2020高中数学 1.2.1平面的基本性质及推论1教案 新人教B版必修2（通用）

1、平面的基本性质和推论一、教学内容：1.平面的基本性质和推论2.空间中的平行关系二。教学目的1.理解平面的基本性质和推论，用这些公理和推论解决相关问题，用集合语言描述点、线、平面之间的关系和图形的性质。2.在已学习的作为推理基础的一些公理和定理的基础上，通过直觉感知、运算确认和思辨论证，得出了空间中线与平面平行性的判断定理和性质定理。我们可以用得到的结论来证明一些简单的空间位置关系命题。三。教学的重点和难点【重点】平面的基本性质和推论及其应用；线平行度和平行线的传递性及平面平行度的定义和判定。【难点】自然语言与数学图形语言和符号语言的相互转化和应用；如何从平行性公理和其他基本性质出发，推导出空间

2、直线、直线、直线、平面和平行平面的判断和性质定理，并掌握这些定理的应用。四.知识分析(一)平面的基本性质和推论1.平面的基本性质(1)关于公理1(1)三种数学语言：单词和短语：如果直线上的两点在一个平面上，那么直线上的所有点都在这个平面上。图形语言表达：如图1所示图1符号语言表达：内容分析：公理1反映了直线和平面之间的位置关系。“直线上的两点在平面上”是公理的一个必要条件，并得出“直线上的所有点都在平面上”的结论。这个结论阐述了两个观点，一个是直线在平面上，另一个是直线上的所有点都在平面上。公理(1)的作用：不仅可以判断直线是否在平面上，而且可以用直线检验平面。(2)关于公理2公理2的三个数学

3、表达式：通过不在同一条直线上的三个点，只有一个平面。图形语言表达：如图2所示图2符号语言表达：A，B和C共线，只有一个平面，这使得。内容分析：公理2的条件是“通过三个不在同一直线上的点”，结论是“只有一个平面”。条件中的“三点”是条件的支柱，不容忽视，但附加条件“不在同一条直线上”很容易被遗忘。如果它被放弃，结论将是站不住脚的，所以它绝不能被遗忘。同时，应该认识到，在同一条直线上，可能有无数的平面穿过一个点、两个点或三个点；通过不在同一条直线上的四个点时，可能没有一个平面，所以我们应该充分注意“三个点不在同一条直线上”条件的重要性。公理2中“只有一个”的含义应该被准确理解。在这里，“拥有”意味

4、着这个数字存在。“只有一个”意味着图形是唯一的，这个公理强调存在和唯一性。因此，“你和只有一个”必须完全使用，“你和只有一个”不能被“你和只有一个”代替，否则就没有存在的表达。“确定一个平面”中的“确定”一词与“有且仅有”同义，它也指存在和唯一性。这个术语将来会经常出现，所以我们应该好好理解它。公理2的功能：第一个功能是确定平面；第二个函数是它可以用来证明共面点和共线的问题。(3)关于公理3(1)公理3三数学语言表达式：单词和短语：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们只有一条穿过该点的公共直线。图形语言表达：如图3所示。图3符号语言表达：公理3的分析：公理3反映了平面之间的位置关系。简而

5、言之，公理2的条件是“两个边共享一个点”，结论是“两个边共享一条线，通过这个点后，这条线是唯一的”。对于这条公理，应该强调的是，对于不重合的两个平面，只要它们有公共点，它们就是相交的位置关系，并且交点是一条直线。公理3的功能：首先，它是判断两个平面是否相交的基础。只要这两个平面有一个公共点，就可以判断这两个平面必须与穿过该点的直线相交；其次，可以判断一个点在一条直线上，一个点是两个平面的公共点，一条线是这两个平面的公共交线，那么这个点在交线上。2.平面基本性质的推论推论1:只有一个平面穿过一条直线，一个点在直线之外。推论2:穿过两条相交的线后，只有一个平面。推论3:通过两条平行线，只有一个平面

6、。请考虑一下：如何用图形语言表达这三个推论？如何表达三个推论的符号语言？这三个推论的作用是什么？推论证明2推论2:穿过两条相交的线后，只有一个平面。已知：直线验证：直线A和直线b只有一个平面【证明】(1)如图4所示，取直线A和B上不同于点A的点C和B，我们可以得到不在同一条直线上的三个点A、B和C。只有一个平面穿过这三个点(公理2)。图4再次(公理1)平面是穿过相交线a和b的平面。(2)如果有另一个平面穿过直线A和B，那么三个点A、B和C必须都在平面中，所以有两个平面和穿过三个点A、B和C，它们不在一条直线上，这与公理3相矛盾。因此，只有一个平面穿过直线a和B.总而言之，直线a和b只有一个平面

7、。3.使用集合语言来描述点、线、面之间的关系以及图形的属性(1)点与平面之间的位置关系：点a在平面中，表示为a；点A不在内，记录为：(2)直线与平面的位置关系：直线m在平面中，记为：直线m不在平面中，记为；(3)平面和平面在直线A上的交点记为：(4)直线m和n在点a相交，该点记为。4.学习时应注意的几个问题学习这一课时，我们应该注意正确的绘画，这有利于培养我们的空间想象力。在平面几何中，辅助线通常被绘制为虚线，而在立体几何中，不可见的线通常被绘制为虚线，这与它们是否是辅助线无关。在平时的训练中，我们要养成多做多画的习惯，并且要掌握空间图形直接绘制的绘制方法斜二次元绘制法。应注意几何语言的训练和

8、写作，几何语言中关于公理和推理的叙述应尽可能多地记忆。5.几个常见问题的解决方案(1)证明直线在平面上的方法：证明直线在平面上有两点。(2)证明直线共面的方法：首先证明两条直线定义一个平面，然后证明其他直线都在这个平面上。(3)证明一个点在一条直线上的方法：首先，确定这条直线与哪两个平面相交，然后证明这个点是这两个平面的公共点。(二)平面上的平行关系1.平行直线(1)空间中两条直线之间的位置关系交点：在同一平面上，只有一个公共点；平行：在同一平面上，没有公共点。(2)初中几何中的平行公理：在直线之外的一点上，只有一条直线与这条直线平行。解释这个结论在太空中仍然有效。(3)公理4(空间平行线的传

9、递性):两条平行于同一条直线的直线彼此平行，也就是说，如果直线a /b，c /b，那么a /c.【说明】这条公理是判断两条线平行的一个重要方法：找出分别与前两条线平行的第三条线。2.等距定理等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边平行且方向相同，那么这两个角是相等的。推论：如果两条相交的线和另外两条相交的线是平行的，那么锐角(或称钻机(2)如果只改变为“一边方向相同，另一边方向相反”，则两个角度是互补的。这个定理和推论是证明等角问题的常用方法。3.空间图形的翻译如果空间图形F的所有点在相同的方向上向F的位置移动相同的距离，则图形F在空间中进行了平移。注：平移后的图形与原图形一致，即对应角度与

10、对应两点之间的距离保持不变。图形翻译具有以下属性：(1)翻译前后的两个数字是一致的；(2)平移前后对应角度不变；(3)平移前后两个对应点之间的距离不变；(4)平移前后两条平行线之间的位置关系不变；(5)两条垂直线之间的位置关系在平移前后不变。4.证明空间中两条直线平行的方法(1)定义的使用要证明两条直线在定义上是平行的，需要证明两件事：第一，两条直线在同一平面上；第二，两条线之间没有共同点。(2)使用公理4要证明两条直线与公理4平行，只需要证明一件事：找到直线C，这样a /c和b/c将从公理4得到a /b。5.这条直线平行于平面(1)直线和平面之间有三种位置关系，可以用公共点的个数来概括如下(

11、2)直线与平面平行的判定定理：如果一条不在平面上的直线平行于该平面上的一条直线，那么这条直线平行于该平面。符号表示为：(1)这个定理通常被表述为：“如果直线是平行的，那么直线和平面是平行的。”()用该定理判断直线A与平面的平行度时，必须满足三个条件：(1)直线a不在平面中，即.直线b在平面上，即.两条直线a和b平行，即a /b.这三个条件是不可缺少的。(3)线平面平行性的性质定理：如果一条直线平行于一个平面，并且穿过该直线的平面与该平面相交，则该直线与两个平面的交点是平行的。符号表示：如果，则a /b，即“如果线是平行的，则线是平行的”。描述A.这个定理可以作为直线和直线平行性的判断定理B.定

12、理中有三个条件：(1)直线a平行于平面，即a/；平面和相交，即=b；直线a在平面上，即。这三者是不可或缺的。(4)线平面平行性定理的应用应用直线与平面平行性的判定定理证明直线与平面平行性，关键是找出平面内和平面外相互平行的直线。应用线平面平行性定理解决问题的关键是将已知条件作为辅助平面，然后将已知的线平面平行性转化为直线和相交直线的平行性。6.两个平面之间的位置关系同一平面上两条直线的位置关系相似；可以从有无共同点中区分出来：如果两个平面有三个不共线的公共点，那么公理3表明这两个平面必须重合；如果两个平面有一个公共点，那么公理2表明这两个平面相交于一条穿过该点的直线；如果两个平面之间没有公共点

13、，则这两个平面相互平行。由此可见，两个不重合平面之间的位置关系：(1)平行没有公共点；(2)交点至少有一个公共点(或公共直线)。7.面对面平行的判断定理：如果一个平面上的两条相交线平行于另一个平面，那么这两个平面是平行的。已知：，(如图所示)验证：证明：使用反证的方法假设、有同样的方式从公理4知道是矛盾的。1注：(1)这个定理用符号表示为(2)该定理应用的关键是证明平面是平行的，并转化为线平面平行，即在其中找到两条相交的线，两条线都是相互平行的。(3)注：(1)该定理可作为直线平行度的判定定理。(2)面对面平行的特性包括：这个性质也是判断直线和平面平行性的一种方法。夹在两个平行平面之间的两条平

14、行线是相等的。对于三个平面这是平面平行的传递性。9.两个平面之间的平行性问题常常转化为线与平面之间的平行性，而线与平面之间的平行性又可以转化为线与线之间的平行性。因此，我们应该重视转化思想的应用。两个平面平行的性质定理是证明空间中两条直线平行的重要依据，我们应该掌握好。典型示例例1。将下列陈述符号化并画一个图。(1)三个平面相交于点p，并且平面相交于点PA、点PB和点PC。(2)平面腹与平面腹相交于腹，平面腹与平面腹相交于腹。(3)直线A和B相交于平面上的点M。分析：(1)符号语言表征：，图形表示：如图所示(2)符号语言表征：平面ABD平面BDC=BD，平面模数转换器=交流图形表示：如图所示(

15、3)象征性语言是指：图形表示：(如下三幅图所示)。点评：理解数学符号的含义，学习和养成用符号语言和图形语言表达叙述句的习惯，会给解决问题带来很多方便。例2。一条直线与三条平行线相交，证明这四条直线共面。分辨率：已知：验证：直线共面。方法1:确定一个平面,、因此同样，确定一个平面也可以用同样的方法证明而且，穿过两条相交的线，只有一个平面，所以它与也就是说，直线是共面的。方法2:从方法1开始，共面，也就是说，在由，同样的原因可以在某个平面上得到证明并且只能确定一个平面、共面评论：首先，将知识和验证改写成符号语言。为了证明这些线是共面的，一种方法是首先确定一个平面，这个平面由公理1证明并且也在这个平

16、面上；另一种方法是首先确定一个平面，然后确定另一个平面，然后证明两个平面重合。例3。已知在平面外，其三条边的直线分别在P、Q和R点与平面相交。验证：P、Q和R在同一条直线上。分析：如图所示，是平面和平面的交点，,和中航飞机，p，q和r共线。注释：要证明P、Q和R共线，只需证明P、Q和R在平面和平面ABC的交点上。你可以先确定与任意两点相交的直线，然后证明第三点也在这条直线上。例4。如图所示，两个三角形的对应顶点的连线ABC和相交于同一点o，并且(1)验证：(2)获得的值。分析：利用平面几何知识可以证明两条直线是平行的；利用等角定理，我们可以证明两个角是相等的，从而证明两个三角形是相似的。(1)在o点，以及同样地，(2)，与，相反类似地因此，和注释：判断或证明线条平行度的常用方法有：(1)证明两条直线在平面几何中平行的方法；(2)使用公理4(如果Ac，cB，则AB)；(3)利用线与平面的平行性定理(如果是这样，那么AB)；(4)利用面对面平行的性质定理(如果，则ab)。例5。在已知的四面体ABCD中，m和n分别是和的重心。验证