二阶系统PPT课件

1、.,1,33 二阶系统分析,由二阶微分方程描述的系统，称为二阶系统，许多高阶系统的在一定的条件下，常常近似地作为二阶系统来研究。 一、二阶系统地数学模型 最简单的二阶微分方程的标准形式是：,其闭环特征方程为：,方程的特征根为：,经过拉氏变换可得：,.,2,由方程的特征根说明，随着阻尼比的不同，二阶系统的特征根（闭环极点）也不同，如下所示：,当01的情况,分析：,系统闭环特征方程有两个不相等的实根,特征方程为：,.,6,当输入信号为单位阶跃时，系统的单位阶跃响应为：,稳态分量为1，动态分量为两项指数函数，且随着时间t的增长而衰减为零，最终输出稳态值为1，所以系统不存在稳态误差。其响应曲线如下图所

2、示：,系统有两个衰减指数项， 当1时，后一项指数 比前一项衰减的快，可以 忽略，近似为一阶系统,.,7,对于过阻尼二阶系统，无超调量，无稳态误差只着重讨论调节时间，下图是取对变量ts/T1及T1/T2经机器结算后绘制成的曲线：,由曲线看出，当T1T2时，即的临界阻尼情况ts 4.75 T1 ；当T14T2，即.25时， ts 3.3T1；当T14T2，即.25时， ts 3T1,结论：当一个系统的一个负实根比另一个大四倍以上，即两个惯性环节时间常数相差四倍以上，则系统可以等效为一阶系统，其时间调节时间可以近似估算为3 T1。,.,8,2、临界阻尼=1的情况,这时系统具有两个相等的负实根，s1,

3、2=-Wn,所以,则可得临界阻尼下二阶系统的单位阶跃响应为：,3、零阻尼=0的情况,这时系统极点为，s1,2=jWn,.,9,4、欠阻尼01的情况,系统具有一对实部为负的共轭复根，时间响应呈衰减振荡特性，故又称为振荡环节。一对共轭复根为：,阶跃响应为：,.,10,或者,系统的稳态分量为1，动态分量是一个随时间t的增长而衰减的振荡过程。振荡角频率Wd取决于阻尼比及无阻尼自然频率Wn.单位阶跃响应如右图所示：,极点的负实部 决定了指数衰减的快慢，虚部 是振荡频率。称 为阻尼振荡角频率。,.,11,当0.707，以nt为横坐标时的单位阶跃响应曲线如下：,由曲线看出，实际响应曲线比指数曲线的包络线收敛

4、速度要快，因此可用包络线来估算调节时间。,t=0:0.1:5 x=sqrt(1-0.992) h1=1+exp(-0.99*t)/x h2=1-exp(-0.99*t)/x h3=1-(exp(-0.99*t)/x).*sin(x*t+acos(0.99) plot(t,h1,t,h2,t,h3),grid,.,12,二阶系统单位阶跃响应的通用曲线如下，可以利用它来分析系统系统结构参数、Wn对阶跃响应性能的影响。,1,2,由图可以看出，对欠阻尼系统，当0.50.8时，其暂态响应能更快的达到稳定值，具有较小的调节时间。在无振荡的系统中，临界阻尼比过阻尼系统的相应时间和调整时间都短。过阻尼系统的响

5、应速度最迟缓。,.,13,阻尼比与超调量%的关系曲线如下：,.,14,平稳性：,由曲线看出，阻尼比越大，超调量越小，相应的振荡倾向越弱，平稳性越好，反之，则振荡越强，平稳性越差。当0时，零阻尼响应变成具有频率为Wn的不衰减（等幅）振荡，表达式如下：,由阻尼比和超调量的关系曲线可以看出， 在一定的阻尼比下，Wn越大，振荡频率Wd也越高，系统响应的平稳性越差。,结论：总的来说，要使系统阶跃响应的平稳性好，就要求阻尼比大，自然频率Wn小。,.,15,快速性：,由曲线可以看出，阻尼比过大，系统响应迟钝，调节时间Ts长，快速性差；过小，虽然响应的起始速度较快，但因为振荡强烈，衰减缓慢，所以调节时间也长，

6、快速性差。 由误差带的调节时间与阻尼比关系曲线可以看出当0.707时，调节时间最短，即快速性最好。在二阶系统的单位阶跃响应中，自变量总是与参数T（TWn-1）结合成t/T出现，h(t)好像是以T作为时间t的计量单位，因此T具有时间尺度的性质，如果T增大几倍，则h(t)就在横坐标方向展宽几倍，反之则压缩几倍。 结论： 对于值相同的系统来说，过渡过程经历的时间长短就正比于时间常数T，反比于Wn。,.,16,稳态精度：,系统的单位阶跃响应的稳态分量为1，动态分量均为衰减的指数函数，因此，当时间t趋于无穷时，动态分量衰减为零，因此，二阶系统的单位阶跃响应不存在稳态误差。,.,17,三、欠阻尼二阶系统单

7、位阶跃响应性能指标,1、上升时间tr 单位阶跃响应曲线第一次达到稳态值的时间就是上升时间，此时，h(tr)=1,即得：,解得,结论：当阻尼比一定时，欲使上升时间tr较短，必须要求系统具有较高得无阻尼自然频率Wn。,.,18,2、峰值时间tp,响应曲线到达第一次峰值所需要得时间，将系统的单位阶跃响应h(t)对时间求导，并令其为零，可得到峰值时间。,所以有,由于tp定义为第一次到达峰值的时间，所以应该取：,.,19,3、超调量%,将t=tp代入代入系统阶跃响应的表达式，且h()=1,所以,.,20,4、调节时间ts,由于通常是根据最大超调量的要求来确定的，所以ts主要由wn来确定。,由分析知，当0

8、.40.8时，调节时间和超调量都较小。工程上常取0.707作为设计依据，称为最佳阻尼比。,.,21,5、振荡次数N,由定义可知：,若已知，且,则振荡次数：,.,22,eg32: 位置随动系统的开环传递函数如下，当给定位置为单位阶跃时，试计算放大器增益Ka200时，输出位置响应特性的性能指标：峰值时间、调节时间和超调量。如果将放大器增益增大到Ka1500或减小到Ka13.5，那么响应的动态性能有何影响？,解：系统属于单位负反馈，所以它的闭环传递函数为：,将K200代入得：,对照标准形式得：,故峰值时间：,调节时间：,超调量：,.,23,由标准形式,即当Ka增大时，Wn增大， 减小，调节时间没有变

9、化，峰值时间减小（即提前），超调量增大。,系统成为过阻尼系统，可以看成两个时间常数不同得惯性环节得串连，没有峰值时间和超调量，而调节时间主要取决于大时间常数得一阶系统，得到： ts=3T1=1.46s ,过程比较缓慢。,Ka在取不同值时，系统的阶跃响应曲线如下所示：,.,24,.,25,如何利用simulink分析系统？ 首先打开silulink设置参数。,.,26,然后点击仿真，察看仿真结果,.,27, 化为标准形式, 即有 2n=1/Tm=5, n2=K/Tm=25, 解得 n=5, =0.5,例 已知图中Tm=0.2，K=5，求系统单位阶跃响应指标。,.,28,设单位反馈的二阶系统的单位

10、阶跃响应曲线如图所示，试确定其开环传递函数。,解：图示为一欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线。由图中给出的阶跃响应性能指标，先确定二阶系统参数，再求传递函数。,0,t(s),1,1.3,0.1,c(t),例,.,29,四、二阶系统响应性能的改善措施,系统响应性能对结构参数的要求往往时矛盾的，加大开环增益会提高响应速度，但阻尼偏小使振荡加剧；反之，减小增益能提高系统响应的平稳性，但过渡过程时间又加长，因此，需要通过其他控制方式，改变系统的动态性能和稳态性能。,.,30,0,t1误差信号为正，产生正向修正作用，以使误差减小，但因系统阻尼系数小，正向速度大，造成响应出现正向超调。 t1,t2误差信号为

11、负，产生反向修正作用，但开始反向修正作用不够大，经过一段时间才使正向速度为零，此时输出达到最大值。 t2,t3误差信号为负，此时反向修正作用大，使输出返回过程中又穿过稳态值，出现反向超调。 t3,t4误差信号为正，产生正向修正作用，但开始正向修正作用不够大，经过一段时间才使反向速度为零，此时输出达到反向最大值。,二阶系统超调产生过程:,.,31,二阶系统超调产生原因: 0,t1 正向修正作用太大，特别在靠近t1 点时。 t1,t2 反向修正作用不足。 减小二阶系统超调的思路: 0,t1 减小正向修正作用。附加与原误差信号相反的信号。 t1,t2 加大反向修正作用。附加与原误差信号同向的信号。

12、t2,t3减小反向修正作用。附加与原误差信号相反的信号。 t3,t4 加大正向修正作用。附加与原误差信号同向的信号。 即在0,t2 内附加一个负信号，在t2,t4内附加一个正信号。减去输出的微分或加上误差的微分都具有这种效果。,.,32,1、比例微分控制 比例微分控制的二阶系统如下所示，E（s）为误差信号，Td为微分时间常数。它是一种早期控制，能在实际超调之前就产生一个适当的修正作用。系统的,系统的开环传递函数为：,.,33,闭环传递函数为：,Tds的设置等效于阻尼比加大，从而使超调减弱，改善了系统的平稳性。基于在原系统阻尼比很小的情况下，可实现等效阻尼比等于1，完全消除振荡。,eg3-3:

13、如下图所示的单位负反馈系统，已知系统在单位斜坡输入时，稳态误差为ess1/k，若要求ess0.2， d0.5，试确定K与Td的值。,.,34,解：由ess1/k 0.2，取K5，令Td0，可得无零点二阶系统的闭环特征方程：,S2+0.6s+3=0,因此得： 0.173，Wn=1.732,当Td0，由d0.5TdWn20.5,可以求出Td=0.38s,此时系统为有零点二阶系统。 系统的时间响应曲线如下所示：,.,35,未加入比例微分控制的系统阶跃响应曲线,加入比例微分控制的系统阶跃响应曲线,.,36,闭环传递函数：,输出量拉氏变换：,其中,输出响应为：,式中,加入比例微分控制后的参数计算,.,37,部分性能指标：,已知输出响应,取误差带 =0.05,由上式解得,.,38,2、测速反馈控制,将输出量的导数反馈到系统输入端，与误差信号相叠加，以增大系统阻尼，改善系统动态性能的控制称为测速反馈控制，如下图所示：,系统的开环传递函数为：,系统的开环传递函数为：,.,39,eg3-4: 设控制系统如下图所示，试确