甘肃省兰州市2020届高三数学实战模拟考试（二诊）试题 理（含解析）（通用）

1、2020年兰州市高三实战模拟考试理科数学一、选择题.在每小题给出的的四个选项中，只有一面是符合题目要求的.1.已知复数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据复数的运算法则，化简复数，再利用复数模的计算公式，即可求解。【详解】，所以，故选B【点睛】本题考查复数求模的问题，考查复数的运算，属基础题。2.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由集合的交集运算，直接求出答案即可。【详解】因为A=x-20，所以AB=x00，所以排除B故选A.【点睛】由解析式判断函数图像的一般方法1、求定义域2、判断奇偶性3、取特殊值4,、求导，判断增减性4.已知向

2、量a，b满足a=1，则a与b的夹角为（ ）A. B. 3C. 4D. 6【答案】B【解析】【分析】将(a+b)(a-2b)=-8展开，代入a=1，可求出的值，结合求夹角公式，即可求解。【详解】由题意得，所以所以cos=abab=112=12，又0,，所以，即与b的夹角为3，故选B。【点睛】本题考查向量的数量积公式以及向量夹角的求法，属基础题。5.经过点且与双曲线x23y22=1有相同渐近线的双曲线方程是（ ）A. B. C. y218x212=1D. y212x218=1【答案】D【解析】【分析】设所求双曲线的方程x23y22=，将点M23，25代入求出，从而求出方程。【详解】设所求双曲线的方

3、程为，将点M23，25代入得23232522=解得，所以双曲线方程为故选D.【点睛】本题考查双曲线的标准方程，解题的关键是设所求双曲线的方程为x23y22=，属于简单题。6.定义“等积数列”:在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积，已知数列an是等积数列且a1=3，前41项的和为，则这个数列的公积为（ ）A. B. C. 6D. 8【答案】C【解析】【分析】由题可得a1+a2=a3+a4=a39+a40，a1=a41 ，先由题求出a2 ，则公积为a1a2.【详解】由题可知等积数列的各项以2为一个周期循环出现，每相邻两项的和相等

4、，前41项的和为103则a1+a2+a3+a4+a39+a40+a41=103 即20a1+a2+a1=103，解得a2=2 所以公积是 故选C.【点睛】本题考查数列，解题的关键是理解等积数列的各项以2为一个周期循环出现，每相邻两项的和相等，考查学生的类比能力。7.“欧几里得算法”是有记载的最古老的算法，也叫做辗转相除法，可追溯至公元前年前，如图的程序框的算法思路就是来源于“欧几里得算法”，用于计算两个整数，的最大公约数执行该程序框图（图中“”表示除以的余数），若输入的，分别为，则输出的（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】该程序框图执行的是欧几里得辗转相除法，求出运算结果即

5、可。【详解】输入的，b=840，则 ，不满足循环条件a=840 ，b=84 ，则c=0满足循环条件，则最大公约数是. 故选B【点睛】本题考查程序框图，执行是欧几里得辗转相除法，属于简单题。8.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，AD=2，则异面直线A1B1与AC1所成角的余弦值为（ ）A. 1414B. 1313C. 66D. 13【答案】C【解析】【分析】由A1B1AB，得BAC1即为异面直线A1B1与AC1所成角，在Rt中，求出各边边长，即可求解。【详解】因为长方体ABCD-A1B1C1D1所以A1B1AB，所以BAC1即为异面直线A1B1与所成角。因为AB平面BCC1B1，所

6、以ABBC1，即ABC1为直角三角形由题意得，在BAC1中，AB=1，BC1=5，AC1=6所以，故选C。【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，解决的关键是转化成相交线所成的角，考查空间想象能力，计算求解能力，属基础题。9.已知数列中，a1=1，a2=2，且anan+2=an+1nN，则a2019的值为（ ）A. 2B. C. 12D. 14【答案】A【解析】【分析】由递推关系，结合a1=1，a2=2，可求得a3，a4，a5 的值，可得数列是一个周期为6的周期数列，进而可求a2019的值。【详解】因为anan+2=an+1nN*，由，得a3=2；由，得；由，得a5=12；由，a5=12，得；由

7、a5=12，a6=12，得；由a6=12，得 由此推理可得数列是一个周期为6的周期数列，所以a2019=a3=2，故选A。【点睛】本题考查由递推关系求数列中的项，考查数列周期的判断，属基础题。10.定义在R上的函数满足：，且f1=3，则不等式的解集为（ ）A. B. C. 1,+D. 【答案】C【解析】【分析】构造函数gx=fx2x1，对求导研究其单调性与在处的函数值，从而求得答案。【详解】fx2x+1的解集即为fx2x10的解集构造函数gx=fx2x1，则，因为fx2，所以gx=fx20所以gx=fx2x1在R上单调递增，且g1=f121=0所以fx2x10的解集为，不等式的解集为.故选C.

8、【点睛】本题考查导函数的应用，解题的关键是构造新函数。11.已知双曲线的左焦点F，右顶点为，过F且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，若ABE是钝角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）A. B. C. 1+2,+D. 【答案】D【解析】【分析】利用双曲线的对称性可得为钝角，得即AFEF，利用几何关系可得，的长度，结合离心率的公式，即可求出离心率的取值范围。【详解】因为双曲线关于x轴对称，且AB垂直于x轴，所以AEF=BEF,因为是钝角三角形，所以AEB为钝角，即因为F为左焦点，且过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点，所以AF=b2a，又所以b2aa+c，即c2ac2a20由，可得e

9、2e20，解得e2，或（舍），故选D【点睛】本题考查双曲线的几何性质，离心率的求法，考查推理计算，化简求值的能力，意在考查学生对这些基础知识的理解掌握水平，属中档题。二、填空题.12.直线是曲线y=lnxx0的一条切线，则实数_.【答案】1【解析】【分析】设切点为(x0,y0)，由导数的几何意义可得yx=x0=1x0=e，即可解出的值，代入y=lnx，即可求出的值，又切点(x0,y0)在切线上，代入方程，即可求解。【详解】设切点为(x0,y0)，由题意得y=1x(x0)，所以所以x0=1e所以y0=lnx0=ln1e=1又y0=ex0+2b，所以【点睛】本题考查导数的几何意义，属基础题。13.

10、若满足约束条件x+y2xy20y4，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】由不等式组画出对应的平面区域，平移直线纵截距最大值，z最小。【详解】可行域是下面的三角形ABC内，如图平移直线纵截距最大值，z最小，则在点处有最小值【点睛】本题考查线性规划问题，解题的关键是找到不等式组表示的平面区域，属于简单题。14.已知数列an的前项和为Sn=n2+2n+3，则_.【答案】6，n=12n+1,n2.【解析】分析：当n2时，an=SnSn1，验证首项，即可求通项an详解：a1=S1=6，当n2时，an=SnSn1=2n+1，当n=1时，a1=36，an=6，n=12n+1,n2故答案为：6，n=12n

11、+1,n2点睛：本题考查了由数列的前n项和公式求数列的通项公式，属于中档题，解题时特别注意两点，第一，要分类讨论，分和两种情形，第二要掌握an=snsn1n2这一数列中的重要关系，否则无法解决此类问题，最后还要注意对结果的处理，分段形式还是一个结果的形式.15.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱体分成三组，经榫卯起来.若正四棱柱的高为8，底面正方形的边长为，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为_.（容器壁的厚度忽略不计，结果保留）【答案】84【解析】【分析】由题若球

12、形容器表面积最小，则正四棱柱与球内接，此时球体的直径等于一组正四棱柱的体对角线长，求出半径长再求表面积。【详解】若球形容器表面积最小，则正四棱柱与球内接，此时球体的直径等于一组正四棱柱的体对角线长，即2R=82+2+22+22=221 所以R=21 球形容器的表面积S=4R2=84【点睛】本题考查球体表面积，解题的关键是求出球体的半径。三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.已知是的内角，分别是角的对边.若cos2Bsin2AsinAsinB=cos2C,（1）求角C的大小；（2）若A=6，ABC的面积为3，M为BC的中点，求【答案】(1) C=23 (2) AM=7【解析

13、】【分析】（1）由sin2+cos2=1，可将cos2B，cos2C转化为1sin2B,1sin2C，代入原式，根据正弦定理可得c2-b2=a2+ab，结合余弦定理，及0C，可得角C的大小。（2）因为A=6，所以B=6。所以ABC为等腰三角形，根据面积为3，可得a=b=2，在MAC，AC=2，CM=1，C=23，结合余弦定理，即可求解。【详解】（1）由得由正弦定理，得c2-b2=a2+ab，即a2+b2-c2=-ab所以cosC=a2+b2-c22ab=-ab2ab=-12又0Cb0过点P3，32，且其中一个焦点的坐标为1，0，（1）求椭圆E的方程；（2）若直线l:x=my+1mR与椭圆交于两

14、点A，B，在x轴上是否存在点M，使得MAMB为定值？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1) x24+y23=1 (2)见证明【解析】分析】（1）根据焦点为(1,0)可得c=1，且另一个焦点为(1,0)，利用椭圆定义，即可求出a的值，结合a,b,c的关系，即可求出b2，代入方程即可求解。（2）设点Mx0,0，Ax1,y1，Bx2,y2，联立椭圆和直线的方程，结合韦达定理可得y1+y2=-6m3m2+4，y1y2=-93m2+4，代入MAMB即可求解。【详解】（1）F1-1.0和F21,0是椭圆E:x2a2+y2b2=1ab0的两个焦点，且点P3,32在椭圆上，依题意，c=1

15、，又2a=3-12+322 +3+12+322 =1219-83+19-83=124-32+4+32=4故a=2.由b2+c2=a2得b2=3.故所求椭圆的方程为x24+y23=1.（2）假设存在点Mx0,0，使得MAMB为定值，联立x24+y23=1x=my+1，得3m2+4y2+6my-9=0设Ax1,y1，Bx2,y2，则，y1y2=-93m2+4，MA=x1-x0,y1，MB=x2-x0,y2，MAMB=x1-x0x2-x0+y1y2 m-6m3m2+4+1-x02=6x0-15m2-93m2+4+1-x02要使上式为定值，即与m无关，应有6x0-153=-94解得x0=118，此时M

16、AMB=-13564所以，存在点M118,0使得MAMB=-13564为定值.【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系的应用，重点掌握韦达定理的应用，需要较强的计算能力，属中档题。19.如图所示，三棱锥SABC中，平面SAB平面ABC，平面SAC平面ABC，D，E分别是和BC边上的点，且DEAB，SA=2，AD=3，DE=1，AC=23，AEC=60，为的中点.（1）求证：DE/平面SAF；（2）求直线与平面SDE所成角的正弦值.【答案】(1)见证明；(2) 217【解析】【分析】（1）在ACE中，根据余弦定理，可得CE=4，所以AE2+AC2=EC2，即ACE是直角三角形，又

17、为的中点，所以AEF为等边三角形，根据线面平行的判定定理即可证明。（2）以点为原点，以，所在直线分别为轴，y轴，轴建系，求出SC，平面SDE法向量n的坐标，计算SC与法向量n的夹角，可得所求。【详解】（1）平面SAB平面ABC，平面SAC平面ABC，平面SAC平面SAB=SA则SA平面ABC，又DEAB，则ADE=90因AD=3，DE=1，ADE=90，所以AE=2，AED=60，在ACE中，AC=23，AE=2，AEC=60由余弦定理可得：AC2=AE2+EC2-2AEECcosAEC解得：CE=4所以AE2+AC2=EC2，所以ACE是直角三角形，又F为CE的中点，所以AF=12EC=EF

18、又AEC=60，所以AEF为等边三角形，所以EAF=60=DEA，所以DE/AF，又AF平面SAF，DE平面SAF，所以DE/平面SAF.（2）由（1）可知DAF=90，以点为原点，以，AS所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则S0,0,2，D3,0,0，E3,1,0，C-3,3,0.所以SD=3,0,-2，SE=3,1,-2，SC=-3,3,-2.设n=x,y,z为平面SDE的法向量，则，即设x=1，则y=0，z=32，即平面SDE的一个法向量为n=1,0,32，所以cos=nSCnSC 所以直线SC与平面SDE所成角的正弦值为217.【点睛】本题考查线面平行的判定，空间中线面角的求

19、法，利用余弦定理解三角形。考查空间想象、计算证明的能力，属中档题。20.已知fx=x1ex2ax2.（1）当a=e4时，求fx的极值；（2）若fx有2个不同零点，求的取值范围.【答案】(1) fx极大值=1，fx最小值=e2(2) ,0【解析】【分析】（1）当a=e4时，fx=xex-e，令fx=0得x=0或，对x分类讨论，可得fx的单调性，即可求解。（2）对分类讨论，当 0时，只有一个零点，a0时，根据fx的单调性，结合零点与方程思想，即可求解。【详解】（1）当a=e4时，fx=xex-e令fx=0得x=0或，x0，fx为增函数，0x1，fx1，fx0，fx为增函数fx极大值=f0=-1，f

20、x最小值=f1=-e2（2）fx=xex-4a当a=0时，fx=x-1ex，只有一个零点x=1；不满足题意。当a0x-,0，fx0，fx为增函数，fx极小值=f0=-1而当x0,+时，f(1)=2a0，所以x0(0,1)，使f(x0)=0，当x-,0时，exx1，即f(x)=(x1)ex2ax2x12ax2=2ax2+x1取x1=-1-1-8a-4afx1=0，fx1f00时，fx=xex-4a，令fx=0得x=0或x=ln4aln4a0，即a14时，当变化时fx，fx变化情况是-,00,ln4aln4aln4a,+fx0-0+fx递增递减递增fx极大值=f0=-1，函数fx至多有一个零点，不

21、符合题意；a=14时，ln4a=0，fx0，则fx在-.+.单调递增，fx至多有一个零点，不合题意ln4a0时，fln4a0，f0=-1函数fx至多有一个零点综上，a的取值范围是-,0.【点睛】本题考查导数的应用，涉及到函数的极值，单调性，利用导数研究函数零点，考查分类讨论的数学思想，综合性强，属中档题21.在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为x=2cosy=2+2sin（为参数），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为=4cos.（1）求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）已知曲线C3的极坐标方程为=，0，R，点A是曲线C3与C1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，且A，B均异于原点，且AB=42，求实数的值.【答