得出结果.【详解】因为圆的方程为，所以其圆心坐标为，又在直线上，所以求圆心到点的最小距离，即是求圆心到直线的距离，由点到直线距离公式可得：.故选C【点睛】本题主要考查圆心到直线上一点距离的最值问题，熟记点到直线距离公式即可，属于常考题型.5.在等比数列中，则（ ）A. 3B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先设等比数列的公

4、比为，根据题中条件判断公比为正，再由等比数列的性质，即可求出结果.【详解】设等比数列的公比为，因为，所以，又，所以.故选A【点睛】本题主要考查等比数列的性质，熟记等比数列性质即可，属于基础题型.6.甲，乙，丙，丁四名学生，仅有一人阅读了语文老师推荐的一篇文章.当它们被问到谁阅读了该篇文章时，甲说：“丙或丁阅读了”；乙说：“丙阅读了”；丙说：“甲和丁都没有阅读”；丁说：“乙阅读了”.假设这四名学生中只有两人说的是对的，那么读了该篇文章的学生是（ ）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】B【解析】【分析】分别假设甲阅读，乙阅读，丙阅读，丁阅读，结合题中条件，即可判断出结果.【详解】若甲阅读了语文

5、老师推荐的文章，则甲、乙、丙、丁说的都不对，不满足题意；若乙阅读了语文老师推荐的文章，则甲、乙说的都不对，丙、丁都正确；满足题意；若丙阅读了语文老师推荐的文章，则甲、乙、丙说的都对，丁说的不对，不满足题意；若丁阅读了语文老师推荐的文章，则甲说的对，乙、丙、丁说的都不对，不满足题意；故选B【点睛】本题主要考查逻辑推理的问题，推理案例是常考内容，属于基础题型.7.已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，下列命题正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】B【解析】【分析】根据空间中线线、线面位置关系，逐项判断即可得出结果.【详解】A选项，若，则或与相交；故A错；B选项

6、，若，则，又，是两个不重合的平面，则，故B正确；C选项，若，则或或与相交，又，是两个不重合的平面，则或与相交；故C错；D选项，若，则或或与相交，又，是两个不重合的平面，则或与相交；故D错；故选B【点睛】本题主要考查与线面、线线相关的命题，熟记线线、线面位置关系，即可求解，属于常考题型.8.已知函数（表示不超过实数的最大整数），若函数的零点为，则（ ）A. B. -2C. D. 【答案】B【解析】【分析】先对函数求导，判断函数单调性，再根据函数零点存在性定理，确定的大致范围，求出，进而可得出结果.【详解】因为，所以在上恒成立，即函数在上单调递增；又，所以在上必然存在零点，即，因此，所以.故选B【

7、点睛】本题主要考查导数的应用，以及函数的零点，熟记导数的方法研究函数单调性，以及零点的存在性定理即可，属于常考题型.9.一般来说，一个班级的学生学号是从1 开始的连续正整数，在一次课上，老师随机叫起班上8名学生，记录下他们的学号是：3、21、17、19、36、8、32、24，则该班学生总数最可能为（ ）A. 39人B. 49人C. 59人D. 超过59人【答案】A【解析】【分析】根据随机抽样中，每个个体被抽到的机会都是均等的，得到每十个个体被抽到的机会也是均等的，结合题中数据，即可估计出结果.【详解】因为随机抽样中，每个个体被抽到的机会都是均等的，所以，.，每组抽取的人数，理论上应均等；又所抽

8、取的学生的学号按从小到大顺序排列为3、8、17、19、21、24、32、36，恰好使，四组中各有两个，因此该班学生总数应为40左右；故选A【点睛】本题主要考查简单随机抽样，熟记随机抽样的特征即可，属于基础题型.10.已知为等边三角形所在平面内的一个动点，满足，若，则（ ）A. B. 3C. 6D. 与有关数值【答案】C【解析】【分析】以中点为坐标原点，以方向为轴正方向，方向为轴正方向，建立平面直角坐标系，结合图像，根据向量数量积的几何意义，即可求出结果.【详解】如图：以中点为坐标原点，以方向为轴正方向，方向为轴正方向，建立平面直角坐标系，因为，则，因为为等边三角形所在平面内的一个动点，满足，所

9、以点在直线，所以在方向上的投影为，因此.故选C【点睛】本题主要考查向量的数量积运算，通常可用坐标系的方法处理，熟记向量数量积的几何意义与运算法则即可，属于常考题型.11.已知，为双曲线的左、右焦点，直线与双曲线的一个交点在以线段为直径的圆上，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先由题意得到，不妨令在第一象限内，再得到为等边三角形，求出，结合双曲线的定义，即可求出结果.【详解】因为直线与双曲线的一个交点在以线段为直径的圆上，所以，不妨令在第一象限内，又为中点，所以，因为直线的倾斜角为，所以为等边三角形，所以，因此，在中，由双曲线的定义可得：，所以双曲线的离心

10、率为.故选C【点睛】本题主要考查求双曲线的离心率，熟记双曲线的简单性质以及双曲线的定义即可，属于常考题型.12.已知函数，若对任意，都有成立，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先令，根据题中条件得到在上恒成立，转化为在上恒成立；令，用导数的方法求出最小值，即可得出结果.【详解】令，则，因为对任意，都有成立，所以在上恒成立；即在上恒成立；即在上恒成立；令，则，由得，解得（舍）或，所以，当时，单调递减；当时，单调递增；所以，因为在上恒成立，所以只需，解得.故选D【点睛】本题主要考查导数的应用，根据导数的单调性求参数的问题，通常需要用导数的方法研究函数的单调性

11、、最值等，属于常考题型.第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知是定义域为的奇函数，且满足，当时，则_【答案】【解析】【分析】先由得到的最小正周期为2，再由函数为奇函数，结合题中解析式，即可求出结果.【详解】因为满足，所以，因此的最小正周期为2；又是定义域为的奇函数，当时，所以.故答案为【点睛】本题主要考查函数奇偶性与周期性的应用，熟记函数的奇偶性与周期性即可，属于常考题型.14.设，则_【答案】【解析】【分析】分别令和，得到两式，两式相加，即可求出结果.【详解】由题意，令得，令得，两式相加得，所以.故答案为【点睛】本题主要考查二项式定理，用赋值法处理即

12、可，属于常考题型.15.在中，内角的对边分别为，若，且的面积为，则最小值为_【答案】48【解析】【分析】根据条件和余弦定理，求得，进而可得。结合三角形面积公式，可得，代入条件式可得 的关系，结合不等式即可求得的最小值。【详解】在中，结合余弦定理可得 所以由三角形面积公式，可得代入化简可得 代入中可得因为所以解不等式可得所以最小值为【点睛】本题考查了余弦定理及三角形面积公式，不等式在求最值中的应用，属于中档题。16.已知边长为的空间四边形的顶点都在同一个球面上，若，二面角的余弦值为，则该球的体积为_【答案】【解析】【分析】先由题意得到与均为等边三角形，取中点，连结，在，上分别取，使得，得到分别为

13、与外接圆圆心，记空间四边形外接球球心为，得到平面，平面，再由题中数据，结合二倍角公式、勾股定理以及球的体积公式，即可求出结果.【详解】因为空间四边形的各边长均为，又，所以与均为等边三角形；取中点，连结，在，上分别取，使得，则分别为与外接圆圆心，记空间四边形外接球球心为，则平面，平面；因为二面角的余弦值为，即，由题意，所以，因为，所以，因此空间四边形外接球半径为所以，该球的体积为.故答案为【点睛】本题主要考查几何体外接球的体积，熟记球的体积公式，结合题中条件即可求解，属于常考题型.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知等差数列的前项和为，满

14、足，且成等比数列.（1）求及；（2）设，数列的前项和为，求.【答案】(1) 或；或；（2）或；【解析】【分析】（1）先设等差数列的公差为，根据题中条件列出方程组，求出首项和公差，结合公式即可求出结果；（2）先由（1）得到，再由错位相减法，即可求出结果.【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，且成等比数列，所以有，即，解得或，；所以或；或；（2）由（1）可得，若，则，因为数列的前项和为，所以，因此，两式作差得，整理得；若，则，则；综上，或.【点睛】本题主要考查等差数列，以及数列的求和，熟记等差数列的通项公式、求和公式，以及错位相减法求数列的和即可，属于常考题型.18.国家学生体质健康测试专家组到

15、某学校进行测试抽查，在高三年级随机抽取100名男生参加实心球投掷测试，测得实心球投掷距离（均在5至15米之内）的频数分布表如下（单位：米）：分组频数102240208以各组数据的中间值代表这组数据的平均值，将频率视为概率.（1）根据以往经验，可以认为实心球投掷距离近似服从正态分布，其中近似为样本平均值，近似为样本方差，若规定：时，测试成绩为“良好”，请估算该校高三年级男生实心球投掷测试成绩为“良好”的百分比；（2）现在从实心球投掷距离在，之内的男生中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人参加提高体能的训练，在被抽取的3人中，记实心球投掷距离在内的人数为，求的概率分布及数学期望.附：

16、若服从，则，.【答案】（1）；（2）分布列见详解，期望为【解析】【分析】（1）先由频数分布表求出样本均值，再结合正态分布的特征，根据附表中的概率求解，即可得出结果；（2）先用分层抽样的方法确定每组所抽的人数，得到的所有可能取值，求出对应概率，即可得出分布列与期望.【详解】（1）由频数分布表可得：；又，所以；所以该校高三年级男生实心球投掷测试成绩为“良好”的百分比为；（2）因为投掷距离在，之内的男生共50人，且人数之比为，又两组共抽取5人，所以投掷距离在的有1人，投掷距离在的有4人，先从这5人中随机抽取3人参加提高体能的训练，在被抽取的3人中，记实心球投掷距离在内的人数为，则的可能取值为；所以；

17、因此的分布列为：期望【点睛】本题主要考查正态分布，以及超几何分布，熟记正态分布的特征，以及超几何分布的分布列与期望的计算方法即可，属于常考题型.19.已知为椭圆的右焦点，点在上，且轴，椭圆的离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆相交于，两点，且（为坐标原点），求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据题意，先求出，再由离心率求出，根据求出，即可得出椭圆方程；（2）先设，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理与，以及判别式大于0，即可求出的取值范围.【详解】（1）因为为椭圆的右焦点，点在上，且轴，所以；又椭圆的离心率为，所以，因此，所以椭圆的方程为；（2）设，由得 ，所以

18、，故，由，得，即，整理得，解得；又因，整理得，解得或；综上，的取值范围是.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程，以及根据直线与椭圆位置关系求参数的问题，通常需要联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，判别式等求解，属于常考题型.20.在三棱锥中，是边长为4的等边三角形，平面平面，点为棱的中点，点在棱上且满足，已知使得异面直线与所成角的余弦值为的有两个不同的值.（1）求的值；（2）当时，求二面角的余弦值.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】先取中点，连结，根据题意证明，两两垂直；以为坐标原点，方向分别为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系，由得到的坐标；（1）用向量的方法，结合题意得到，求出的值，即

19、可得出结果；（2）由（1）得到，求出平面的一个法向量，根据题意，再得到为平面的一个法向量，求两法向量夹角余弦值，即可得出结果.【详解】取中点，连结，因为是边长为4的等边三角形，所以，；又，所以，；因为平面平面，所以平面，所以，两两垂直；以为坐标原点，方向分别为轴，轴，轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，则有，；因为为棱的中点，所以，又点在棱上且满足，所以，即；所以；（1）因为，又异面直线与所成角的余弦值为所以，即，整理得，解得或；因为，所以，；（2）由（1）可得，则，又，设平面的一个法向量为，则有即，令，则，即，又平面，即平面，所以为平面的一个法向量；所以.由图像易知，二面角锐二面角，所以二

20、面角的余弦值为.【点睛】本题主要考查由异面直线所成的角求其它的量，以及求二面角的问题，灵活掌握空间向量的方法求解即可，属于常考题型.21.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若有两个极值点，当时，求的最大值.【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在，上单调递增；在上单调递减；（2）【解析】【分析】（1）先对函数求导，分别讨论和，即可得出结果；（2）先由（1）得到，对化简整理，再令，得到，根据（1）和求出的范围，再令，用导数的方法求其最大值，即可得出结果.详解】（1）由得；因为，所以；因此，当时，在上恒成立，所以在上单调递增；当时，由得，解得或；由得；所以在，上单调递增；在上单调递减；综上，当时，在上单调递增；当时，在，上单调递增；在上单调递减；（2）若有两个极值点，由（1）可得， 是方程的两不等实根，所以，因此，令，则；由（1）可知，当时，所以，令，则在上恒成立；所以在上单调递减，故.即的最大值为.【点睛】本题主要考查导数的应用，通常需要对函数求导，根据导数的方法研究函数单调性、