2020版高三数学《6年高考4年模拟》：第九章 解析几何第二节 圆锥曲线新人教A版（通用）

1、第二节第二节 圆锥曲线圆锥曲线 第一部分第一部分 六年高考荟萃六年高考荟萃 20202020 年高考题年高考题 一、选择题一、选择题 1.1.（20202020 湖南文）湖南文）5. 设抛物线 2 8yx上一点 P 到 y 轴的距离是 4，则点 P 到该抛物线焦 点的距离是 A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】B 2.2.（20202020 浙江理）浙江理） （8）设 1 F、 2 F分别为双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、右焦点.若 在双曲线右支上存在点P，满足 212 PFFF，且 2 F到直线 1 PF的距离等于双曲线的实轴 长，则该双曲线的渐近线方

2、程为 （A）340 xy （B）350 xy （C）430 xy （D）540 xy 解析：利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出 a 与 b 之间的等量关系， 可知答案选 C，本题主要考察三角与双曲线的相关知识点，突出了对计算能力和综合运用 知识能力的考察，属中档题 3.3.（20202020 全国卷全国卷 2 2 理）理） （12）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 3 2 ，过右焦 点F且斜率为(0)k k的直线与C相交于AB、两点若3AFFB ，则k （A）1 （B）2 （C）3 （D）2 【答案】B 【命题意图】本试题主要考察椭圆的性质与第

3、二定义. 【解析】设直线 l 为椭圆的有准线，e 为离心率，过 A，B 分别作 AA1，BB1垂直于 l，A1，B 为垂足，过 B 作 BE 垂直于 AA1与 E，由第二定义得， ，由，得， 即 k=，故选 B. 4.（2020 陕西文）9.已知抛物线y22px（p0）的准线与圆（x3）2y216 相切，则 p的值为 （A） 1 2 （B）1（C）2（D）4 【答案】 C 解析：本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系 法一：抛物线y22px（p0）的准线方程为 2 p x，因为抛物线y22px（p0）的准线 与圆（x3）2y216 相切，所以2, 4 2 3p p 法二：作图可知，抛

4、物线y22px（p0）的准线与圆（x3）2y216 相切与点（- 1,0） 所以2, 1 2 p p 5.（2020 辽宁文） （9）设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B,如果直线FB与 该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为 （A）2 （B）3 （C） 31 2 （D） 51 2 【答案】D 解析：选 D.不妨设双曲线的焦点在x轴上，设其方程为： 22 22 1(0,0) xy ab ab ， 则一个焦点为( ,0), (0, )F cBb 一条渐近线斜率为： b a ，直线FB的斜率为： b c ，()1 bb ac ， 2 bac 22 0caac，解得 51 2 c e

5、 a . 6.6.（20202020 辽宁文）辽宁文） （7）设抛物线 2 8yx的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点， PAl，A为垂足，如果直线AF斜率为3，那么PF （A）4 3 （B） 8 （C） 8 3 （D） 16 【答案】 B 解析：选 B.利用抛物线定义，易证PAF为正三角形，则 4 |8 sin30 PF 7.7.（20202020 辽宁理）辽宁理） (9)设双曲线的个焦点为 F；虚轴的个端点为 B，如果直线 FB 与该 双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为 (A) 2 (B)3 (C) 31 2 (D) 51 2 【答案】D 【命题立意】本题考查了双曲线的焦点、

6、虚轴、渐近线、离心率，考查了两条直线垂直的 条件，考查了方程思想。 【解析】设双曲线方程为 22 22 1(0,0) xy ab ab ，则 F（c,0）,B(0,b) 直线 FB：bx+cy-bc=0 与渐近线 y= b x a 垂直，所以1 b b c a A，即b2=ac 所以c2-a2=ac,即e2-e-1=0,所以 15 2 e 或 15 2 e （舍去） 8.8.（20202020 辽宁理）辽宁理）(7)设抛物线 y2=8x 的焦点为 F，准线为 l,P 为抛物线上一点,PAl,A 为垂足如果直线 AF 的斜率为- 3,那么|PF|= (A)4 3 (B)8 (C)8 3 (D)

7、16 【答案】B 【命题立意】本题考查了抛物线的定义、抛物线的焦点与准线、直线与抛物线的位置关系， 考查了等价转化的思想。 【解析】抛物线的焦点 F（2，0） ，直线 AF 的方程为3(2)yx ，所以点( 2,4 3)A 、 (6,4 3)P，从而|PF|=6+2=8 9.9.（20202020 全国卷全国卷 2 2 文）文） （12）已知椭圆 C： 22 22 1 xy ab （ab0）的离心率为 3 2 ，过右焦 点 F 且斜率为 k（k0）的直线于 C 相交于 A、B 两点，若3AFFB 。则 k = （A）1 （B）2 （C）3 （D）2 【答案】B B 【解析解析】 1122 (

8、,), (,)A x yB xy ， 3AFFB ， 12 3yy ， 3 2 e ，设，设 2 ,3at ct ，b t ， 222 440 xyt ，直线，直线 ABAB 方程为方程为 3xsyt 。代入消去。代入消去 x， ， 222 (4)2 30systyt ， 2 1212 22 2 3 , 44 stt yyy y ss ， 2 2 22 22 2 3 2, 3 44 stt yy ss ，解得，解得 2 1 2 s ， 2k 10.10.（20202020 浙江文）浙江文） （10）设 O 为坐标原点， 1 F, 2 F是双曲线 22 22 xy 1 ab （a0，b0）的 焦

9、点，若在双曲线上存在点 P，满足 1 FP 2 F=60，OP=7a,则该双曲线的渐近线方 程为 （A）x3y=0 （B）3xy=0 （C）x2y=0 （D）2xy=0 【答案】 D 解析：选 D，本题将解析几何与三角知识相结合，主要考察了双曲线的定义、标准方程， 几何图形、几何性质、渐近线方程，以及斜三角形的解法，属中档题 11.11.（20202020 重庆理）重庆理） （10）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且 平行于另一条直线的平面内的轨迹是 A. 直线 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 双曲线 【答案】 D 解析：排除法 轨迹是轴对称图形，排除 A、C，轨迹与已知

10、直线不能有交点，排除 B 12.12.（20202020 山东文）山东文） （9）已知抛物线 2 2(0)ypx p，过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物 线与A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为 2，则该抛物线的准线方程为 （A）1x (B)1x (C)2x (D)2x 【答案】B 13.13.（20202020 四川理）四川理） （9）椭圆 22 22 1() xy ab ab 的右焦点F，其右准线与x轴的交点 为 A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是 （A） 2 0, 2 （B） 1 0,2 （C） 2 1,1 （D） 1,1 2 解析：由题意，椭

11、圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F， 即F点到P点与A点的距离相等 而|FA| 22 ab c cc |PF|ac,ac 于是 2 b c ac,ac 即acc2b2acc2 222 222 accac acacc 1 1 1 2 c a cc aa 或 又e(0,1) 故e 1,1 2 【答案】D 14.14.（20202020 天津理）天津理）(5)已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的一条渐近线方程是 y=3x, 它的一个焦点在抛物线 2 24yx的准线上，则双曲线的方程为 （A） 22 1 36108 xy （B） 22 1 927 xy （C） 22 1

12、 10836 xy （D） 22 1 279 xy 【答案】B 【解析】本题主要考查双曲线与抛物线的几何性质与标准方程，属于容易题。 依题意知 22 222 3 69,27 b a cab ca b ，所以双曲线的方程为 22 1 927 xy 【温馨提示】选择、填空中的圆锥曲线问题通常考查圆锥曲线的定义与基本性质，这部分 内容也是高考的热点内容之一，在每年的天津卷中三种软件曲线都会在题目中出现。 15.15.（20202020 广东文）广东文）7.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆 的离心率是 A. 5 4 B. 5 3 C. 5 2 D. 5 1 【答案】B 16.

13、16.（20202020 福建文）福建文）11若点O和点F分别为椭圆 22 1 43 xy 的中心和左焦点，点 P 为椭 圆上的任意一点，则OP FP A的最大值为 A2 B3 C6 D8 【答案】C 【解析】由题意，F（-1，0） ，设点 P 00 (,)xy，则有 22 00 1 43 xy ,解得 2 2 0 0 3(1) 4 x y， 因为 00 (1,)FPxy ， 00 (,)OPxy ，所以 2 000 (1)OP FPx xy = 00 (1)OP FPx x 2 0 3(1) 4 x = 2 0 0 3 4 x x，此二次函数对应的抛物线的对称轴为 0 2x ，因为 0 22

14、x ，所以当 0 2x 时，OP FP 取得最大值 2 2 236 4 ，选 C。 【命题意图】本题考查椭圆的方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数 的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算 能力。 17.17.（20202020 全国卷全国卷 1 1 文）文） （8）已知 1 F、 2 F为双曲线 C: 22 1xy的左、右焦点，点 P 在 C 上， 1 FP 2 F= 0 60，则 12 | |PFPF A (A)2 (B)4 (C) 6 (D) 8 【答案】B 【命题意图】本小题主要考查双曲线定义、几何性质、余弦定理，考查转化的数学思想

15、， 通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力. 【解析 1】.由余弦定理得 cos 1 FP 2 F= 222 1212 12 | 2| PFPFFF PFPF 2 2 22 12 121212 0 1212 222 2 2 1 cos60 222 PF PF PFPFPF PFFF PF PFPF PF 12 | |PFPF A4 【解析 2】由焦点三角形面积公式得： 12 0 220 1212 60113 cot1 cot3sin60 22222 F PF SbPF PFPF PF 12 | |PFPF A4 18.18.（20202020 全国卷全国卷 1 1 理）理）(9)已

16、知 1 F、 2 F为双曲线 C: 22 1xy的左、右焦点，点P在 C 上， 1 FP 2 F= 0 60，则P到x轴的距离为 (A) 3 2 (B) 6 2 (C) 3 (D) 6 【答案】 B 19.19.（20202020 四川文）四川文） （10）椭圆 22 22 10 xy a ab b的右焦点为F，其右准线与x轴的交 点为A在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是 （A） （0， 2 2 （B） （0， 1 2 （C）21，1） （D） 1 2 ，1） 【答案】D 【解析】由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F， 即F点到P点与A点

17、的距离相等 而|FA| 22 ab c cc |PF|ac,ac 于是 2 b c ac,ac 即acc2b2acc2 222 222 accac acacc 1 1 1 2 c a cc aa 或 又e(0,1) 故e 1,1 2 20.20.（20202020 四川文）四川文）(3)抛物线 2 8yx的焦点到准线的距离是 (A) 1 (B)2 (C)4 (D)8 【答案】C 【解析】由y22px8x知p4 又交点到准线的距离就是p 21.21.（20202020 湖北文）湖北文）9.若直线yxb与曲线 2 34yxx有公共点，则 b 的取值范 围是 A.1 2 2,12 2B.12,3 C

18、.-1,12 2D.1 2 2,3 22.22.（20202020 山东理）山东理）(7)由曲线 y= 2 x,y= 3 x围成的封闭图形面积为来源:W （A） 1 12 (B) 1 4 (C) 1 3 (D) 7 12 【答案】A 【解析】由题意得:所求封闭图形的面积为 123 0 x -x )dx=（ 111 1-1= 3412 ,故选 A。 【命题意图】本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积。 23.23.（20202020 安徽理）安徽理）5、双曲线方程为 22 21xy，则它的右焦点坐标为 A、 2 ,0 2 B、 5 ,0 2 C、 6 ,0 2 D、 3,0

19、【答案】C 【解析】双曲线的 22 1 1, 2 ab， 2 3 2 c ， 6 2 c ，所以右焦点为 6 ,0 2 . 【误区警示】本题考查双曲线的交点，把双曲线方程先转化为标准方程，然后利用 222 cab求出 c 即可得出交点坐标.但因方程不是标准形式，很多学生会误认为 2 1b 或 2 2b ，从而得出错误结论. 24.24.（20202020 湖北理数）湖北理数）9.若直线 y=x+b 与曲线 2 34yxx有公共点，则 b 的取值范 围是 A. 1,12 2 B. 1 2 2,12 2 C. 1 2 2,3 D. 12,3 【答案】C 【解析】曲线方程可化简为 22 (2)(3)

20、4(13)xyy，即表示圆心为（2，3）半径为 2 的半圆，依据数形结合，当直线yxb与此半圆相切时须满足圆心（2，3）到直线 y=x+b距离等于 2，解得12 212 2bb 、，因为是下半圆故可得12 2b （舍） ， 当直线过（0，3）时，解得 b=3,故12 23,b所以 C 正确. 25.25.（20202020 福建理）福建理） A B C D 【答案】C 【解析】经分析容易得出正确，故选 C。 【命题意图】本题属新题型，考查函数的相关知识。 26.26.（20202020 福建理）福建理）7若点 O 和点( 2,0)F 分别是双曲线 2 2 2 1(a0) a x y的中心和左焦

21、 点,点 P 为双曲线右支上的任意一点,则OP FP 的取值范围为 ( ) A3-2 3,) B32 3,) C 7 -,) 4 D 7 ,) 4 【答案】B 【解析】因为( 2,0)F 是已知双曲线的左焦点，所以 2 14a ，即 2 3a ，所以双曲线 方程为 2 2 1 3 x y，设点 P 00 (,)xy，则有 2 2 0 00 1(3) 3 x yx，解得 2 2 0 00 1(3) 3 x yx，因为 00 (2,)FPxy ， 00 (,)OPxy ，所以 2 000 (2)OP FPx xy = 00 (2)x x 2 0 1 3 x 2 0 0 4 21 3 x x，此二次

22、函数对应的抛 物线的对称轴为 0 3 4 x ，因为 0 3x ，所以当 0 3x 时，OP FP 取得最小值 4 32 31 3 32 3，故OP FP 的取值范围是32 3,)，选 B。 【命题意图】本题考查待定系数法求双曲线方程，考查平面向量的数量积的坐标运算、二 次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、 运算能力。 27.27.（20202020 福建理数）福建理数）2以抛物线 2 4yx的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( ) A 22 x +y +2x=0 B 22 x +y +x=0 C 22 x +y -x=0 D 22 x +y -

23、2x=0 【答案】D 【解析】因为已知抛物线的焦点坐标为（1，0） ，即所求圆的圆心，又圆过原点，所以圆的 半径为r=1，故所求圆的方程为 22 x-1) +y =1（，即 22 x -2x+y =0，选 D。 【命题意图】本题考查抛物线的几何性质以及圆的方程的求法，属基础题。 二、填空题二、填空题 1.1.（20202020 上海文）上海文）8.动点P到点(2,0)F的距离与它到直线20 x的距离相等，则P的 轨迹方程为 。 【答案】y28x 【解析】考查抛物线定义及标准方程 定义知P的轨迹是以(2,0)F为焦点的抛物线，p=2 所以其方程为y28x 2.2.（20202020 浙江理）浙江

24、理） （13）设抛物线 2 2(0)ypx p的焦点为F，点(0,2)A.若线段FA的 中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为_。 【解析】利用抛物线的定义结合题设条件可得出 p 的值为2，B 点坐标为（1 4 2 ，）所以 点 B 到抛物线准线的距离为 3 2 4 ，本题主要考察抛物线的定义及几何性质，属容易题 3.3.（20202020 全国卷全国卷 2 2 理）理） （15）已知抛物线 2 :2(0)C ypx p的准线为l，过(1,0)M且斜 率为3的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B若AMMB ，则p 【答案】2 【命题意图】本题主要考查抛物线的定义与性质. 【解析】过 B

25、 作 BE 垂直于准线l于 E，AMMB ，M 为中点， 1 BMAB 2 ，又 斜率为3， 0 BAE30， 1 BEAB 2 ，BMBE，M 为抛物线的焦点， p 2. 4.4.（20202020 全国卷全国卷 2 2 文）文）(15)已知抛物线 C：y2=2px（p0）的准线 l，过 M（1,0）且斜率 为的直线与 l 相交于 A，与 C 的一个交点为 B，若，则 p=_ 【解析解析】2】2：本题考查了抛物线的几何性质：本题考查了抛物线的几何性质 设直线设直线 ABAB： 33yx ，代入，代入 2 2ypx 得得 2 3( 62 )30 xp x ，又，又 AMMB ， 1 2 2 x

26、p ，解得，解得 2 4120pP ，解得，解得 2,6pp （舍去）（舍去） 5.（2020江西理）15.15.点点 00 ()A xy，在双曲线在双曲线 22 1 432 xy 的右支上，若点的右支上，若点A A到右焦点的距离等于到右焦点的距离等于 0 2x，则，则 0 x= = 【答案】 2 【解析解析】考查圆锥曲线的基本概念和第二定义的转化，读取考查圆锥曲线的基本概念和第二定义的转化，读取a=2.c=6,a=2.c=6, r e d 3rd, , 2 000 23()2 a xxx c 6.6.（20202020 安徽文）安徽文）(12)抛物线 2 8yx的焦点坐标是 答案：(2,0)

27、 【解析】抛物线 2 8yx，所以4p ，所以焦点(2,0). 【误区警示】本题考查抛物线的交点.部分学生因不会求p，或求出p后，误认为焦点 ( ,0)p，还有没有弄清楚焦点位置，从而得出错误结论. 7.7.（20202020 重庆文）重庆文）（13）已知过抛物线 2 4yx的焦点F的直线交该抛物线于A、B两 点，2AF ，则BF _ . 【答案】 2 解析：由抛物线的定义可知 1 2AFAAKF ABx 轴 故AF BF 2 8.8.（20202020 重庆理）重庆理）(14)已知以 F 为焦点的抛物线 2 4yx上的两点 A、B 满足3AFFB , 则弦 AB 的中点到准线的距离为_. 解

28、析：设 BF=m,由抛物线的定义知 mBBmAA 11 ,3 ABC中，AC=2m,AB=4m,3 AB k 直线 AB 方程为) 1(3xy 与抛物线方程联立消 y 得03103 2 xx 所以 AB 中点到准线距离为 3 8 1 3 5 1 2 21 xx 9.9.（20202020 北京文）北京文） （13）已知双曲线 22 22 1 xy ab 的离心率为 2，焦点与椭圆 22 1 259 xy 的 焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为 。 答案：(4,0) 30 xy 10.10.（20202020 北京理）北京理） （13）已知双曲线 22 22 1 xy ab 的离心

29、率为 2，焦点与椭圆 22 1 259 的 焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为 。 【答案】 （4，0） 30 xy 11.11.（20202020 天津文）天津文） （13）已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的一条渐近线方程是 3yx，它的一个焦点与抛物线 2 16yx的焦点相同。则双曲线的方程为 。 【答案】 22 1 412 xy 【解析】本题主要考查了双曲线和抛物线的几何性质及双曲线的标准方程，属于容易题。 由渐近线方程可知 3 b a 因为抛物线的焦点为（4，0） ，所以 c=4 又 222 cab 联立，解得 22 4,12ab，所以双曲线的方程

30、为 22 1 412 xy 【温馨提示】求圆锥曲线的标准方程通常利用待定洗漱法求解，注意双曲线中 c 最大。 12.12.（20202020 福建文数）福建文数）13 若双曲线 2 x 4 - 2 2 y b =1(b0)的渐近线方程式为 y= 1 x 2 ，则等 于 。 【答案】1 【解析】由题意知 1 22 b ，解得 b=1。 【命题意图】本小题考查双曲线的几何性质、待定系数法，属基础题。 13.13.（20202020 全国卷全国卷 1 1 文数）文数）(16)已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段 BF 的延长线交C于点D， 且BF2FD uu ruur ，则C的离心率为

31、 . 【答案】 3 3 【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程与几何性 质、第二定义、平面向量知识，考查了数形结合思 想、方程思想,本题凸显解析几何的特点：“数研究 形，形助数” ，利用几何性质可寻求到简化问题的捷 径. 【解析 1】如图， 22 |BFbca, 作 1 DDy轴于点 D1,则由BF2FD uu ruur ，得 1 |2 |3 OFBF DDBD ,所以 1 33 | 22 DDOFc, 即 3 2 D c x ,由椭圆的第二定义得 22 33 |() 22 acc FDea ca 又由| 2|BFFD,得 2 3 2, c aa a 3 3 e 【解析 2】设椭圆方程为第一标准

32、形式 22 22 1 xy ab ，设 22 ,D xy，F 分 BD 所成的比为 2， 22 22 3022333 0 ; 122212222 c ccc ybxbybb xxxc yy ，代入 22 22 91 1 44 cb ab ， 3 3 e 14.14.（20202020 全国卷全国卷 1 1 理）理） xO y B F 1 D D 15.15.（20202020 湖北文）湖北文）15.已知椭圆 2 2 :1 2 x cy的两焦点为 12 ,F F,点 00 (,)P xy满足 2 2 0 0 01 2 x y,则| 1 PF|+ 2 PF|的取值范围为_，直线 0 0 1 2 x

33、 x y y与椭圆 C 的公 共点个数_。 【答案】 2,2 2 ,0 【解析】依题意知，点 P 在椭圆内部.画出图形，由数形结合可得，当 P 在原点处时 12max (|)2 PFPF ，当 P 在椭圆顶点处时，取到 12max (|)PFPF 为 ( 21)( 21) =2 2 ，故范围为 2,2 2 .因为 00 (,)xy 在椭圆 2 2 1 2 x y 的内部，则直 线 0 0 1 2 x x y y 上的点（x, y）均在椭圆外，故此直线与椭圆不可能有交点，故交点数 为 0 个. 16.16.（20202020 江苏卷）江苏卷）6、在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线1 124 2

34、2 yx 上一点 M，点 M 的 横坐标是 3，则 M 到双曲线右焦点的距离是_ 【解析】考查双曲线的定义。 4 2 2 MF e d ，d为点 M 到右准线1x 的距离， d=2，MF=4。 三、解答题三、解答题 1.1.（20202020 上海文）上海文）2323（本题满分（本题满分 1818 分）本题共有分）本题共有 3 3 个小题，第个小题，第 1 1 小题满分小题满分 4 4 分，第分，第 2 2 小小 题满分题满分 6 6 分，第分，第 3 3 小题满分小题满分 8 8 分分. . 已知椭圆的方程为 22 22 1(0) xy ab ab ，(0, )Ab、(0,)Bb和( ,0)

35、Q a为的三个顶 点. （1）若点M满足 1 () 2 AMAQAB ，求点M的坐标； （2）设直线 11 :lyk xp交椭圆于C、D两点，交直线 22 :lyk x于点E.若 2 12 2 b kk a ，证明：E为CD的中点； （3）设点P在椭圆内且不在x轴上，如何构作过PQ中点F的直线l，使得l与椭圆 的两个交点 1 P、 2 P满足 12 PPPPPQ 12 PPPPPQ ？令10a ，5b ，点P的 坐标是（-8，-1） ，若椭圆上的点 1 P、 2 P满足 12 PPPPPQ ，求点 1 P、 2 P的坐标. 解析：(1) ( ,) 22 ab M； (2) 由方程组 1 22

36、22 1 yk xp xy ab ，消y得方程 22222222 11 ()2()0a kbxa k pxapb， 因为直线 11 :lyk xp交椭圆于C、D两点， 所以0，即 2222 1 0a kbp， 设C(x1,y1)、D(x2,y2)，CD中点坐标为(x0,y0)， 则 2 121 0 222 1 2 010 222 1 2 xxa k p x a kb b p yk xp a kb ， 由方程组 1 2 yk xp yk x ，消y得方程(k2k1)xp， 又因为 2 2 2 1 b k a k ，所以 2 1 0 222 211 2 20 222 1 a k pp xx kka

37、 kb b p yk xy a kb ， 故E为CD的中点； (3) 因为点P在椭圆 内且不在x轴上，所以点F在椭圆 内，可以求得直线OF的斜率 k2，由 12 PPPPPQ 知F为P1P2的中点，根据(2)可得直线l的斜率 2 1 2 2 b k a k ，从而得 直线l的方程 1 (1,) 2 F，直线OF的斜率 2 1 2 k ，直线l的斜率 2 1 2 2 1 2 b k a k ， 解方程组 22 1 1 2 1 10025 yx xy ，消y：x22x480，解得P1(6,4)、P2(8,3) 2.2.（20202020 湖南文）湖南文）19.（本小题满分 13 分） 为了考察冰川

38、的融化状况，一支科考队在某冰川山上相距 8Km 的 A、B 两点各建一个考察基 地，视冰川面为平面形，以过 A、B 两点的直线为 x 轴，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴建立 平面直角坐标系（图 4） 。考察范围到 A、B 两点的距离之和不超过 10Km 的区域。 （I）求考察区域边界曲线的方程： （II）如图 4 所示，设线段 12 PP 是冰川的部分边界线（不考虑其他边界） ，当冰川融 化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动 0.2km，以 后每年移动的距离为前一年的 2 倍。问：经过多长时间，点 A 恰好在冰川边界 线上？ 3.3.（20202020 浙江理）浙江理

39、）(21) （本题满分 15 分）已知m1，直线 2 :0 2 m l xmy，椭圆 2 2 2 :1 x Cy m ， 1,2 F F分别为椭圆C的左、右焦点. （）当直线l过右焦点 2 F时，求直线l的方程； （）设直线l与椭圆C交于,A B两点， 12 AFFV， 12 BFFV的重心分别为,G H.若原点O在以线段GH为直径的圆 内，求实数m的取值范围. 解析：本题主要考察椭圆的几何性质，直线与椭圆，点与圆的位置关系等基础知识，同时 考察解析几何的基本思想方法和综合解题能力。 （）解：因为直线: l 2 0 2 m xmy经过 2 2( 1,0)Fm ，所以 2 2 1 2 m m ,

40、 得 2 2m ， 又因为1m ，所以2m ， 故直线l的方程为 2 2 20 2 xy。 （）解：设 1122 ( ,), (,)A x yB xy。 由 2 2 2 2 2 1 m xmy x y m ，消去x得 2 2 210 4 m ymy 则由 2 22 8(1)80 4 m mm ，知 2 8m ， 且有 2 1212 1 , 282 mm yyy y A。 由于 12 (,0),( ,0),FcF c， 故O为 12 FF的中点， 由2,2AGGO BHHO ， 可知 1121 (,), (,), 3333 xyxy Gh 22 2 1212 ()() 99 xxyy GH 设M

41、是GH的中点，则 1212 (,) 66 xxyy M ， 由题意可知2,MOGH 即 22 22 12121212 ()() 4()() 6699 xxyyxxyy 即 1212 0 x xy y 而 22 12121212 ()() 22 mm x xy ymymyy y 2 2 1 (1 () 82 m m） 所以 2 1 0 82 m 即 2 4m 又因为1m 且0 所以12m。 所以m的取值范围是(1,2)。 4.4.（20202020 全国卷全国卷 2 2 理）理） （21） （本小题满分 12 分） 己知斜率为 1 的直线l与双曲线C： 22 22 100 xy ab ab ，相

42、交于B、D两点，且 BD的中点为1,3M （）求C的离心率； （）设C的右顶点为A，右焦点为F，17DF BF A，证明：过A、B、D三点的圆 与x轴相切 【命题意图】本题主要考查双曲线的方程及性质，考查直线与圆的关系，既考查考生的基 础知识掌握情况，又可以考查综合推理的能力. 【参考答案】 【点评】高考中的解析几何问题一般为综合性较强的题目，命题者将好多考点以圆锥曲线 为背景来考查，如向量问题、三角形问题、函数问题等等，试题的难度相对比较稳定. 5.5.（20202020 陕西文）陕西文）20.（本小题满分 13 分） （）求椭圆 C 的方程； ()设 n 为过原点的直线，l 是与 n 垂直

43、相交与点 P，与椭圆相交 于 A,B 两点的直线 立？若存在，求出直 线 l 的方程；并说出；若不存在，请说明理由。 6.6.（20202020 辽宁文）辽宁文） （20） （本小题满分 12 分） 设 1 F， 2 F分别为椭圆 22 22 :1 xy C ab (0)ab的左、右焦点，过 2 F的直线l与椭 圆C 相交于A,B两点，直线l的倾斜角为60， 1 F到直线l的距离为2 3. （）求椭圆C的焦距； （）如果 22 2AFF B ,求椭圆C的方程. 解：（）设焦距为2c，由已知可得 1 F到直线l的距离32 3,2.cc故 所以椭圆C的焦距为 4. （）设 112212 ( ,),

44、 (,),0,0,A x yB xyyy由题意知直线l的方程为3(2).yx 联立 22224 22 22 3(2), (3)4 330. 1 yx abyb yb xy ab 得 解得 22 12 2222 3(22 )3(22 ) ,. 33 baba yy abab 因为 2212 2,2.AFF Byy 所以 即 22 2222 3(22 )3(22 ) 2. 33 baba abab 得 22 3.4,5.aabb而所以 故椭圆C的方程为 22 1. 95 xy 7.7.（20202020 辽宁理）辽宁理）(20)（本小题满分 12 分） 设椭圆 C： 22 22 1(0) xy a

45、b ab 的左焦点为 F，过点 F 的直线与椭圆 C 相交于 A，B 两点，直线 l 的倾斜角为 60o,2AFFB . (I)求椭圆 C 的离心率； (II)如果|AB|= 15 4 ，求椭圆 C 的方程. 解： 设 1122 ( ,), (,)A x yB xy，由题意知 1 y0， 2 y0. （）直线 l 的方程为 3()yxc，其中 22 cab. 联立 22 22 3(), 1 yxc xy ab 得 22224 (3)2 330abyb cyb 解得 22 12 2222 3(2 )3(2 ) , 33 b cab ca yy abab 因为2AFFB ，所以 12 2yy. 即

46、 22 2222 3(2 )3(2 ) 2 33 b cab ca abab 得离心率 2 3 c e a . 6 分 （）因为 21 1 1 3 AByy，所以 2 22 24 315 343 ab ab . 由 2 3 c a 得 5 3 ba.所以 515 44 a ，得 a=3，5b . 椭圆 C 的方程为 22 1 95 xy . 12 分 8.8.（20202020 全国卷全国卷 2 2 文）文） （22） （本小题满分 12 分） 已知斜率为 1 的直线 1 与双曲线 C： 22 22 1(0,0) xy ab ab 相交于 B、D 两点，且 BD 的 中点为 M（1.3） （）

47、 （）求 C 的离心率； （） （）设 C 的右顶点为 A，右焦点为 F，|DF|BF|=17 证明：过 A、B、D 三点的圆 与 x 轴相切。 【解析解析】本题考查了圆锥曲线、直线与圆的知识，考查学生运用所学知识解决问题的能力。本题考查了圆锥曲线、直线与圆的知识，考查学生运用所学知识解决问题的能力。 （1 1）由直线过点（）由直线过点（1 1，3 3）及斜率可得直线方程，直线与双曲线交于）及斜率可得直线方程，直线与双曲线交于 BDBD 两点的中点为两点的中点为 （1 1，3 3） ，可利用直线与双曲线消元后根据中点坐标公式找出，可利用直线与双曲线消元后根据中点坐标公式找出 A,BA,B 的关

48、系式即求得离心率。的关系式即求得离心率。 （2 2）利用离心率将条件）利用离心率将条件|FA|FB|=17|FA|FB|=17，用含，用含 A A 的代数式表示，即可求得的代数式表示，即可求得 A A，则，则 A A 点坐标可点坐标可 得（得（1 1，0 0） ，由于，由于 A A 在在 X X 轴上所以，只要证明轴上所以，只要证明 2AM=BD2AM=BD 即证得。即证得。 （20202020 江西理数）江西理数）21. （本小题满分 12 分） 设椭圆 22 1 22 :1(0) xy Cab ab ，抛物线 22 2: Cxbyb 。 （1）若 2 C经过 1 C的两个焦点，求 1 C的

49、离心率； （2）设 A（0，b） ， 5 3 3 4 Q ，,又 M、N 为 1 C与 2 C不在 y 轴上的两个交点，若AMN 的垂心为 3 4 Bb 0，且QMN 的重心在 2 C上，求椭圆 1 C和抛物线 2 C的方程。 【解析】考查椭圆和抛物线的定义、基本量，通过交点三角形来确认方程。 （1）由已知椭圆焦点(c,0)在抛物线上，可得： 22 cb，由 2 2222 2 12 2, 22 c abcce a 有。 (2)由题设可知 M、N 关于 y 轴对称，设 11111 (,),( ,)(0)Mx yN x yx,由AMN的垂心为 B，有 2 111 3 0()()0 4 BM ANx

50、yb yb 。 由点 11 ( ,)N x y在抛物线上， 22 11 xbyb，解得： 11 () 4 b yyb 或舍去 故 1 555 ,(,),(,) 22424 bb xb MbNb，得QMN重心坐标( 3, ) 4 b . 由重心在抛物线上得： 2 2 3,=2 4 b bb所以， 11 (5,),( 5,) 22 MN，又因为 M、N 在椭圆上得： 2 16 3 a ，椭圆方程为 22 16 3 1 4 xy ，抛物线方程为 2 24xy。 9.9.（20202020 安徽文数）安徽文数）17、 （本小题满分 12 分） 椭圆E经过点2,3A，对称轴为坐标轴， 焦点 12 ,F

51、F在x轴上，离心率 1 2 e 。 ()求椭圆E的方程； ()求 12 F AF的角平分线所在直线的方程。 【命题意图】本题考查椭圆的定义及标准方程，椭圆的简单几 何性质，直线的点斜式方程与一般方程，点到直线的距离公式 等基础知识；考查解析几何的基本思想、综合运算能力. 【解题指导】 （1）设椭圆方程为 22 22 1 xy ab ，把点2,3A代入椭圆方程，把离心率 1 2 e 用, a c表示，再根据 222 abc，求出 22 ,a b，得椭圆方程；（2）可以设直线l上 任一点坐标为( , )x y，根据角平分线上的点到角两边距离相等得 |346| |2| 5 xy x . 解：（）设椭圆 E 的方程为 22 22 22 2222 22 22 22 121 212 1. 11 ,3,1. 2243 13 1,2, 1. 1612 3 ()( 2,0),(2,0),(2), 4 3460.2. xy ab cxy ebacc acc AcE cc xy FAFx xyAFxEAF 由得 将（2，3）代入，有解得：椭圆的方程为 由（）知F所以直线的方程为y= 即直线的方程为由椭圆的图形知，F的角平分线所在直线的斜率为正 12 12 346 2 5 346510,280, xy AFx xyxxy AF 数。 设P（x, y）为F的角平分线所在直线上任一