石油大学,石油工程,油藏工程第四章 第二节水驱特征曲线分析

1、第二节水驱特征曲线分析油田开发实践和广泛深入的开发理论表明，水驱开发油田，可以获得较高的最终采收率，并且由于水源丰富，价格低廉，因而其作为一种有效的驱替流体，在世界各油田开采中广泛使用。但是注水或是天然水侵油田的开发，在无水采油期结束后，油田将长期处于含水期的开采，且采水率将逐步上升，这是影响油田稳产的重要因素。为此，搞清注水开发油田含水上升规律，制订不同生产阶段的切实可行的控制含水增长的措施，是开发水驱油田的一项经常性且极为重要的工作。一、水驱油田含水采油期的划分与含水上升规律不同油水粘度比的油田水驱特征有显著的差异。低粘度油田，油水粘度比低，开发初期含水上升缓慢，在含水率与采出程度的关系曲

2、线上呈凹形曲线，主要储量在中低含水期采出。这是由水驱油非活塞性所决定的，储层的润湿性和非均匀性更加剧了这种差异。我国主要油田原油属石蜡基原油，粘度普遍较高，这就形成了一个重要特点。高含水期是注水开发油田的一个重要阶段，在特高含水阶段任有较多储量可供开采。下面就含水划分标准作一介绍：（1） 无水采油期：含水率2。（2） 低含水采油期：含水率220。 （3） 中含水采油期：含水率2060。（4） 高含水采油期：含水率6090。（5） 特高含水采油期：含水率 90。在水驱油田的动态分析和预测工作中，人们常常发现，对于已经进入含水期的油田，若将有关的两个动态参数在半对数坐标纸上作图，可以得到一条比较明

3、显的直线关系，而应用这一直线关系，不仅可以对油田的未来动态进行预测，而且还可以对油田可采储量和最终采收率作出有效的估计。图4-7表示的是我国某油田注水开发的一条水驱曲线。这条直线一般从中含水期（含水率在20）即可出现，而到高含水期仍保持不变。在油田的注采井网，注采强度保持不变时，直线性也始终保持不变；当注采方式变化后，则出现拐点，但直线关系仍然成立。如图4-7中的含水达47左右时，直线出现拐点，其原因在于此时采取了一定的调整措施。发现这一规律十分重要，因为有了这样的规律就可以把油田出水规律正确地表达出来。油水产量之间的这种单对数关系在国内外许多油田上都可以看到，具有相当广泛的普遍性，在我国的注

4、水油田开发中，绝大部分也都符合这种规律。这样，我们就可以运用这一定量规律来描述和预测各油田在生产过程中的含水变化、产油水情况、最终采收率以及可采储量等。二、水驱规律基本关系式的推导1.水油比（）与累积产油量（）及其与采出程度（）的关系式在油、水两相渗流的条件下，油水的相对渗透率比与含水饱和度变化关系，可以用如下指数形式表示： （4-52）式中 油、水相对渗透率，无因次；地层含水饱和度，小数；与储层和流体物性有关的常数。在水驱的稳定渗流条件下，油、水的相对渗透率比与油、水产量之间存在如下关系： （4-53）式中 地面原油产量；地面水产量；地层原油地层水的粘度，mPas;地层原油地层水的体积系数，

5、无因次；地面脱气原油、地面水的相对密度。从式（4-52）和式（4-53）可得出： （4-54）油田的累积产油量可由下式表示：（4-55）式中 累积产油量，t; 油田的原始和目前剩余可采储量，t。（4-56）（4-57）式中 油田含油面积，km;地层有效厚度，m; 地层束缚水饱和度，小数；地层面前含水饱和度，小数；地层有效孔隙度，小数；地层原油原始体积系数，无因次；地层原油的目前体积系数，无因次。将式（4-56）和（4-57）代入式（4-55）得： （4-58）在注水保持地层压力下，故上式可简化为： （4-59）解上式： （4-60）将式（4-56）代入式（4-60），并考虑，则得： （4-61

6、）式中 地层原始含油饱和度，小数。再将式（4-61）代入式（4-54）得： （4-62）对式（4-62）取常对数后得： 若令： （4-63） （4-64）则得： （4-65） 将式（4-65）简写为： （4-66）式中 采出程度，无因次。从式（4-65）及式（4-66）可看出，水油比与累积产油量或采出程度在半对数坐标上满足线性关系。2.累积产水量（）与累积产油量（）及其与采出程度（）的关系式油田的产水量由式（4-54）得： （4-67）油田的累积产水量可由下式表示： （4-68） 将式（4-67）代入式（4-68）得： （4-69）由式（4-59）对时间求导数后得： （4-70）将式（4-70

7、）代入式（4-69）得： （4-71）积分得： （4-72）将式（4-56）代入式（4-72）得： （4-73）若令： （4-74）则得： （4-75）再令： 则得： （4-76）再将式（4-61）代入式（4-76）得：（4-77）对式（4-77）取常对数后得： 若设：则得： （4-78）也可改写成如下形式： （4-79）式中 由式（4-78）可以看出，累积产水量（）必须加上一个常数C,才能与累积产油量在半对数坐标纸上成直线关系。但是随着油田的生产，含水率上升和累积产水量增加，因此常数的影响逐渐减少。因而在油田开发的中后期和后期，累积产水量和累积产油量之间在半对数坐标纸上可以得到一条直线关系。

8、3.油田含水率（）与累积产油量（）的关系式根据油水两相渗流的基本规律，在不考虑重力和毛管力的影响下，含水率可由下式表示： （4-80）将式（4-65）与式（4-80）联立求得： （4-81）由式（4-81）可以看出，油田含水率与累积产油量在半对数坐标纸上并不存在直线关系，但稍加整理后可得： （4-82）若令,则得： （4-83）由上式可以看出（）与在半对数坐标上满足线性关系。4.确定油田可采储量（）和采收率（）的关系式根据合理采油经济界限的要求，当给出最大水油比之后，可以分别得到确定油田合理可采储量和采收率（）的关系式。由式（4-65）和式（4-66）得： （4-84） （4-85）将式（4-

9、78）两边对时间求导得：已知可得：将上式代入式（4-78）中，可得： （4-86） （4-87）三、水驱规律曲线的应用注水开发油田，其开发指标间存在线性关系，这已由上面基本关系式的推导所证实，下面将选取大庆油田小井距注水开发试验区511井组葡I4-7层全过程实际资料，一方面对各种基本关系式作出有效的验证，另一方面可利用确定的关系式，进行水驱油田开发动态预测。1. 511井组葡I4-7层基本地层数据该试验井组由中央一口生产井（511）和周围三口注水井（513，515和517）及三口平衡生产井（512，514和516）所组成，平均井距为77m，见图4-8所示。511井控制的三角形面积A7394m2

10、,有效厚度10.17m,有效孔隙度0.26，地层原始含油饱和度，地层束缚水饱和度，地层原油粘度mPas,地层水粘度 mPas，地层原油体积系数，地层水的体积系数，地层脱气油相对密度，地面水相对密度。改井控制的原始地质储量为： 该井组的注水开发试验工作开始于1965年10月，终结于1966年12月，共计一年零两个月，在试验过程中所取得的基本数据经整理后列于表4-10内。2. 利用水油比与累积产油量（）的关系式将表4-10内与的相应数据会在半对数坐标上，可以看出从见水到含水70%基本上都在一条直线上，见图4-9所示，由此可验证该公式的正确性。根据表4-10数据，利用线性回归分析法求得：直线的截距,

11、斜率,直线的相关系数为，从而可以写出水驱特征曲线的如下关系式：用上述经验关系式，可以对该井组未来动态进行预测，例如，水油比时，可以计算此时的累积产油量。3. 累积产水量（）与累积产油量（）的关系式将表4-10内的和相应的数据绘在半对数坐标系上，一开始为一曲线，但含水率达70以后是一条直线，由式（4-78）所示，需将累积产水量（）加上一个常数C值才能得到一条完整的直线关系，见图4-10所示，而C值可由下面方法确定。先在未经校正的水驱曲线上取三点1，2，3，让其横坐标之间有如下关系： （4-88）这时，可以相应地得到三个点的纵坐标为，那么校正参数C的值为： （4-89）将表4-10内的和代入式（4

12、-88）中得：由图4-10查得：再将表4-10内的数据带入式（4-89）得：把表4-10内的（+C）与的相应数据再绘到半对数坐标纸图4-10上，而得到一条完整的直线段。同样利用线性回归分析法求得：直线截距为,斜率为,直线的相关系数为。因而可得水驱曲线的累积累积产水量与累积产油量的关系式为：同样可利用上式对该井组未来动态进行预测。4. 确定511井组葡I4-7层的可采储量（）很最终采收率（）根据表4-10数据可知，当该井组注水开发试验结束时的含水率，水油比，累积产水量 。而在前面已经求得：将有关数据带入式（4-84）和（4-85）中，可以得到可采储量（）和最终采收率（）分别为：将已知数据分别代入

13、式（4-86）和（4-87）得：以上计算结果表明，这两种方法所求得的数据基本相同，而且与表4-10内所列的511井组的实际可采储量6481t和最终采收率51.3也十分一致。因而，在确定水驱特征曲线直线的截距和斜率后，可以利用式（4-87）分别求得油田的可采储量和最终采收率。但是，应该指出的是，从公式推导中可知，这两种方法的直线斜率相等，即,然后第二种方法需要进行常数C的校正后才能得到真正线性关系，即使在这种情况下，所求的的数据要比有所偏低，因此比第一种方法计算的结果有所偏高。第三节产量递减分析一、 油田产量变化规律就油田开发全过程而言，任何油田的开发都要经历产量上升、产量稳定、产量递减三个阶段

14、（图4-11）。产量递减分析方法是针对已处于产量递减阶段的油田，预测和分析油藏动态的一种数理统计方法。不同的油藏类型、不同的地质条件、不同的开发政策、不同的开发措施、不同的工艺技术水平，进入油田三个开发阶段的时间、长短、产量水平及其变化规律也不一样。一般说来，油气田越大，全面建成生产能力时间越长，稳产速度要求越高，则产量上升阶段越长；天然能量充足或保持压力水平开采，稳产速度较低，则稳产阶段越长；能量不充足，稳产速度高，则产量稳产期短。根据统计资料表明，水驱开发油田，当采出油田可采储量的60左右，即进入产量递减阶段。稳产期的采油速度越高，产量递减会越快；封闭型弹性驱动油藏、重力驱动油藏产量递减快

15、。二、 产量递减的几个基本概念油气田产量递减阶段，产量递减的大小通常用递减率表示，即单位时间内的产量递减分数，见图4-12，其表达式为： （4-90）式中 瞬时递减率，mon-1或a-1;递减阶段时间的产量，油田为104t/mon或104t/a，气田为108m3/mon或108m3/a; 单位时间内的产量变化率。在矿场实际应用中，经常用递减系数这一概念表示产量递减的快慢程度，递减系数与递减率的关系为： （4-91）Arps研究认为瞬时递减率与产量遵循下面的关系： （4-92）式中 比例常数； 递减指数。由此可以得出，任一时刻的递减率和产量与初始递减率和初始产量满足： （4-93）式中 初始递减

16、率；初始产量。递减指数是判断递减类型，确定递减规律，进而预测递减动态的重要参数。三、 油气田产量递减分类目前国内外提出的一系列描述产量递减规律的数学模型中，以阿普斯（J.J.Arps）递减模型用的最多最广。而其他模型，如柯佩托夫递减模型、桥西递减模型、龚珀茨递减模型、威伯尔递减模型、罗杰斯蒂递减模型，据俞启泰先生的研究，都是阿普斯递减模型的特例。根据阿普斯递减模型（即公式（4-93），单从数学意义上讲，可以取区间中的任何值。由于产量递减，所以，则0时，即产量以一恒定递减率递减；时，产量递减率越来越小，时，产量趋于稳定；时，递减率越来越大。递减指数和递减率的关系以及不同递减指数下递减率随时间的变

17、化关系可以用图4-13示意。根据递减指数的不同，产量递减可以分为指数递减、双曲递减调、和递减三种类型。和时为双曲递减，但通常双曲递减是指的范围。由于油田实际的产量递减一般都是开始递减最快，之后逐渐变缓，因此一般为递减过缓，而的递减情况一般不存在。下面分析不同递减类型的数学公式。1. 指数递减由于0，则，由递减率的定以即公式（4-90）分离变量积分： （4-94）可见产量与时间成指数关系式，这也正是称该递减为指数递减的原因，由于指数递减中的递减率为常数，因此又叫常百分数比递减、等百分数递减或等比级数递减，又由于产量与时间呈半对数直线关系，因此又称半对数递减，表示为： （4-95）式中 递减阶段的

18、累计产量。由式（4-94）和式（4-95）可得： （4-96）递减期的最大累积产量： （4-97）2. 调和递减由于，则：（4-98）将式（4-98）代入公式（4-90）分离变量积分： （4-99）式（4-99）为调和函数，因此称为调和递减。 （4-100）由式（4-99）和式（4-100）消去时间变量得： （4-101） （4-102）取时作为递减期的最大累积产量; （4-103）3. 双曲递减当且时为双曲递减。将式（4-90）代入式（4-93）分离变量积分： （4-104）上式为双曲函数，因此称为双曲递减。 （4-105） （4-106）当时，递减期的最大累积产量 为 : （4-107）双

19、曲递减中还有下面两种特殊情况：（1）当时，由式（4-104）得： （4-108）由于产量与时间成直线关系，因此这种递减又称直线递减。 （2）当时，由式（4-104）得： （4-109）则递减阶段累积产量与时间的关系为： （4-100）递减阶段累积产量与产量的关系为： （4-111）显然，累积产量与的关系是一条经过原点的直线。有人把产量与时间符合关系式的递减称为衰减规律，同时认为衰减规律符合的双曲递减，实际上它们是有区别的。时的双曲递减与所谓的衰减规律，不仅产量与时间的关系式不同，而且累积产量与时间的关系式也大不一样。三种递减类型的有关公式列于表4-11中。产量的递减速度主要取决于递减指数和初始

20、递减率。在初始递减率相同时，以指数递减最快，双曲递减（特指）次之，调和递减最慢。在递减指数一定即递减类型相同时，初始递减率越大，产量递减越快，在递减阶段的初期，三种递减类型比较接近，因而常用比较简单的递减类型如指数递减等研究实际问题；在递减阶段的中期，一般符合双曲递减；而在递减阶段后期，一般符合调和递减。在油气田开发的整个递减阶段，其递减类型并不是一成不变的，因此，应根据实际资料的变化对最佳递减类型作出可靠的判断。四、 递减类型的确定递减类型的判断，目前场常采用的方法有：图解法、降比法曲线、位移法、典型曲线拟合法、迭代计算法和二元回归法等。所有这些方法的应用都是建立在各类型递减类型的基本公式上

21、，从公式的数学性质出发的。1. 图解法图解法就是根据实际生产数据，以表4-11中所列的基本关系式为理论基础，研究某两个变量之间的线性关系，从而判断其递减类型。1） 指数递减满足下列条件之一，则可判断为指数递减：（1）实际资料在坐标中成较好的线性关系。（2）实际资料在坐标中成较好的线性关系。2） 调和递减如果实际资料在坐标中成较好的线性关系，则属于调和递减。3） 双曲递减既不属于指数递减，也不属于调和递减的，应属于双曲递减。双曲递减中除了时的直线递减和时的双曲递减判断相对容易外，其他情况判断的难度都较大。一般原则如下：（1）产量与时间t成直线关系，则为直线递减。（2）累积产量与成一过原点的直线，

22、则为的双曲递减。2. 试凑法试凑法又称试差法，它是处理矿场资料的一种常用方法，由公式（4-104）得： （4-112）取不同的值，求出，将此数据与相应的值在直角坐标系上作图4-14。当取值适当时，为一直线，根据直线的斜率可求出初始递减率；如果取值偏大，则成一条向上弯曲的曲线；如果取值偏小，则成一条向下弯曲的曲线。3. 曲线位移法所谓曲线位移法，就是将画在双对数坐标系上成曲线的产量和时间的关系曲线，向右位移某一合适距离，使其成为一条直线的方法。其原理为，将式（4-104）取常对数后得： （4-113）设,代入上式得： （4-114）由式（4-114）可知，取某一合适的C值，可以使和在双对数坐标上

23、成一直线。当C偏大时，得到一条向右下弯曲的曲线；当C偏小时，得到一条向上弯曲的曲线（图4-15），根据合适的直线方程，可求出、和。4. 典型曲线拟合法根据公式（4-94）、（4-99）、（4-112）可以在双对数坐标纸上作出不同值下的和的典型曲线图（图4-16）。 可以作出与典型曲线同比例尺的实际曲线并与之对比，从而确定出合适的递减指标。五、 递减规律的应用应用产量递减规律可以预测未来的产量指标和可采储量。【例4.5】某油田实际开发产量数据列于表4-12中。将年产量随时间的变化绘于半对数坐标中，如图4-17所示。产量与时间在半对数坐标中成交好的直线关系，因此改油田年产量为指数递减。回归的直线方

24、成为： （4-115） 相关系数：由公式（4-94）可得： （4-116）比较式（4-115）、（4-116）得： 递减期最大累积产油量： 油田可采储量319.7+311.7631.4104（t）根据公式（4-116）还可以预测以后任一时间的年产油量，也可预测年产油量递减到某一数值时所需要的年限。【例4.6】某气井生产数据列于表4-13，为进行下面不同方法的计算，对生产数据的整理结果也列于表4-13内。a. 利用试凑法求解。将所计算的值列于表4-13内。在不同值下，与相应的画在直角坐标纸上，得到的是一条直线，和的是两条曲线（见图4-18）。这表明该井的递减指数为，属于双曲递减。对的直线进行线性

25、回归后得到：直线的截距为1，直线的斜率为0.1819，直线的相关系数为1.0，故，而，所以。由于，和的数值都已确定，当代入式（4-104）或式（4-105）和式（4-107）时，即可得到能用于预测该气井未来生产动态的相关经验公式。b. 利用曲线位移法求解。在表4-13中列出了不同位移常数和的数值，将值与不同值相应的值画在双对数坐标纸上得到没有位移和位移之后的不同情况（见图4-19）。由图4-19看出，当时，位移之后的数据成为直线；而和两种情况的位移结果，分别为向左、右两个方向弯曲的曲线。对的曲线位移的结果是正确的。对的直线进行线性回归后得：直线截距为2.7571，直线的斜率为1.8622，直线

26、的相关系数为1.0，将这些值引入后得： c. 利用典型曲线拟合法求解。将表4-13中的与相应的数据，按照典型曲线图（图4-16）的比例尺分格，画在大小合适的透明纸图上，见图4-20。在保持透明纸图与典型曲线图的坐标完全重合的条件下，向右水平方向滑动透明纸图，使其透明纸图的数据点能与典型曲线图上的某一条理论曲线达到最佳拟合状态（见图4-21）。由图4-21看出，透明纸图上的数据点与典型曲线图上的那条曲线拟合得很好，这表明，该井的递减指数，属于双曲递减。当任取时，由典型曲线图上那条曲线垂直往下，在横轴上查得，因此可以由得到。这里利用典型曲线拟合法所求得的结果，与上述的试凑法和典型位移法所求得的结果

27、基本上是一致的。第四节 其他预测模型简介一、油田动态体系的核心任一时刻油田动态系统的状态变化都是通过油井与注水井的变化反应出来的。积百余年的开采经验，人们充分认识到要全面反应油田开采过程中的动态变化，油水井必须录取一定的数据。1. 油井要录取的原始生产数据（1）产能资料：包括油井日产液量、产油量、产水量、产气量、分层的日产液量、产油量和产水量。这些资料可直接反映油井的生产能力及其分层构成。（2）压力资料：包括油井及其分层的地层压力、井底流动压力、井口油管套管压力压力和集油管线的回压。它可以反映油藏内的驱动能量及其从油层到井底一直到井口的消耗过程和剩余压力。（3）水淹状况资料：包括油井所产原油的

28、含水率、分层的含水率以及通过在开发过程中钻检查井和调整井录取分层含水率和分层驱油效率等。它可直接反映剩余油的分布及储量动用状况。（4）产出物的物理、化学性质包括油井所产油、气、水的物理化学性质。它可以反映开发过程中的油、气、水性质的变化。 （5）井下作业资料：包括施工名称内容主要措施参数完井管柱结构等。2. 注水警要录取的资料（1）吸水能力资料：包括注水井的日注水量、分层日注水量。它直接反映注水井和分层的吸水能力及其实际注水量。（2）压力资料：包括注水井的地层压力、井底注入压力、井口油管压力、套管压力、供水管线压力。它直接反映了注水井从供水压力到井底的压力消耗过程井底的实际注水压力以及地下水线

29、上的驱油能量。（3）水质资料：包括注水和洗井时的供水水质、井口水质、井底水质。水质一般包括含铁、含氧、含油、含悬浮物等项目，它可以反映注水的水质好坏和洗井时井筒达到的清洁程度。（4）井下作业资料：包括作业名称、内容、主要措施的基本参数完井管柱结构等。尽管这些信息对于解释开采过程中所发生的各种变化都是不可缺少的，但对于油田动态预测来说，人们最关心的是油田的产量以及含水在近期、中期和未来更长时期内将发生怎样的变化，如能比较准确地知道产油与含水的未来变化规律，那么控制油田动态便有了可能。因此，对于油田动态指标体系来说，核心是产油与含水，而其他各项开发指标，在某种意义上可以说是用来衡量、验证产油与含水

30、预测结果的合理性。二、油田动态预测模型预测模型是描述预测体系的结构特征或其变化规律的数学表达式。建立系统的预测模型称为系统结构辨识，它包括对其所依赖的物理规律的解释方法。应该指出的是，任何一个动态系统都可以分离成两个部分：一是结构性部分或称之为趋势性部分，它决定了事物的发展方向；二是随机性部分，即外界的随机性影响，它使事物表现出瞬时状态。因此，既考虑结构性影响又考虑随机性影响，是建立油田动态预测模型的有效途径。1. 产油量预测模型结构翁文波教授指出，对于资源有限体系，在预测技术中可以用Poisson分布概率函数来形象描述其兴衰生命周期（旋回），即从兴起成长成熟到衰退的生命全过程。对于这样的过程

31、，Poisson旋回一般表示成： （4-117）（4-117）式（4-117）表明，事物在随自身变量时间的变化过程中，正比于的变化次方函数兴起，又随着的负指数函数递减。这一函数具有以下性质：当时：当时：当时：当时：从以上性质可知，事物的兴衰可以分为四个阶段：（1）快速上升阶段：。（2）一般上升阶段：。（3）一般下降阶段：。（4）缓慢下降阶段：。因为一个油田的原油储量（地质储量）是不可再生资源，属于有限体系。油田注水开发系统也有开始阶段、发展阶段、高峰阶段和衰减阶段，因此，可以用Poisson旋回公式来描述油田注水开发系统产油量变化的全过程。考虑到实际计算方便，我们将式（4-117）改写为如下形

32、式，作为产油量预测模型的结构： （4-118）式中 待预测的年产油量。当时，式（4-118）可作为式（4-117）的近似； 离散时间，产油前一年的年份；待预测的采油年份；待估参数，时变或非时变的；常数；白噪声。2. 综合含水率预测模型结构翁文波教授还指出，在生命旋回临近极限阶段时，可以形象描述为Logistic函数： （4-119）这一函数具有以下性质：（1）如果则。这时函数可以形象为一个体系生命的周期。（2）如果则。这时函数可以形象为一个体系最后极限的过程。油田开发实际经验表明，随着开发时间的推移，综合含水率是不断增加的。通常，当其值达到98时，认为已接近最后经济极限。据此可以将式（4-11

33、9）写形成如下形式，作为综合含水率预测模型的结果： （4-120）式中 待预测的综合含水率；离散时间，；同式（4-118）中的意义；待估参数。上述产油量综合含水率的预测模型，是建立在系统状态变化有序性基础上的整体信息预测模型。3. 产水量多功能预测模型产水量的变化与产油量不同，正常情况下不会出现下降的变化阶段，油田开始见水，随着含水的升高产水量将随着增加，对于这一变化规律的描述可采用如下模型： （4-121）式中 第时刻的产水量； 离散的流动时间； 均值为零的白噪声；待估的时变参数。式（4-121）之所以成为多功能模型，因为它不但可以对产水量进行预测，还可以对产油的下降阶段进行预测。模型中的参

34、数估计采用推广的递推梯度算法。4. 累积产油量和累积产水量的预测模型T模型从系统的观点出发，对油田动态系统进行全面观察和理论分析，提出适合于油田注水动态系统的新模型，称之为T模型。T模型适用于具有单调递减或递增的非线性随机系统。具体对油田这一动态系统来说，累积产油量、累积产水量随着时间的变化是递增的；日产油量在中后期是单调递减的；采出程度、含水率都是时间的单调变化函数。为了不失一般性，在理论推导中，假设油田动态系统的某一状态变量为，其随时间变化的相对变化率为则可定义： （4-122）式中 变量在时间间隔内的变化量。式（4-122）只是一个定义表达式，它没有预测功能。前述的分析表明，由于油田动态

35、的非线性，变化率不是一个常数（当油田动态系统保持相对稳定时才有可能为常数），而是随时间的变化而变化。依据变化率（递减率或递增率）的定义式，其等效方程可用下式表示： （4-413）式中 比例常数；递减或递增函数。将式（4-123）稍作整理得：（4-124）将上式积分得：（4-125）式中 状态变量在时刻的值；状态变量在时刻的值。 令 令则式（4-125）写为： （4-126） 依据实际情况，为了使式（4-126）具有更广泛的适应性，将式（4-126）改写为下列通式： （4-127）上式就是T模型的数学表达通式。式中都是常数，其中是变量的初值，是变化（递减或递增）系数，是变化类型控制系数，是修正常

36、数项。常数与变量的绝对量有关，而则反映了油田地质特点和开发过程的特点，是油田动态系统的特征参数，对它们的实际取值范围将在下面的应用实例中具体介绍。对T模型的待估参数的求解，可根据具体情况采用不同的参数估计方法。当预测的基础数据是时间序列形式即以时间为自变量时，可采用递推算法；当预测变量与其自变量各自是一时间序列而构成的有序对时，则采用牛顿迭代法。5. 产量构成预测模型多步自校正递推预报模型（RAMAX模型）油田注水动态系统可看成是一个多输入和多输出的动态系统。人为的措施如注水、压裂、酸化等改造措施是油田动态系统的确定性输入，其产油量和产水量是油田动态系统的两个输出变量。从产量构成方面来考虑，各

37、种产量增产措施对产油量和产水量的影响可用RAMAX模型来表示： （4-128）式中 动态系统状态输出变量，即产油量和产水量；控制变量，也就是上面讲的油田动态系统的确定性输入，即投产新井、转轴井、油井压裂、酸化和见水井堵水等措施项；可观测的随机输入变量；白噪声；单位延迟算子；阶待估的系数矩阵。式中 维单位矩阵；模型的阶数。模型的参数估计采用遗忘因子递推算法。第五节水平井产能评价目前世界上许多油田已处于开发晚期或日趋枯竭，一些国家转入开发低渗、薄油层、稠油、残余油等难开发储量。水平井具有明显的开发此类油田的优势，是一种能够用于提高油藏采收效益的重要手段。一、水平井的优势水平井与垂直井相比，有很多优

38、势，主要表现为：（1）提高单井产能。计算结果表明：在相同泄油面积情况下，300m以上的水平井的采油指数为垂直井的3倍以上。提高单井产能的主要原因：水平井提高了油井与油藏的接触面积，另外水平井相当于一条长的准确定向的裂缝。（2）缓解水气脊进。水平井尽量远离油气或油水界面，同时在保持与垂直井相同产量的情况下，大大降低了井筒附近的生产压差和流体流动速度，减缓了油井生产对油或油气界面变形的影响。水平井段长600m的水平井，其计算的临界流速比垂直井的临界流速高约4倍。（3）开发一些特殊类型的油藏。水平井适用于一些特殊类型的油气藏，主要有：裂缝性油气藏，水平井可横穿过更多的天然垂直裂缝，增加了产能；有底水和气顶的油藏；薄层油藏；稠油油藏。（4）提高气层产能。垂直井中，井壁附近的气体流速高，造成紊流现象，导致压力损失，压力正比于流速，约占总压降的3